《材料力学(ii)第一章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《材料力学(ii)第一章（96页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,11 非对称纯弯曲梁的正应力,12 两种材料的组合梁,13 开口薄壁梁的切应力弯曲中心,14 开口薄壁截面梁约束扭转的概念,15 平面大曲率杆纯弯曲时的正应力,第一章 弯曲问题的进一步研究,2,11 非对称纯弯曲梁的正应力,当梁具有一个纵向对称平面，且外力作用在该对称平面内时，梁将发生对称弯曲(图a)，材料力学()中已研究了该情形下梁横截面上的正应力。,第一章 弯曲问题的进一步研究,(对称轴),3,当梁不具有纵向对称平面，或梁虽具有纵向对称平面，但外力作用面与该平面间有一夹角，梁将发生非对称弯曲(图b)。本节研究非对称弯曲时，梁横截面上的正应力。,第一章 弯曲问题的进一步研究,4,三角形截
2、面纯弯曲梁如图(a)所示，图中，x为梁的轴线，y,z为任意一对相互垂直的形心轴。横截面上弯矩M的矢量方向和y轴的夹角为j，M 在y,z 轴上的分量分别为My和Mz。,. 非对称纯弯曲梁正应力的普遍公式,第一章 弯曲问题的进一步研究,5,几何方面 试验表明，非对称弯曲时，平面假设依然成立，设横截面的中性轴为nn(位置未定)，距中性轴为h(图b)的任一点的线应变为,式中，r为变形后中性层的曲率半径。,(1),第一章 弯曲问题的进一步研究,6,物理方面 横截面上各点仍为单轴应力状态，并设材料在线弹性范围内工作，且拉伸和压缩时的弹性模量均为E，横截面上任一点的正应力为,(2),第一章 弯曲问题的进一步
3、研究,7,静力学方面 法向内力元素s dA组成的内力分别为,将(2)式代入(3)式，得,(3),(4),(5),第一章 弯曲问题的进一步研究,8,因为 ，必有,可见，中性轴nn通过横截面的形心。设中性轴nn和y轴的夹角为q，如图所示。由图可见,将上式代入(2)式，得,第一章 弯曲问题的进一步研究,9,将(6)式代入(4),(5)两式，并注意到,可得,第一章 弯曲问题的进一步研究,10,联解以上两式，得,将(7)，(8)两式代入(6)式，得,(11)式称为广义弯曲正应力公式。,(1-1),第一章 弯曲问题的进一步研究,11,由(7)和(8)式可以解出中性轴和y轴的夹角q为,由(1-2)式可以确定
4、中性轴的位置。令(1-1)式中,也可以得到(12)式。,第一章 弯曲问题的进一步研究,12,横截面上的最大拉应力和最大压应力分别发生在距中性轴最远的D1和D2点处，如图a,b所示。把D1和D2点的坐标(y，z)代入(11)式，可以得到横截面的st，max和sc，max。,(1-1)式也可以用于计算细长梁横力弯曲时，横截面上的正应力。,第一章 弯曲问题的进一步研究,13,. 广义弯曲正应力公式的讨论,广义弯曲正应力公式(11)适用一切弯曲情况下梁横截面上正应力的计算，分述如下：（1） 梁具有纵向对称平面xy，且外力作用在该平面内(对称弯曲,平面弯曲)。,上式即为对称弯曲时，梁横截面上的正应力计算
5、公式，式中的负号是因为(1-1)式中Mz为负值。,第一章 弯曲问题的进一步研究,令（11）式中，My= 0 , Mz=M , Iyz= 0 , 得,(1-1),14,(2) 梁不具有纵向对称平面，但外力作用在梁的形心主惯性平面内，或外力作用面与形心主惯性平面平行,图a所示Z字形截面梁，图中y,z轴为形心主惯性轴(Iyz=0)，xy，xz均为形心主惯性平面。弯矩M位于xy面内(M的矢量沿z轴)。将My=0，M=Mz，Iyz=0代人(1-1)式，得,第一章 弯曲问题的进一步研究,(a),(1-1),15,上式表明，只要外力作用在形心主惯性平面内，或者外力作用面平行于形心主惯性平面时，对称弯曲时的正
6、应力公式仍然适用。,由(1-2)式，得,，即,说明中性轴为z轴，梁只绕z轴弯曲，梁的挠曲线和外力均在xy平面内，或外力所在平面和挠曲线平面平行，即梁发生平面弯曲。,第一章 弯曲问题的进一步研究,16,图b所示Z字形截面梁，其y,z轴为形心主惯性轴，弯矩M的矢量与y轴的夹角为j，把My=M cosj，Mz = M sinj，及 Iyz = 0代入（1-1）式，得,第一章 弯曲问题的进一步研究,(3) 梁不具有纵向对称平面，外力也不作用在形心主惯性平面内,(1-1),(b),17,中性轴公式成为,即中性轴不再垂直于M(外力)作用平面(中性轴不沿M的矢量方向)。外力和挠曲线不在同一平面内，梁产生斜弯
7、曲。,因为,第一章 弯曲问题的进一步研究,所以,上式右端的第一项表示xz平面内弯曲时的正应力，第二项表示xy平面内弯曲时的正应力。可见外力不作用在形心主惯性平面内时，可将外力向两个形心主惯性平面内分解，分别计算两个形心主惯性平面内的弯曲正应力，将二者叠加可得到横截面上任一点的正应力。,18,(4) 梁具有纵向对称平面，但外力作用面与纵向对称平面有一夹角。,第一章 弯曲问题的进一步研究,这种情况，是情况3的特例，已在材料力学（）的82中研究过。,19,例13 已知：Iy=28310-8 m4，Iz=1 93010-8 m4，Iyz=53210-8 m4，s=170 MPa。求q。,第一章 弯曲问
8、题的进一步研究,20,由于q 作用线沿y轴，所以My=0。由图b可见，Mmax=MC=Mz。Mz的矢量方向沿z 轴的负方向，所以,由(12)式，得,中性轴nn位置如图c所示。由图可见，st,max和sc,max分别发生在C截面的D点和E点。该两点到中性轴的距离相等，D点的坐标为,第一章 弯曲问题的进一步研究,解：1. 用广义弯曲正应力公式计算,21,按(1-1)式，可得D点的强度条件为,把有关数值代入上式，,得 q=23.1kN/m,第一章 弯曲问题的进一步研究,22,2. 叠加法 将Mz = MC沿形心主轴y0，z0方向分解(图d)，分别计算两个平面弯曲时的正应力，然后进行叠加。由材料力学(
9、)附录()的(13)式确定形心主轴的位置，即,形心主轴y0，z0的位置如图d所示。,第一章 弯曲问题的进一步研究,23,由材料力学()附录()的(14)式，得形心主惯性矩分别为,沿形心主轴y0，z0弯矩的分量分别为,第一章 弯曲问题的进一步研究,24,D点在y0，z0坐标中的坐标的绝对值分别为,第一章 弯曲问题的进一步研究,25,D点的强度条件为,解得,第一章 弯曲问题的进一步研究,可见，当形心主轴位置未知时，利用广义弯曲正应力公式计算较为方便。,26,12 两种材料的组合梁,由1, 2两种材料组合成一个整体的矩形截面梁如图a所示。设1, 2两种材料的弹性模量分别为E1和E2，且E1E2，,第
10、一章 弯曲问题的进一步研究,横截面面积分别为A1和A2。现在分析该梁在纯弯曲时横截面上的正应力。弯矩M 作用在纵向对称平面内，且M 为正。,27,图中，y为对称轴，z为中性轴(位置未定)。设平面假设依然成立，变形后中性层的曲率半径为r，横截面上距中性轴为y的任一点的线应变为,线应变沿高度的变化规律如图b所示。,(1),第一章 弯曲问题的进一步研究,28,当材料均在线弹性范围内工作时，横截面上材料1,2两部分的正应力分别为,(2),第一章 弯曲问题的进一步研究,正应力沿高度的变化规律如图c所示,29,静力学关系为,把(2)式代入(3)式，得,第一章 弯曲问题的进一步研究,(a)式为确定中性轴位置
11、的条件。,30,设中性轴z到z1轴的距离为yn，微面积dA到z和z1轴的距离分别为y 和y(图f)。由图可见，,把(b)式代入(a)式，得,(c),(b),第一章 弯曲问题的进一步研究,31,注意到，yn为常量，设面积A1, A2的形心到z1轴的距离分别为yC1和 yC2 (图f)则,于是(c)式成为,解得,(d),第一章 弯曲问题的进一步研究,32,将上式右端除以E1，(d)式成为,由(5)式可以确定中性轴的位置。,把(2)式代入(4)式，得,式中， 分别表示面积A1和A2对z轴的惯性矩。由(e)式得中性层的曲率为,(6),(e),(5),第一章 弯曲问题的进一步研究,33,将(6)式代入(
12、2)式，得,I 为等效惯性矩，(f),(g)式成为,(f),(g),第一章 弯曲问题的进一步研究,(8),34,相当截面设高度h1和h2及材料1部分的宽度b不变，把材料2部分的宽度按,第一章 弯曲问题的进一步研究,折算，折算后的截面如图e所示。折算的截面相当于仅由材料1构成的截面，称为相当截面。,35,由图e可见，材料1,2两部分的面积的形心位置yC1，yC2不变。求实际截面的中性轴公式(5)成为,该式也是求相当截面水平形心轴的公式。实际截面的等效惯性矩,为相当截面对水平形心轴的惯性矩。,第一章 弯曲问题的进一步研究,36,按相当截面求出的正应力，为材料1部分的正应力，将它乘以 后才是材料2部
13、分的应力，即,（同8式）,第一章 弯曲问题的进一步研究,37,例1 图a所示矩形截面梁，由铝合金1和碳钢2组成，两种材料的弹性模量分别为E170 GPa，E2=210 GPa，横截面上的正弯矩M50 kNm。试求正应力沿高度的变化规律。,第一章 弯曲问题的进一步研究,38,解：为了说明利用公式和相当截面计算的截面几何性质的一致性，分别采用两种方法计算截面的几何性质。,公式法,由(5)式可得实际截面的中性轴位置为,第一章 弯曲问题的进一步研究,39,1, 2两部分面积对中性轴的惯性矩分别为,等效惯性矩为,第一章 弯曲问题的进一步研究,40,相当截面法 相当截面如图b所示，水平形心轴的位置为,第一
14、章 弯曲问题的进一步研究,41,对z轴的惯性矩为,可见两种方法所得到的结果完全一致。,第一章 弯曲问题的进一步研究,42,由(8)式可得1, 2两部分的最大压应力和最大拉应力分别为,正应力沿梁高度的变化规律如图c所示。,第一章 弯曲问题的进一步研究,43,例2 一木梁因承载能力不足，在梁的顶部和底部用钢板加固，如图a所示。钢板和木材的弹性模量和许用应力分别为E1=210 GPa，s1=160 MPa，E2=10.5 GPa， s2=10 MPa。试求该梁所能承受的最大弯矩M。,第一章 弯曲问题的进一步研究,44,解：,相当截面如图b所示。其惯性矩为,由钢板的强度条件,得,第一章 弯曲问题的进一
15、步研究,45,由木材的强度条件,得,梁能承受的最大弯矩为M47.95 kNm,第一章 弯曲问题的进一步研究,46,13 开口薄壁截面梁的切应力 弯曲中心,T字形截面悬臂梁如图a所示。图中，z为对称轴，y, z轴为形心主惯性轴。横向力F平行于y轴，到竖直板中线的距离为e。试验表明：梁将在xy面内发生平面弯曲，同时还伴随有扭转。,第一章 弯曲问题的进一步研究,C,y,x,z,e,y,z,F,C,(a),a,47,为了分析产生扭转的原因，先分析梁横截面上的切应力。非对称开口薄壁截面梁横截面上的切应力公式仍为,图a所示梁横截面的水平板上和y方向平行的切应力很小，可以忽略不计。竖直板上与切应力相应的合力
16、FR几乎等于横截面的剪力FSy，即,其作用线沿竖直板的中线，如图b所示。,第一章 弯曲问题的进一步研究,48,从梁中截取长度为a的一段梁(图c)进行分析，该段梁上两个反向平行力F组成一个力偶，其矩为,该力偶矩使梁产生扭转。只有当力F的作用线沿竖直板的中线，Mx=0时,梁只产生弯曲，不产生扭转。,第一章 弯曲问题的进一步研究,49,若力F沿梁自由端的z轴，略去竖直板上平行于z方向切应力，水平板上与切应力相应的合力FRFSz，其作用线沿z轴(图d)。剪力FSy和FSz相交于A点(图e)，A点称为截面的弯曲中心或剪力中心。当横向力F通过弯曲中心A时，梁只产生弯曲，不产生扭转。,第一章 弯曲问题的进一步研究,50,开口薄壁截面梁的抗扭刚度较小，当横向力不通过弯曲中心A时，将引起很大的扭转变形，并且当扭转时横截面不能自由翘曲时，梁中还要产生附加的正应力和切应力，称为约束扭转(14)。因此研究开口薄壁截面梁的弯曲中心具有十分重要的意义。弯曲中心是剪力FSy和FSz的交点，其位置仅取决于截面的形状和尺寸，它是截面的几何量，与外力的大小和方向及梁的约束等均无关。现将几种截面的弯曲中心位置列于表11中。,
