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1、郴州市郴州市 2015 年高考文科数学信息卷（二）年高考文科数学信息卷（二）时量：120分钟 总分：150分一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 个小题；每小题个小题；每小题 5 5 分，共分，共 5050 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的有且只有一项是符合题目要求的1在复平面内,复数2 1izi(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解析解析】22 (1)112iiizii ，其共轭复数是1 i，故选 D2、已知1a，22( )xxf xa，则使( )1f x 成立的一个充分不必
2、要条件是（ A ）A 10x B 21x C 20x D 01x 3. 已知等比数列an的前n项和为Sn，且135,2aa245 4aa，则=（ C ）A4n1B4n1C2n1D2n14、将函数)46sin( xy的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变） ，再向右平移8个单位，所得函数图像的一个对称中心是（ D ）A. 0 ,16 B. 0 ,9 C. 0 ,4 D. 0 ,2 5、下列四个命题中：设有一个回归方程 y=23x，变量 x 增加一个单位时，y 平均增加 3 个单位；命题 P:“ 2 00,10oxR xx ”的否定2:“,10“pxR xx ；设随机变量 X 服从正
3、态分布 N（0，1） ，若 P（X1）=p，则 P（-lX0）1 2p；在一个 22 列联表中，由计算得 K2=6679，则有 99%的把握确认这两个变量间有关 系其中正确的命题的个数有（ C ）本题可以参考独立性检验临界值表：2()P Kk0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.5357.87910.828A1 个 B2 个C3 个 D4 个6. 设抛物线x2=8y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的倾斜角等于60，那么|PF|等于（ C ）A2B4CD47. 执行如图所示的程序图，若任意输入区间1，19
4、中实数 x，则输出 x 大于 49 的概率为（C ）ABCD8一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图图中圆内有一个以圆心为中心边长为 1 的正方形则这个四面体的外接球的表面积是( B )A B3 C4 D69. 已知点（a，b）在圆x2+y2=1上，则函数 2cossincos12af xaxbxx的最小正周期和最小值分别为（ ）ABCD10若等边ABC 的边长为 2，平面内一点 M 满足CM CB ,CA 则MA MB （ 31623）A1B2C2D2 3【解析解析】建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件可知 A(0,3)，B(，0)，M(0,2)，3(0,1)MA
5、 , ,(3, 2)MB 2MA MB 故选 C(第 8 题 图)二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 5 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分）分）11 坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程1 cos(sinx y 为参数).以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.射线:4OM与圆 C 的交点为 O、P 两点，则 P 点的极坐标为 答案2,4.12已知实数 x，y 满足220220130xyxyxy ，则zxy的最大值为 答案16943、已知数列na，若点*( ,)()nn anN在经过点（5，3）的定直线l上，则数列na
6、的前 9 项和9S= 答案 2714如图所示，在圆O中，AB与CD是夹角为60的两条直径，,E F分别是圆O与直径CD上的动点，若0OE BFOA OC ，则的取值范围是_ 2 3,2 3_15、16.将将 5 个全等的正方形按如图所示方式放置在一个的矩形个全等的正方形按如图所示方式放置在一个的矩形 OEFG 内，内， 其中顶点其中顶点 P、C、Q、D 分别在矩形的四条边上分别在矩形的四条边上.（1）设向量）设向量PA a，PB b，以，以向量向量 a，b 为基底，则向量为基底，则向量 CD 3 3b2 2a ( (用用向量向量 a，b 表示表示) )；（2）若）若 OE7，OG8，则图中，则
7、图中 5 个正方形的边长都为个正方形的边长都为5.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7575 分解答应写出文字说明、分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤16 （本小题满分 12 分）某数学老师对本校 2013 届高三学生的高考数学成绩按 1:200 进行 分层抽样抽取了 20 名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失， 同时得到如下所示的频率分布表： 分数段（分）50,70)70,90)90,110)110,130)130,150)总计频数来源: 学优高考网bABCDOEFABPCDEOQFGBDACMPQgkst
8、k 频率a0.25 （1）求表中 a，b 的值及分数在90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学 成绩的及格率（分数在90,150）内为及格）： （2）从成绩在100,130)范围内的学生中随机选 2 人，设其中成绩都在100,110) 内为事件 M，求 P(M).解析：（1）由茎叶图可知分数在50,70)范围内的有 2 人，在110,130) 范围内 的有 3 人，a=20.1,20 b=3；分数在70,90)内的人数 200.25=5，结合茎叶图可得分数在70,80)内的人数为 2，所以分数在90,100)范围内的学生人数为 4，故数学成绩及格的学生为 13 人，所以估计这
9、次考试全校学生数学成绩的及格率为13 20100%=65%. （2）由茎叶图可知分数在100,130)范围内的有 7 人，分数在100,110)范围内的有 4 人， 分数在100,110)范围内的 4 人为 A,B,C,D;另 3 人为 x,y,zP(A)=62 21717 （本小题满分 12 分）已知sin,cos,q3cos , cospAAAA0q 其中.（1）若02A，方程1=()2p qttR 有且仅有一解，求t的取值范围；（2）设ABC的内角, ,A B C的对应边分别是, ,a b c，且3 2a ，若/ /pq ，求bc的取值范围.解.（1）依题意可得sin 26tA3 分0,
10、2A，52666x，11 22tt 或=1 .6 分（2）由/ /pq 0q 其中得2 3A8 分sinsinsin033bcBCBB10 分故312bc 12 分18 （本题满分 12 分）如图,四面体 A-BCD 中， ADBCD 面,BCCD，2,2 2ADBD.M是AD的中点,P 是BMD的外心,点Q在线段AC上,且4ACQC .(1)证明:/PQ平面BCD;(2)若二面角DBMC的大小为060,求四面体 A-BCD 的体积.【解析】证明()方法一:如图,取MD的中点F,且M是AD中点,所以3AFFD.因为P是BM中点,所以/ /PFBD;又因为()4ACQC 且3AFFD,所以/ /
11、QFBD,所以面/ /PQF面BDC,且PQ 面BDC,所以/ /PQ面BDC; 方法二:如图所示,取BD中点O,且P是BM中点,所以1/ /2POMD;取CD的四等分点H,使3DHCH,且4ACQC ,所以11/ / /42QHADMD,所以/ / /POQHPQOH,且OHBCD 面,所以/ /PQ面BDC; 6 分()如图 8 所示,由已知得到面ADB 面BDC,过C作CGBD于G,所以CGBMD,过 G作GHBM于H,连接CH,所以CHG就是CBMD的二面角;由已知得到813BM ,设BDC,所以 cos,sin2 2cos,2 2cossin,2 2sin,CDCGCBCDCGBCB
12、DCDBD在RT BCG中,2sin2 2sinBGBCGBGBC,所以在Rt BHG中, 2212 2sin 332 2sinHGHG,所以在Rt CHG中 22 2cossintantan6032 2sin 3CGCHGHGtan3(0,90 )6060BDC2,6.2 33,.3BCDA BCDCDBCSV12 分 注：用向量法解答酌情计分 19 （本题满分 13 分）甲、乙两超市同时开业，第一年的年销售额都为 a 万元. 甲超市前n(nN*)年的总销售额为)2(22nna万元；从第二年起，乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多an 1)32(万元.（）设甲、乙两超市第n年的年销售额分别
13、为 an，bn万元，求 an，bn的表达式； （）若在同一年中，某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的 50%，则该超市将于 当年底被另一超市收购. 若今年（2014 年）为第一年，问：在今后若干年内，乙超市能 否被甲超市收购？若能，请推算出在哪一年底被收购；若不能，请说明理由.【解】 （）设甲超市前n年的总销售额为nS万元，则2(2)2naSnn.当2n时，22 1(2)(1)(1)2(1)22nnnaaaSSnnnnna.所以(1)(1)(2)nananan3 分 由题设，当2n 时，abbn nn1 1)32( ，且1ba，则 )()()(123121nnnbbbbbbbb2121 ( )22223( )( )31 ( ) 2333313nnnaaaaaa L. 显然1ba满足上式，故231 ( ) 3n nba. 7 分 （）若乙超市能被甲超市收购，则1(2)2nnba n，即2131 ( ) (1)32nana.因为 a0，则2161 ( ) 3nn ，即26 ( )70(2)3nnn . 设2( )6 ( )7(2)3nf nnn
