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1、第十章 波动和声,10.1 波的基本概念,10.2 平面简谐波方程,10.3 波动方程与波速,10.4 平均能流密度声强与声压,10.5 波的叠加和干涉驻波,10.6 多普勒效应,波动是振动(相位)的传播，简称波.,振动,机械振动,电磁振动,波,机械波,电磁波,第十章 波动和声,10.1 波的基本概念,10.1.1 波是振动状态的传播,机械波产生的条件：,振源和弹性介质.,弹性介质由弹性力组合的连续介质.,正弹性力(压、张):液体、气体、固体,弹性力,切弹性力 固体,10.1.2 多种多样的波,1.横波与纵波,纵波振动方向与传播方向相同,如声波.,t=0,t=T/4,t=T/2,t=3T/4,
2、t=T,动画演示,横波各振动方向与传播方向垂直.如电磁波,t =0,t=T/4,t=T/2,t=3T/4,t=T,质点完成一次振动，波刚好传播了一个波形.,动画演示,10.1.3 平面波与球面波,波线（波射线)波的传播方向用线表示；,波面（相面、波阵面）振动相位相同点的轨迹.,波前某时刻处在最前面的波面.,在各向同性均匀介质中，波线与波阵面垂直.,球面波,平面波,10.2 平面简谐波方程,10.2.1 平面简谐波方程,以横波为例建立 y = f (x,t),简谐波简谐振动在媒质中的传播.,数学描述 y = f (x,t),1. 简谐波的运动学方程,仅讨论:无损耗、无限大媒介、无反射波介入.,设
3、简谐波沿正 x 方向传播 ,行波相位逐点传波的波.,设 t 时刻O点振动表达式：,求同一时刻任意点x的振动.,角频率（圆频率）.,其中 y 是质点在y方向上的位移，A振幅,O点振动传到 x 点需用时,相位落后,x点的运动方程,(10.2.1),若波向负x方向传播,P点运动传到 O 点需用时：,P点的相位超前于O点相位：,平面谐波一般表达式,负（正）号代表向 x 正（负）向传播的谐波.,2. 讨论,位移 y 既是 t 的函数，又是 x 的函数,(1)当 x 一定时，令 x = x0,表达式变成 y - t 关系，是 x0 点的振动方程.,x0相位比 x=0 点落后,所以式(10.2.1)反映了介
4、质中各点的运动规律.,(2) t一定（统观波线上所有质点）,这时, y 仅为 x 的周期函数.当 t = t0 时,表达式变成 y x 关系，表达了 t = t0 时刻空间各点的位移分布波形图.,(3) x、t 均变,具有波动意义,即: 各质点各自振动 ;, 波形向前传播.,如图：,因振动频率不变，所以这两点相位相同.即,整理得 ：,v 就是波形向前传播的速度，也是相位的传播速度，所以也称v为相速.,令 波数,波长 波速与频率之间的关系为,波在空间的周期性,波在时间上的周期性,通过波速v 联系起来,10.2.2平面简谐波方程的多种形式,利用,因此下述几式等价：,例题1 平面简谐波方程为,如何将
5、此方程化成为最简形式.,选择计时起点瞬时相位为零的一个体元为新的坐标原点.对新原点平衡位置为x 的某体元在t时刻的相位为,解 移动坐标原点或改变计时起点都可使原点初始 相位为零.,（1）移动坐标原点,此体元对旧坐标原点其平衡位置坐标为x，在t 时刻的相位为,表明坐标原点应沿x轴正向移动,由此得,所以,（2）改变计时起点,由此可得,表明计时起点应向前移六分之一周期.,例题2 有一列向 x 轴正方向传播的平面简谐波，它在t = 0时刻的波形如图所示,其波速为u =600 m/s.试写出波动方程.,原点处质点的振动方程为,波动方程为,解,10.3 波动方程与波速,10.3.1 波动方程,波动方程由动
6、力学规律得到的概括振动传播规律的方程.,以平面横波为例讨论,设横波沿x方向传播，,体元横截面积S，密度 .,x 处，由胡克定律,在忽略高级无穷小量时，有,又,横波的波动方程,纵波的波动方程,横波的波动方程,柔软弦中的横波,对于一维简谐波,10.3.2 波速色散,在密度为，扬氏模量为E的介质传播的纵波的波速公式为,传播的横波的波速公式为,在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些.,弦中横波的波速,在液体和气体只能传播纵波.,在液体和气体中波速为,K为媒质的体变弹性模量;,为质量密度.,理想气体纵波波速 (声速),为气体的摩尔质量,R为摩尔气体常数,T为热力学温度；, 是气体的比热容比.,波速与
7、温度有关,深水波的波速依赖于频率，这种现象称色散.,深水波,浅水波,10.4 平均能流密度声强与声压,10.4.1 介质中的能量分布,1. 波的能量,每个体元振动所具有的动能,之和,2.能量密度,每个体元形变所具有的势能,波场中单位体积的能量,体元振动的动能 ：,3.细棒中机械横波能量密度,体元质量 m = dV,体元形变势能：,弹性力关系,切变模量,若细棒中传播的是简谐波,又,体元总机械能 ：,(2) E 最大值出现在形变最大处,(1)Ek=Ep 随时间周期性变化，周期为波动周期的一半. 即 T = ,4.讨论,(3)波动的能量与振动能量是有区别的.,平均能量密度,能量密度,普适结论,平均能
8、流密度 单位时间通过垂直于波的传播方向上单位面积的平均能量.,1.平均能流密度,简称能流密度，或波强(坡印廷矢量).,平均能流密度是矢量,方向沿波的传播方向.,10.4.2 平均能流密度,2. 波的功率P（平均能流）,功率单位时间通过截面 S 的平均能量,S为任意曲面时,波源功率,S与I垂直,P = IS,S与I不垂直, I与S法向成角,P = IS cos ,证明平面波,在垂直于I方向取两平面 S1=S2,所以,平面波振幅相等：,求证在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变.,得证.,对球面波：P1=P2 即 I1 S1=I2 S2,球面波,即振幅与离波源的距离成反比。,球面
9、简谐波的波函数：,声波 能引起听觉的机械波,声波：,次声波：,超声波：,人的听觉与频率和声强有关 .,最低声强（闻阈）I0=10-12W/m2 (约1000Hz),最高声强（痛阈）I 10W/m2 (约1000Hz),声强声波的波强,10.4.3 声强与声强级,声强级,人耳所感受到的声音的响度.,声波传播的速度几乎与频率无关，而速度与介质的密度有关，所以声波传播的速度对于温度和压强的变化很敏感.,定义声强级,I0为人耳听得到的最小声强（标准声强）.,（红线为等响度线）,10.4.4 声压声强和声压的关系,波不仅传递能量还传递动量. 伴随波的传播，还存在压强的传播.,声压,p是有声波传播的空间某
10、一点在某一瞬时的压强,p0是没有声波时的压强,设简谐波方程,体元速度,声压波方程可表示为,声压幅,若波沿负x方向传播,波阻,或,波在介质中传播时，波强逐渐减弱,10.4.5 声波的衰减超声波的优势,声强级,I入射初始声强，Id深入介质d 距离处的声强,衰减系数.,1MHz频率超声波经过几种介质的衰减系数,10.4.6 波的反射和透射半波损失,反射系数,透射系数,Z大波密介质, Z小波疏介质.,入射波在反射时发生反向的现象称为半波损失.,脉冲波在界面处的反射和透射,例题1 如图,沿 x 轴传播的平面简谐波方程为,隔开两种介质的反射界面，A与坐标原点O相距2.25 m.设反射端两侧波阻相差悬殊且可
11、视为固定端.求反射波方程.,(SI),反射波在O点比在A点落后,解因两侧波阻相差悬殊,可认为反射波入射波振幅相同.,入射波在 A 点比 O 点落后,固定端反射，有半波损失，因此，反射波在坐标原点的相位比入射波在该点的相位落后,反射波方程, =200m/s, =100Hz,而已知入射波在坐标原点的初相位为零，故,(SI),波的叠加原理当几列波在介质中的某点相遇时，该质元的振动位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和.,10.5 波的叠加和干涉驻波,10.5.1 波的叠加群速,1.波的叠加原理,注：此原理只适用于线性行波，对非线性行波(如爆炸)不适用.,重要性：可将任一复杂的线性行波分解为
12、简谐波的叠加.,若 y1 、y2 分别是它的解，则 (y1+y2) 也是它的解, 即波动方程遵从叠加原理.,波的叠加原理的基础是波动方程为线性微分方程,2.群速,群速度合成波任一给定振幅传播的速度.,在有色散的介质中, 群速度 相速度,下面先来讨论两个频率相近，振幅相同的简谐波的同向叠加.,振幅被调制的波包的速度，即群速,相速度,波在无色散的介质中传播,波的干涉之模拟演示图,10.5.2 波的干涉,两束叠加的波在交迭区域某些点处振幅始终最大，另一些位置振幅始终最小，而其它位置，振动的强弱介乎二者之间，保持不变.称这种稳定的叠加图样为干涉现象.,1. 波的干涉,2. 相干条件得到干涉所要求的条件
13、.,具有恒定的相位差;,振动方向相同.,两波源的波振幅相近或相等时干涉现象明显.,两波源具有相同的频率;,满足相干条件的波 叫相干波,波源叫相干波源,叠加叫相干叠加.,设有两个频率相同的波源S1和S2,其振动表达式为,3. 强度计算,传播到 P 点引起的振动为：,在P点的振动为,合振动的强度为：,对空间不同的位置，都有恒定的，因而, 合强度在空间形成稳定的分布(干涉特点).,其中：,干涉相长(强度最强点),4. 干涉加强、减弱条件,干涉相消（强度最弱点）,当两相干波源为同相波源时，相干条件写为：,相长干涉,相消干涉,波程差,干涉是能量的重新分布,实现干涉的艰难任务是实现初相差恒定,1. 形成,
14、驻波 沿相反方向传播的两列等幅相干波的叠加.,10.5.3 驻波,动画演示,2. 驻波特点,各质点的振幅各不相同.位移恒为零波节, 振幅始终最大波腹.,在波节波腹之间各点作稳定的振动，其A有,0 A 2A,(1)振幅特点,两相邻波节之间的各质元振动相位相同，每一波节两侧各质元的振动相位相反.,在驻波中却没有能量的定向传递.,(2) 相位特点,3. 定量计算,振幅因子,谐振因子,(1)驻波是各点振幅不同的简谐振动的集体,波腹,振幅取最大值.,波节,振幅为零.,波节处的质元静止不动.,相邻两波腹间或两波节间的距离均为半个波长.,(2)相位,相邻波节的坐标,代入振幅因子,中得,相邻波节间各体元余弦同
15、号，即具有相同的相位.,相邻波腹的坐标,代入驻波方程中,中得,相邻两波腹的相位相反.,4. 驻波的能量,动能与势能相位相反，没有能量的定向传播.,例题已知入射波的表达式 写反射波的表达式,若全反射,以b为参考点写反射波,b点的振动,若波从波疏向波密介质入射，反射波在b点的振动为：,表示沿x负方向传播的波.,设弦长l ,其上形成驻波的波长必须满足:,即弦线上形成的驻波波长、频率均不连续. 这些频率称为弦振动的本征频率， 对应的振动方式称为简正模式.,最低的频率称为基频，其它整倍数频率为谐频.,1.两端固定的弦中的驻波,10.5.4 弦与空气柱的本征振动,弦线中的驻波,波长,波频,其中,系统究竟按那种模式振动，取决于初始 条件,一般是各种简正模式的叠加.,n=1,n=2,n=3,2.空气柱的振动,设管一端封闭，另一端敞开，开端形成波腹，闭端形成波节.固有振动的波长和频率为,3.二维驻波,板和膜的振动，波在边界往复的反射形成驻波.,矩形膜上的二维驻波，阴影部分和明亮部分反相，两者的交线为波节.,10.6 多普勒效应,多普勒效应由于波源和观测者的相对运动，造成观测频率与波源频率不同的现象.,是介质中某点三量的关系.,
