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1、2017第三章 基于数据集的参数表达及数据集映射 尔伯特变换 散小波变换 /波包与小波变换软件 模式映射举例 章小结2017 量数据集的概念测量数据集是用来表示或传输信息的某个量的名称。图 1示出了某些可能的测量数据集，其中大部分属于电气参数数据集。图 1 数据集是用来表示或传输信息的量2017据集的分类数据集是测量数据的集合。在数学中，按照物理量有无方向性，可以分为无方向性的标量和有方向性的矢量，而标量和矢量又同属于张量；按数据元素的维数，可以分为一维和多维；按测量域的不同，可以分为时间 (函数 )量和空间 (函数 )量。按照计量学划分，我们可以将物理量分为：时间频率计量、电磁学
2、计量、电子学计量、几何量计量、温度计量、力学计量、光学计量、声学计量、化学计量、电离辐射计量。多维测量，多指对图形图像中目标或区域的特征进行量测和估计。广义的图像测量包括对图像的灰度特征、纹理特征和几何特征的量测和描述。狭义图像测量仅指对图像目标几何特征的量测，包括对目标或区域几何尺寸的量测和几何形状特征的分析。图像量测主要包括几何尺寸测量、形状参数测量、距离测量和空间关系测量四个方面。2017 通过实验的方法对客观事物取得数量观念的认识过程 ， 因此 ， 测量过程也可视为数据映射过程 。 信息本身不具备传输 、 交换的功能 ， 只有通过信号才能实现这种功能 ， 因此测试技术与信号密切相关 。
3、 信息 、 信号 、 测量系统之间的关系可表述为：获取信息是测量的目的 ， 信号是信息的载体 ， 测量是得到被测参数信息的技术手段 。光谱数据也属于多维数据的范畴，光谱分析是自然科学中一种重要的研究手段，光谱技术能检测到被测物体的物理结构、化学成分等指标。根据传感器的光谱分辨率，光谱成像技术一般可分成多光谱成像、高光谱成像和超光谱成像，其分辨率依次增高。2017测量系统是一种能将被测参数转换成可直接观测指示或等效信息的测试设备，其框图如图 2所示。图 2敏 感 元 件 转 换 元 件 调 理 电 路 显 示接 口( 数 字 化 )计 算 机分 析 结 果存 储反 馈 、 控 制或 监 测 诊
4、断2017针对具体信号或系统的不同，我们需要设定相应的数学模型来表示被测量的特性。某些数学模型可以很好的描述实际系统，但却难于分析计算。这时，往往可以对数学模型进行变换，将原始数据集映射到新的数据集中，从而简化解决问题的步骤。使用映射变换方法解决问题的逻辑图如图 3所示。图 32017模式映射是指有一定准则可循的映射关系。这些数学准则的讨论要在相应的数学空间内进行，映射关系也往往对应着相应的数学变换。对于时域信号来说 ,可以看成无限维空间中的一个向量，用正交函数系作为归一化正交基 (单位向量 )，可以把信号向量表示为一组正交函数的线性组合。(3式中， 是分解系数，它们是一组离散值。(3(3*(
5、 t ) , ( t ) ( t ) ( t ) d *( ) , ( ) ( ) ( )n n x n n 112, N 2017式 (3为信号的变换，变换的结果即求出一组系数 ；与此相对应，式 (3为信号的综合或反变换。信号的正交分解或正交变换，是信号处理中最常用的一类变换，正交变换的基向量即是其对偶基向量；展开系数 是信号 的准确投影；正交变换保证变换前后信号的能量不变；信号正交分解具有最小平方近似性质；正交变换总的可分为两大类，即非正弦类正交变换与正弦类正交变换。前者包括 斜变换 (，后者包括离散傅里叶变换 (离散余弦变换 (离散正弦变换 (离散 离散 。以 于其运算时不需
6、要乘法，因此在 20世纪 60及 70年代曾受到推崇并被用于图像编码与数据压缩。由于具有硬件乘法器的高速 弦类正交变换无论是其理论价值还是应用价值都优于非正弦类变换，从而在正交变换中占据了主导地位。12, N n n20170除了正弦类和非正弦类正交变换以外，还有一种特殊的正交变换，即 K变换去除信号中的相关性最彻底，且有着最佳的统计特性，因而被称为最佳变换。遗憾的是 K而缺少实现 K憾的是 K而缺少实现 K果为 基向量，则通过 以按照一定的法则将它们转换成标准正交基向量： 。 一种常用的信号预处理方法。此外，可以由非正交基函数构造其对偶基函数的方法来实现双正交信号变换。1,1,n2017句话
7、说，需要测试人员自己总结规律、建立模型才能完成整个测量过程。可以说，在这种情况下，新映射关系的建立完全依赖于数学建模。在实践中，建立模型、寻找特定的映射关系时还是有一些科学的思想方法可供采用：如数据拟合、主成分分析、软测量以及时间序列建模，等等。数据拟合指根据一组二维数据，即平面上的若干点，要求确定一个一元函数 y = f(x)，即曲线，使这些点与曲线总体来说尽量接近。曲线拟合的目的是根据实验获得的数据去建立因变量与自变量之间有效的经验函数关系，为进一步的深入研究提供线索。本书第五章有介绍了数据拟合，还介绍了主成分分析。主成分分析是指设法将原来变量重新组合成一组新的互相无关的几个综合变量，同时
8、根据实际需要从中可以取出几个较少的综合变量尽可能多地反映原来变量的信息的统计方法叫做主成分分析或称主分量分析，也是数学上用来降维的一种方法。20172时间序列是指将同一统计指标的数值按其发生的时间先后顺序排列而成的数列。时间序列分析的主要目的是根据已有的历史数据对未来进行预测，相关介绍请参阅本书第六章。软测量技术是指利用容易测量的过程变量 (辅助变量 )，并且依据这些过程变量与难以直接测量的待测过程变量 (主导变量 )之间的数学关系，通过计算与预测，从而达到对待测过程变量的测量。软测量建模在本书第七章有介绍。2017是一种特殊的正交变换，主要用于一维和二维信号的数据压缩。对给定的信号 x(n)
9、，若它是正弦信号，那么不管它有多长，仅需三个参数，即幅度、频率和相位，便可完全确定它。当需要对 x(n)进行传输或存储时，仅需传输或存储这三个参数。在接收端，由于这三个参数可完全无误差地恢复出原信号，因此达到了数据最大限度的压缩。对大量的非正弦信号，如果它的各个分量之间完全不相关，那么表示该数据中没有冗余，需要全部传输或存储；若 x(n)中有相关成分，通过去除其相关性则可达到数据压缩的目的。一个宽平稳的实随机向量 ，其协方差矩阵 是实对称的。矩阵 体现了信号向量中各分量之间的相关性，若 么 中除对角线以外的元素皆为零。 ，使得 A对 步骤如下。 x ( 0 ) , x ( 1 ) , , x
10、( N 1 ) 4先由 阶多项式 求矩阵 的特征值 ，再求 的 然后将 归一化，由归一化的向量 就可构成归一化的正交矩阵 A，即 ，最后由 y=以证明， 对角矩阵。设 x,维向量，也是 阵 正交阵，将 正交矩阵的性质，有这样， 基向量是 ，如果希望对 x(n)做数据压缩，那么可对 舍去 y(n)中一部分分量。不失一般性，假定舍去 y(m+1)， y(m+2)， ， y(这样，由 y(0)， y(1)， ，y(m)恢复 x(n)时，将只能是对 x(n)的近似，记为 ，则有| | 0 1 1, 1, , , A 0 1 1, , , A 0 1 1, , , &
11、nbsp;A 0 1 1 , , A A 10 1 110 , , ( 0 ) A ( 1) A ( N 1) A( i ) y A A A yy y 1 1 , , A A 0 1 1, A 5对 们可以对 定一个随机信号向量，寻求一组基向量，使得按式 (3 1)完全去除了原信号 2)进行数据压缩时，将 y(n)截短所得的均方误差最小，该最小均方误差等于所舍去的特征值之和；(3)若将 那么将 舍去后，将使余下的 。保留了最大的能量。也就是说，信号 x，并且将 留了原信号的最大能量。010 ( 0 ) A ( 1) A ( m ) A
12、( i ) y y x 0 1 1N 11,01, , , m 20176由于以上原因， 遗憾的是基向量和方差阵 有关，而特征值和特征向量的计算又比较困难，因此目前还没有快速的 协方差矩阵对角线上各阵元反映了变换域中各分量的方差，因此协方差矩阵提供了元素间相关性的测度。在此，我们用特征值矩阵的 “ 迹 ” 来表述特征值，称为简化的 迹矩阵 ” ，即(3宏观上看，式 (3映了原图像的特征信息在变换域中的一种新的分布。我们可取前 第一特征值 共同组成新的特征参数，该特征参数描述了图像的最大能量分布和形状特性分布。广义 模式分类中，可用多类模式的散布矩阵反映模式类别可分性测度，定义为：(3 1 1 2 2N N Nc c c 1(
