《湖北省荆州市沙市第五中学人教版高中数学导学案 必修五 2-5-1 等比数列的前n项和》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖北省荆州市沙市第五中学人教版高中数学导学案 必修五 2-5-1 等比数列的前n项和（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 高中数学高一年级必修 5 第二章第五节 等比数列前 n 项和 （导学案） 制作单位：沙市五中 作者：杨春亮 目标定位：1.了解等比数列前 n 项和公式的推导过程，掌握等数列的五个基本量之间的关系。 2.掌握等比数列前 N 项和公式，性质及其应用。（重点） 3.能应用错位相减法对数列求和。（难点） 等比数列的前 n 项和公式 已知等比数列an，公比为 q，Sn是其前 n 项的和，则 Sna1a2ana1a1qa1q2a1qn1. 问题 1：若 q1，则 Sn与 a1有何关系？ 提示：Snna1. 问题 2：若 q1，你能用 a1，q 直接表示 Sn吗？如何表示？ 提示：Sna1a1qa1q2a
2、1qn1 两边同乘以 q，可得： qSna1qa1q2a1qn1a1qn 得： (1q)Sna1a1qn， 当 q1 时，Sn. a11qn 1q 等比数列的前 n 项和公式 已知量首项 a1与公比 q首项 a1，末项 an与公比 q 公式SnError!Error!SnError!Error! 1在运用等比数列的前 n 项和公式时，一定要注意对公比 q 的讨论(q1 或 q1) 2当 q1 时，若已知 a1及 q，则用公式 Sn较好；若已知 an，则用公式 Sn a11qn 1q 较好 a1anq 1q 等比数列的前 n 项和公式的基本运算 在等比数列an中， (1)若 a11，a516，且
3、 q0，求 S7； (2)若 Sn189，q2，an96，求 a1和 n； (3)若 a3 ，S3 ，求 a1和公比 q. 3 2 9 2 (1)因an为等比数列且 a11，a516 a5a1q4 16q4 q2(负舍) S7127. a11q7 1q 127 12 (2)法一：由 Sn，ana1qn1以及已知条件得Error!Error! a11qn 1q a12n192， 2n. 192 a1 189a1(2n1)a1， ( 192 a1 1) a13. 又2n132， 96 3 n6. 法二：由公式 Sn及条件得 a1anq 1q 189，解得 a13，又由 ana1qn1， a196
4、2 12 得 9632n1，解得 n6. (3)当 q1 时，S3 ， a11q3 1q 9 2 又 a3a1q2 ， 3 2 a1(1qq2) ， 9 2 即(1qq2) ， 3 2 q2 9 2 解得 q (q1 舍去)， 1 2 a16. 当 q1 时，S33a1， a1 . 3 2 综上得Error!Error!或Error!Error! 在等比数列an的五个量 a1，q，an，n，Sn中，a1与 q 是最基本的元素，当条件与结论间的 联系不明显时，均可以用 a1与 q 表示 an与 Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式 相除达到整体消元的目的这是方程思想与整体思想在数列中
5、的具体应用 1在等比数列an中， (1)若 q2，S41，求 S8. (2)若 a1a310，a4a6 ，求 a4和 S5； 5 4 解：(1)设首项为 a1， q2，S41， 1，即 a1， a1124 12 1 15 S817. a11q8 1q 1 15128 12 (2)设公比为 q，由通项公式及已知条件得 Error!Error! 即Error!Error! a10,1q20，得， q3 ，即 q ， 1 8 1 2 a18. a4a1q38 31， ( 1 2) S5 a11q5 1q 8 1( 1 2)5 11 2 31 2 等比数列前 n 项和的性质 设等比数列an的前 n 项
6、和为 Sn，已知 S42，S86，求 a17a18a19a20的值 由等比数列前 n 项和的性质，可知 S4，S8S4，S12S8，S4nS4n4，成等比数列 由题意可知上面数列的首项为 S42，公比为2，故 S4nS4n42n(n2)， S8S4 S4 所以 a17a18a19a20S20S162532. 等比数列前 n 项和的重要性质 (1)等比数列an的前 n 项和 Sn，满足 Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，成等比数列(其中 Sn，S2nSn，S3nS2n，均不为 0)，这一性质可直接应用 (2)等比数列的项数是偶数时，q； S偶 S奇 等比数列的项数是奇数时，q. S奇
7、a1 S偶 2(1)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若3，则( ) S6 S3 S9 S6 A2 B. 7 3 C. D3 8 3 解析：(1)设公比为 q(q0)，则题意知 q1，根据等比数列前 n 项和的性质，得 S6 S3 1q33， 1q3S3 S3 即 q32. 于是 . S9 S6 1q3q6 1q3 124 12 7 3 答案：B (2)等比数列an共有 2n 项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比 q_. 解析：由题意知：Error!Error! Error!Error!公比 q2. S偶 S奇 160 80 答案：2 等比数列的综合应用 等比数列an
8、的前 n 项和为 Sn，已知 S1，S3，S2成等差数列 (1)求an的公比 q； (2)若 a1a33，求 Sn. (1)S1，S3，S2成等差数列， 2S3S1S2，显然an的公比 q1， 于是a1， 2a11q3 1q a11q2 1q 即 2(1qq2)2q， 整理得 2q2q0， q (q0 舍去) 1 2 (2)q ， 1 2 又 a1a33， a1a1( )23， 1 2 解得 a14. 于是 Sn. 41(1 2)n 1(1 2) 8 31( 1 2)n 在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、 通项公式及前 n 项和公式是解决问题的关
9、键 3已知数列an的前 n 项和 Sn2nn2，anlog5bn，其中 bn0，求数列bn的前 n 项和 Tn. 解：当 n2 时，anSnSn1 (2nn2)2n3， 当 n1 时，a1S121121 也适合上式， an的通项公式 an2n3(nN*) 又 anlog5bn， log5bn2n3， 于是 bn52n3，bn152n1， 52. bn1 bn 52n1 52n3 1 25 因此bn是公比为的等比数列，且 b15235， 1 25 于是bn的前 n 项和 Tn 51( 1 25)n 1 1 25 . 125 241( 1 25)n 1数列2n1的前 99 项和为( ) A2100
10、1 B12100 C2991 D1299 解析：选 C 数列2n1为等比数列，首项为 1，公比为 2，故其前 99 项和为 S992991. 1299 12 2等比数列an中，a33S22，a43S32，则公比 q 等于( ) A2B. 1 2 C4D. 1 4 解析：选 C a33S22，a43S32，等式两边分别相减得 a4a33a3即 a44a3，q4. 3已知等比数列an中，q2，n5，Sn62，则 a1_. 解析：q2，n5，Sn62， 62，即62， a11qn 1q a1125 12 a12. 答案：2 4等比数列an的前 5 项和 S510，前 10 项和 S1050，则它的前
11、 15 项和 S15_. 解析：由等比数列前 n 项和的性质知 S5，S10S5， S15S10成等比数列，故(S10S5)2S5(S15S10)， 即(5010)210(S1550)，解得 S15210. 答案：210 5在等比数列an中， (1)S230，S3155，求 Sn； (2)若 Sn189，a13，an96，求 q 和 n. 解：(1)由题意知Error!Error! 解得Error!Error!或Error!Error! 从而 Sn 5n1 1 4 5 4 或 Sn. 1 080 1( 5 6)n 11 (2)等比数列an中，a13，an96，Sn189， 189. 396q 1q q2. ana1qn1. 9632n1. n516.
