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1、31.2 两条直线平行与垂直的判定平面几何中，两条直线平行同位角相等问题 1：在平面直角坐标中，若 l1l2，则它们的倾斜角 1与 2有什么关系？提示：相等问题 2：若 l1l2，则 l1，l2的斜率相等吗？提示：不一定，可能相等，也可能都不存在问题 3：若 l1与 l2的斜率相等，则 l1与 l2一定平行吗？提示：不一定可能平行也可能重合对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，有 l1l2k1k2.对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)l1l2k1k2成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；l1与 l2不重合(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与 l2的倾斜
2、角都是 90，则 l1l2.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：l1l2k1k2或 l1，l2斜率都不存在.已知两条直线 l1，l2，若 l1的倾斜角为 30，l1l2.问题 1：上述问题中，l1，l2的斜率是多少？提示：k1，k2.333问题 2：上述问题中两直线 l1、l2的斜率有何关系？提示：k1k21.问题 3：若两条直线垂直且都有斜率，它们的斜率之积一定为1 吗？提示：一定如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1；反之，如果它们的斜率之积等于1，那么它们互相垂直，即 l1l2k1k21.对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)l1l2k1k21 成立
3、的前提条件是：两条直线的斜率都存在；k10 且 k20.(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直(3)判定两条直线垂直的一般结论为：l1l2k1k21 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零根据下列给定的条件，判断直线 l1与直线 l2是否平行(1)l1经过点 A(2,1)，B(3,5)，l2经过点 C(3，3)，D(8，7)；(2)l1经过点 E(0,1)，F(2，1)，l2经过点 G(3,4)，H(2,3)；(3)l1的倾斜角为 60，l2经过点 M(1，)，N(2，2)；33(4)l1平行于 y 轴，l2经过点 P(0，2)，Q(0,
4、5)(1)由题意知，k1 ，k2 ，所以直线 l1与直线 l2平行或重合，513245738345又 kBC ，故 l1l2.53334345(2)由题意知，k11，k21，所以直线 l1与直线 l2平行或重合，kFG112034231，故直线 l1与直线 l2重合4132(3)由题意知，k1tan 60，k2，k1k2，所以直线 l1与直线 l2平行32 3 3213或重合(4)由题意知 l1的斜率不存在，且不是 y 轴，l2的斜率也不存在，恰好是 y 轴，所以 l1l2.判断两条不重合直线是否平行的步骤1试确定 m 的值，使过点 A(m1,0)，B(5，m)的直线与过点 C(4,3)，D(
5、0,5)的直线平行解：由题意直线 CD 的斜率存在，则与其平行的直线 AB 的斜率也存在kAB，kCD ，由于 ABCD，即 kABkCD，所以 ，得m05m1m6m530412m6m12m2.经验证 m2 时直线 AB 的斜率存在，所以 m2.已知直线 l1经过点 A(3，a)，B(a2，3)，直线 l2经过点 C(2,3)，D(1，a2)，如果 l1l2，求 a 的值设直线 l1，l2的斜率分别为 k1，k2.直线 l2经过点 C(2,3)，D(1，a2)，且 21，l2的斜率存在当 k20 时，a23，则 a5，此时 k1不存在，符合题意当 k20 时，即 a5，此时 k10，由 k1k
6、21，得1，解得 a6.3aa23a2312综上可知，a 的值为 5 或6.使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式(3)求值：计算斜率的值，进行判断尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论总之，l1与 l2一个斜率为 0，另一个斜率不存在时，l1l2；l1与 l2斜率都存在时，满足k1k21.2已知定点 A(1,3)，B(4,2)，以 A、B 为直径作圆，与 x 轴有交点 C，则交点 C 的坐标是_解析：以线段 AB 为直径的圆与 x 轴的交点为 C，则
7、 ACBC.设 C(x,0)，则kAC，kBC，所以1，得 x1 或 2，所以 C(1,0)或(2,0)3x12x43x12x4答案：(1,0)或(2,0)已知 A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)四点，若顺次连接 A，B，C，D 四点，试判定图形 ABCD 的形状由题意知 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得 kAB ，532413kCD ，kAD3，0336130334kBC .356212所以 kABkCD，由图可知 AB 与 CD 不重合，所以 ABCD.由 kADkBC，所以 AD 与 BC 不平行又因为 kABkAD (3)1，13所以
8、 ABAD，故四边形 ABCD 为直角梯形1在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标2证明两直线平行时，仅有 k1k2是不够的，注意排除两直线重合的情况3已知 A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点 D 满足 ABCD，且 ADBC，试求点 D 的坐标解：设 D(x，y)，则 kAB1，kBC ，kCD，kDA.因为231420323y4xyx1ABCD，ADBC，所以，kABkCD1，kDAkBC，所以Error!Error!解得Error!Error!即 D(10，6)8.利用平行或垂直确定参数值已知直线 l1经过 A(3，m)，B
9、(m1,2)，直线 l2经过点 C(1,2)，D(2，m2)(1)若 l1l2，求 m 的值；(2)若 l1l2，求 m 的值欲求m的值，需根据l1 l2或l1 l2列出关于m的关系式由直线l1过A、B两点，直线l2过C、D两点，求斜率先求 l2的斜率由 l1l2得 k1k2列关系式检验由 l1l2讨论 k20 或 k20，再由k1k21 得出结论规范解答由题知直线l2的斜率存在且k22m212m3.2分1若l1 l2，则直线l1的斜率也存在，由k1k2，得2mm4m3，解得m1或m6，4分 经检验，当m1或m6时，l1 l 2 .6分2若l1 l2，当k20时，此时m0，l1斜率存在，不符合
10、题意；8分当 k20时，直线 l2的斜率存在且不为 0，则直线 l1的斜率也存在，且 k1k21，即 1，解得 m3 或 m4，(10 分)m32mm4所以 m3 或 m4 时，l1l.(12 分) 2处易漏掉而直接利用两直线平行或垂直所具备的条件来求 m 值，解答过程不严谨处讨论 k20 和 k20 两种情况此处易漏掉检验做解答题要注意解题的规范已知 A(m3,2)，B(2m4,4)，C(m，m)，D(3,3m2)，若直线 ABCD，求 m 的值解：因为 A，B 两点纵坐标不等，所以 AB 与 x 轴不平行因为 ABCD，所以 CD 与 x轴不垂直，故 m3.当 AB 与 x 轴垂直时，m3
11、2m4，解得 m1，而 m1 时，C，D 纵坐标均为1，所以 CDx 轴，此时 ABCD，满足题意当 AB 与 x 轴不垂直时，由斜率公式得 kAB，kCD422m4m32m1.3m2m3m2m1m3因为 ABCD，所以 kABkCD1，解得 m1.综上，m 的值为 1 或1.1下列说法正确的有( )若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；若 l1l2，则 k1k2；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析：选 A 若 k1k2，则这两条直线平行或重合，所以错；当
12、两条直线垂直于 x 轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0 时，才有这两条直线垂直，所以错；正确2直线 l1，l2的斜率是方程 x23x10 的两根，则 l1与 l2的位置关系是( )A平行 B重合C相交但不垂直 D垂直解析：选 D 设 l1，l2的斜率分别为 k1，k2，则 k1k21.3已知ABC 中，A(0,3)、B(2，1)，E、F 分别为 AC、BC 的中点，则直线 EF 的斜率为_解析：E、F 分别为 AC、BC 的中点，EFAB.kEFkAB2.1320答案：24经过点(m,3)和(2，m)的直线 l 与斜率为4 的直线
13、互相垂直，则 m 的值是_解析：由题意可知 kl ，又因为 kl，所以 ，解得 m.14m32mm32m14145答案：1455判断下列各小题中的直线 l1与 l2的位置关系(1)l1的斜率为10，l2经过点 A(10,2)，B(20,3)；(2)l1过点 A(3,4)，B(3,100)，l2过点 M(10,40)，N(10,40)；(3)l1过点 A(0,1)，B(1,0)，l2过点 M(1,3)，N(2,0)；(4)l1过点 A(3,2)，B(3,10)，l2过点 M(5，2)，N(5,5)解：(1)k110，k2.322010110k1k21，l1l2.(2)l1的倾斜角为 90，则 l
14、1x 轴k20，40401010则 l2x 轴，l1l2.(3)k11，k21，k1k2.01100321又 kAM2k1，l1l2.3110(4)l1与 l2都与 x 轴垂直，l1l2.一、选择题1已知过点 P(3,2m)和点 Q(m,2)的直线与过点 M(2，1)和点 N(3,4)的直线平行，则m 的值是( )A1 B1C2 D2解析：选 B 因为 MNPQ，所以 kMNkPQ，即 ，解得 m1.413222mm32以 A(1,1)，B(2，1)，C(1,4)为顶点的三角形是( )A锐角三角形B钝角三角形C以 A 点为直角顶点的直角三角形D以 B 点为直角顶点的直角三角形解析：选 C 如右图所示，易知 kAB ，kAC ，由112123411132kABkAC1 知三角形是以 A 点为直角顶点的直角三角形3已知点 A(2，5)，B(6,6)，点 P 在 y 轴上，且APB90，则点 P 的坐标为( )A(0，6) B(0,7)C(0，6)或(0,7) D(6,
