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1、_3.1 直线的倾斜角与斜率31.1 倾斜角与斜率在平面直角坐标系中，直线 l 经过点 P.问题 1：直线 l 的位置能够确定吗？提示：不能问题 2：过点 P 可以作与 l 相交的直线多少条？提示：无数条问题 3：上述问题中的所有直线有什么区别？提示：倾斜程度不同1.倾斜角的定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角如图所示，直线 l 的倾斜角是APx，直线 l的倾斜角是BPx.2倾斜角的范围：直线的倾斜角 的取值范围是 0180，并规定与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 0.3倾斜角与直线形状的关系倾斜角009
2、09090180直线对直线的倾斜角的理解(1)倾斜角定义中含有三个条件：x 轴正向；直线向上的方向；小于 180的非负角(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由 x 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对 x 轴的倾斜程度(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.日常生活中，常用坡度(坡度)表示倾斜程度，例如，升高量 前进量“进 2 升 3”与“进 2 升 2”比较，前者更陡一些，因为坡度 .3222问题 1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借
3、助于坡度来描述直线的倾斜程度？提示：可以问题 2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？提示：可以问题 3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？提示：与倾斜角的正切值相等1斜率的定义：一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率常用小写字母 k 表示，即 ktan_.2斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为 k.当y2y1x2x1x1x2时，直线 P1P2没有斜率3斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度1倾斜角 与斜率 k 的关系(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都
4、有斜率当倾斜角是 90时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于 x 轴(平行于 y 轴或与 y 轴重合)(2)直线的斜率也反映了直线相对于 x 轴的正方向的倾斜程度当 090时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当 90180时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大2斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说， 如果分子是 y2y1，分母必须是 x2x1；反过来，如果分子是 y1y2，分母必须是 x1x2，即 k.y1y2x1x2y2y1x2x1(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若
5、不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论(1)若直线 l 的向上方向与 y 轴的正方向成 30角，则直线 l 的倾斜角为( )A30 B60C30或 150 D60或 120(2)下列说法中，正确的是( )A直线的倾斜角为 ，则此直线的斜率为 tan B直线的斜率为 tan ，则此直线的倾斜角为 C若直线的倾斜角为 ，则 sin 0D任意直线都有倾斜角 ，且 90时，斜率为 tan (1)如图，直线 l 有两种情况，故 l 的倾斜角为 60或 120.(2)对于 A，当 90时，直线的斜率不存在
6、，故不正确；对于 B，虽然直线的斜率为 tan ，但只有 0180时， 才是此直线的倾斜角，故不正确；对于 C，当直线平行于 x 轴时，0，sin 0，故 C 不正确，故选 D.(1)D (2)D求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角(2)两点注意：当直线与 x 轴平行或重合时，倾斜角为 0，当直线与 x 轴垂直时，倾斜角为 90.注意直线倾斜角的取值范围是 0180.1直线 l 经过第二、四象限，则直线 l 的倾斜角范围是( )A (1)已知过两点 A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为 135，则 y_；(2)过点 P(2，m)，Q(m,
7、4)的直线的斜率为 1，则 m 的值为_；(3)已知过 A(3,1)，B(m，2)的直线的斜率为 1，则 m 的值为_(1)直线 AB 的斜率 ktan 1351，又 k，由1，得 y5.3y243y24(2)由斜率公式 k1，得 m1.4mm2(3)当 m3 时，直线 AB 平行于 y 轴，斜率不存在当 m3 时，k1，解得 m0.21m33m3(1)5 (2)1 (3)0利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x1x2” ，即直线不与 x 轴垂直，因为当直线与 x 轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点 P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的 x1与 x
8、2，y1与 y2可以同时交换位置3(2012河南平顶山高一调研)若直线过点 (1,2)，(4，2)，则此直线的倾斜角是( )3A30 B45C60 D90解析：选 A 设直线的倾斜角为 ，直线斜率 k，2 324133tan .33又0180，30.已知实数 x，y 满足 y2x8，且 2x3，求 的最大值和最小值yx如图所示，由于点(x，y)满足关系式 2xy8，且 2x3，可知点P(x，y)在线段 AB 上移动，并且 A，B 两点的坐标可分别求得为 A(2,4)，B(3,2)由于 的几何意义是直线 OP 的斜率，且 kOA2，kOB ，所以可求得 的最大值为 2，最yx23yx小值为 .2
9、3根据题目中代数式的特征，看是否可以写成的形式，若能，则联想其几何意义(即y2y1x2x1直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题4点 M(x，y)在函数 y2x8 的图象上，当 x时，求的取值范围y1x1解：的几何意义是过 M(x，y)，N(1，1)两点的直线的斜率y1x1y1x1点 M 在函数 y2x8 的图象上，且 x，设该线段为 AB 且 A(2,4)，B(5，2)kNA ，kNB ，5316 .16y1x153的取值范围为y1x1已知两点 A(3,4)，B(3,2)，过点 P(1,0)的直线 l 与线段 AB 有公共点，则 l 的倾斜角的取值范围_；直线 l 的斜率 k 的取值
10、范围_如图，由题意可知 kPA1，kPB1，则直线 l 的40312031倾斜角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角之间，又 PB 的倾斜角是 45，PA 的倾斜角是 135，直线 l 的倾斜角 的取值范围是 45135；要使 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l的斜率 k 的取值范围是 k1 或 k1.45135 k1 或 k11本题易错误地认为1k1，结合图形考虑，l 的倾斜角应介于直线 PB 与直线 PA的倾斜角之间，要特别注意，当 l 的倾斜角小于 90时，有 kkPB；当 l 的倾斜角大于 90时，则有 kkPA.2.如图，过点 P 的直线 l 与直线段 AB 相交时，因为过点 P
11、且与 x 轴垂直的直线 PC 的斜率不存在，而 PC 所在的直线与线段 AB 不相交，所以满足题意的斜率夹在中间，即 kPAkkPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边已知直线 l 过点 P(3,4)，且与以 A(1,0)，B(2,1)为端点的线段 AB 有公共点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围解：直线 PA 的斜率 kPA1，直线 PB 的斜率 kPB3，要使直线 l 与40314132线段 AB 有公共点，k 的取值范围为1关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是( )A任一直线都有倾斜角，都存在斜率B倾斜角为 135的直线的斜率为 1C若一条直线的倾
12、斜角为 ，则它的斜率为 ktan D直线斜率的取值范围是(，)解析：选 D 任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为 90时，斜率不存在所以 A、C 错误；倾斜角为 135的直线的斜率为1，所以 B 错误；只有 D 正确2已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于 1，则 m 的值是( )A5 B8C. D7132解析：选 C 由斜率公式可得1，解之得 m.8mm51323直线 l 经过原点和(1,1)，则它的倾斜角为_解析：kl1，1010因此倾斜角为 135.答案：1354已知三点 A(a,2)，B(3,7)，C(2，9a)在同一条直线上，实数 a 的值为_解析：A、B、C 三点共线，kA
13、BkBC，即，a2 或 .53a9a7529答案：2 或295已知 A(m，m3)，B(2，m1)，C(1,4)，直线 AC 的斜率等于直线 BC 的斜率的3 倍，求 m 的值解：由题意直线 AC 的斜率存在，即 m1.kAC，kBC.m34m1m14213.m34m1m1421整理得：m1(m5)(m1)，即(m1)(m4)0，m4 或 m1(舍去)m4.一、选择题1给出下列说法，正确的个数是( )若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；一条直线的倾斜角为30；倾斜角为 0的直线只有一条；直线的倾斜角 的集合|0180与直线集合建立了一一对应关系A0 B1C2 D3解析：选 A 若两直
14、线的倾斜角为 90，则它们的斜率不存在，错；直线倾斜角的取值范围是 BC. D(0,30，12解析：选 B 过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线斜率时，图象不过第四象限二、填空题6已知 a0，若平面内三点 A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则 a_.解析：若平面内三点共线，则 kABkBC，即，整理得 a22a10，解得a2a21a3a232a1，或 a1(舍去)22答案：127如果直线 l1的倾斜角是 150，l2l1，垂足为 B.l1，l2与 x 轴分别相交于点 C，A，l3平分BAC，则 l3的倾斜角为_解析：因为直线 l1的倾斜角为 150，所以BCA30，所以 l3的倾斜角为 (9030)1230.答案：308已知实数 x，y 满足方程 x2y6，当 1x3 时，的取值范围为_y1x2解析：的几何意义是过 M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率，因为点 M 在函数y1x2x2y6 的图象上，且 1x3，所以可设该线段为 AB，且 A，B，由于(1，52)(3，32)kNA ，k
