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1、1.2.31.2.3 复合函数的导数复合函数的导数【学情分析学情分析】： 在学习了用导数定义这种方法计算常见函数的导数,而且已经熟悉了导数加减运算法则 后.本节将继续介绍复合函数的求导方法. 【教学目标教学目标】： (1)理解掌握复合函数的求导法则. (2)能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导 (3)培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律 【教学重点教学重点】： 简单复合函数的求导法则，也是由导数的定义导出的，要掌握复合函数的求导法则，须 在理解复合过程的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数并灵活应用. 【教学难点教学难点】： 复合函数的求
2、导法则的导入,复合函数的结构分析,可多配例题, 让学生对求导法则有一 个直观的了解. 【教学过程设计教学过程设计】： 教学环节教学活动设计意图(1)复习常见函数导数以及 四则运算.作业讲评及提问,回忆常见函数的导数公式 和导数四则运算,会解释导数实际意义.为课题引入作铺垫.(2)教科书 P16 思考题如何求函数的导数?ln(1)yx开门见山提出问题.(3) 复合函数的定义.(1) 复合函数的定义. (2)比较复合函数与基本初等函数的异同?直接给出定义,并与基 本初等函数相区别和 联系.(4)例题选讲 例例 1 1 试说明下列函数是怎样 复合而成的？(1)；32)2(xy；2sin xy cos
3、()4yx) 13sin(lnxy例例 2 2 写出由下列函数复合而成的函数：，； uycos21xu，uylnxuln允许讨论, 允许提问, 允许争论, 允许修正, 允许置疑. 老师点评.说明：讨论复合函数的构成时， “内层”、 “外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等例 3.求函数的导数.2(32)yx(1) 能否用学过四则运算解决问题?(2)新方法：将函数看作是函2(32)yx数和函数复合函数，并分2yu32ux别求对应变量的导数如下：，2()2uyuu(32)3xux两个导数相乘，得， 从232(32) 31812uxy uuxx AA而有
4、xuxuyy对于一般的复合函数，结论也成立， 以后我们求 yx时，就可以转化为求 yu 和 ux的乘积，关键是找中间变量，随着 中间变量的不同，难易程度不同. (3)能否用方法(2)解决(2)教科书 P16 思考题:如何求函数的导数?ln(1)yx(4)学生动手,可板演,可用实物投影仪讲评.两种方法作对照与比 较,体会不同的解决方 法与策略.鼓励学生模 仿并及时修正.(6)自学教科书 P17 例 4.学生自学,教师巡堂并答疑.在摸索中熟悉.(7)例例 4:求 y=sin2(2x+)的导数.3分析: 设 u=sin(2x+)时，求，但此时3xuu 仍是复合函数，所以可再设 v=2x+.3解略.必
5、要时老师应板书详 细过程.(8) 课堂练习课堂练习： 1求下列函数的导数(先设 中间变量，再求导). (1)y=(5x3)4 (2)y=(2+3x)5 (3)y=(2x2)3 (4)y=(2x3+x)2(1)20(5x3)3(2) 15(2+3x)4 (3) 6x(2x2)2(4) 24x5+16x3+2x 可板演，可小测。 核对答案、讲评并小结.巩固提高.(10)课堂小结复合函数求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将 复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求 导； 复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代. (11)作业布置:教科书 P18A3,4(6),8,B
6、3练习与测试练习与测试: : 1填空：(1)；(2)2222) 1() () 1)( ()1(xxx xx xxx xx222sin4) )(1 (sin) ()sin21(2.求下列函数的导数：(1)y= (2)y= (3)y=tanx (4)y=xaxa 232 xx xcos11 3.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.222sin)cos1 (2)cos1(xxxxx xx4.求 y=的导数.xx sin125.求 y=的导数.xxx cos4236.求函数 y=(2x23)的导数.21x参考答案参考答案: :1(1)22222) 1() 1() 1()1(xxxxx xx22
7、2) 1()2() 1)(1 ( xxxx(2) 2222)sin2()sin2)(1 (sin2)1 ()sin21(xxxxx xxxxxxx xxxxx2222sin4)cos2)(1 (sin)4( sin4)cos2)(1 (sin222. (1)y=()xaxa 2)()()()( xaxaxaxaxa 22)(2 )()()( xaa xaxaxa (2)y=()232 xx2222)3()3)(2()3()2( xxxxx3424234 9123 9)6)(2(3 xx xxx xxxx(3)y=(tanx)=()xx cossin2)(cos)(cossincos)(sin
8、xxxxxxxxxx2 2222 seccos1 cossincos(4)y=()xcos11 2)cos1 ()cos1 (1)cos1 (1 xxx 22)cos1 (sin )cos1 (sin)cos1 (0 xx xxx 3.不正确，分母未平方，分子上正负号弄错.2222231 cos(1 cos )(1 cos )()()() sin2cos2xx xx x xx xxx x 4.y=()xx sin12222)(sin)(sin1 (sin)1 ( xxxxxxxxxx22sincos)1 (sin25.y=()xxx cos423222323)cos()cos)(4(cos)4
9、( xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx233424524242322coscos)8(sin)4(cossinsin4cos8coscos)sincos2)(4(cos3xxxxx22sincos)1 (sin25.y=()xxx cos423222323)cos()cos)(4(cos)4( xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx233424524242322coscos)8(sin)4(cossinsin4cos8coscos)sincos2)(4(cos36. 分析: y 可看成两个函数的乘积，2x23 可求导，是复合函数，可以先算出21x对 x 的导数.21x令 y=uv，u=2x23，v=, 令 v=，=1+x221x= (1+x2) xxxvv()= 22211122)2(21xxxxx yx=(uv) x=u xv+uv x=(2x23) x+(2x23)21x 21xx=4x 2323 2 161321 xxxxxxx 即 yx=. 2316xxx
