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1、模拟滤波器的设计,模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。,典型的模拟滤波器,巴特沃斯 Butterworth 滤波器幅频特性单调下降,切比雪夫 Chebyshev 滤波器幅频特性在通带或者在阻带有波动,椭圆 Ellipse 滤波器,贝塞尔 Bessel 滤波器通带内有较好的线性相位持性,为什么要借助于模拟滤波器设计数字滤波器,以这些数学函数命名的滤波器是低通滤波器的原型,模拟滤波器按幅度特性可分成低通、高通、带通和带阻滤波器，它们的理想幅度特性如图所示。,通常只观察正频部分,设计滤波器时，总
2、是先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器。下面我们先介绍低通滤波器的技术指标和逼近方法，然后分别介绍巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器的设计方法。,1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法,模拟低通滤波器的设计指标 构造一个逼近设计指标的传输函数Ha(s)Butterworth（巴特沃斯）低通逼近Chebyshev（切比雪夫）低通逼近,模拟低通滤波器的设计指标有p, p,s和s。p；通带截止频率s：阻带截止频率p：通带中最大衰减系数s；阻带最小衰减系数p和s一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：,1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法(续),如果=0处幅度已
3、归一化到1，即|Ha(j0)|=1,p和s表示为以上技术指标用图所示。图中c称为3dB截止频率，因,滤波器的技术指标给定后，需要构造一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此,逼近方法用频率响应的幅度平方函数逼近,幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起很重要的作用，对于上面介绍的典型滤波器，其幅度平方函数都有自己的表达式，可以直接引用。,(1)由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数,h(t)是实函数,将左半平面的的极点归,将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点，虚轴上的零点一半归,图5-21,由幅度平方函数得象限对称的s平面函数,
4、将 因式分解，得到各零极点,对比 和 ，确定增益常数,由零极点及增益常数，得,2、Butterworth 低通的设计方法,幅度平方函数1）幅度函数特点2）幅度平方函数的极点分布3）滤波器的系统函数4）滤波器的设计步骤,1）幅度平方函数,当,称 为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽,N为滤波器的阶数,为通带截止频率,2）幅度函数特点：,3dB不变性,通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小,过渡带及阻带内快速单调减小,Butterworth低通滤波器的幅度函数只由阶数N控制,图5-23,Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：,2）幅度平方函数的极点分布：,2N个极点等间隔
5、分布在半径为 的圆上(该圆称为巴特沃斯圆)，间隔是N rad。,极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点,极点间的角度间隔为,极点不落在虚轴上,N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点,一半极点在左半平面,一半极点在右半平面,？,图5-21,为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。 Ha(s)的表示式为,设N=3，极点有6个，它们分别为,由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为 式中，s/c=j/c。 令=
6、/c，称为归一化频率；令p=j，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为,3）归一化系统函数,pk为归一化极点，用下式表示：将极点展开可得到的Ha(p)的分母p的N阶多项式，用下式表示：,上式为Buttterworth低通滤波器的归一化系统函数，分母多项式的系数有表可查。,4）阶数N与技术指标的关系,根据技术指标求出滤波器阶数N：,确定技术指标：,由,得：,同理：,令,则：,技术指标转化为阶数,取大于等于N的最小整数,关于3dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可由下式求出,因为反归一时要用此参数,5）低通巴特沃斯滤波器的设计步骤,(1)根据技术指标p,p,s和s，求出滤波器的阶数
7、N。(2)求出归一化极点pk，由pk构造归一化传输函数Ha(p)。(3)将Ha(p)反归一化，,阻带指标有富裕,通带指标有富裕,此环节可由查表得到,巴特沃斯归一化低通滤波器的极点,巴特沃斯归一化低通滤波器分母多项式系数,注意：,巴特沃斯归一化低通滤波器分母多项式的因式分解,例1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解 (1) 确定阶数N。,(2) 由 其极点为,传输函数,或由N=5，直接查表得到：极点：-0.3090j0.9511,- 8090j0.5878;-1.0000系数：
8、b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361,先求3dB截止频率c,将p=s/c代入Ha(p)中得到：,（3）为将Ha(p)去归一化,此时算出的截至频率比题目中给出的小，或者说在截至频率处的衰减大于30dB，所以说阻带指标有富裕量。,3.Chebyshev低通滤波器的设计方法,提出的背景巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带和阻带都是频率的单调函数。因此当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余量。因此，更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时分布在两者之内。这样，就可用阶数较低的系统满足
9、要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。,1）Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数,N：滤波器的阶数,Chebyshev型滤波器幅度平方函数：,：截止频率，即不一定为3dB带宽,，表示通带波纹大小， 越大，波纹越大,：N阶Chebyshev多项式,当N=0时，C0(x)=1； 当N=1时，C1(x)=x； 当N=2时，C2(x)=2x 2 -1； 当N=3时，C3(x)=4x 3 -3x。 由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为C N+1 (x)=2xCN(x)-C N-1 (x),前两项给出后才能迭代下一个,N=0,4,5切比雪夫多项式曲线,1）幅度函数特点：,通带外：迅
10、速单调下降趋向0,N为偶数,N为奇数,通带内：在1和 间等波纹起伏,切比雪夫型与巴特沃斯低通的幅度函数平方曲线,2）Chebyshev滤波器的三个参量：,：通带截止频率，给定,：表征通带内波纹大小,由通带衰减决定,设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用s表示，在s处的A2(s)为 ：,令s=s/p，由s1，有,可以解出,滤波器阶数N 的确定,阻带衰减越大所需阶数越高,3dB截止频率c的确定,按照(6.2.19)式，有,通常取c1，因此,上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式：,令,3）幅度平方特性的极点分布,以上p,和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/p。有用的结果。
11、设Ha(s)的极点为si=i+ji，可以证明：,上式是一个椭圆方程，因为ch(x)大于sh(x)，长半轴为pch(在虚轴上)，短半轴为psh(在实轴上)。令bp和ap分别表示长半轴和短半轴，可推导出：,(6.2.29),(6.2.30),(6.2.31),因此切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在长半轴为bp ，短半轴为ap的椭圆上的点。,设N=3，平方幅度函数的极点分布如图6.2.8所示(极点用X表示)。为稳定，用左半平面的极点构成Ha(p)，即,(6.2.32),式中c是待定系数。根据幅度平方函数(6.2.19)式可导出：c=2 N-1，代入(6.2.32)式，得到归一化的传输函数为,(6.2
12、.33a),图6.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布,按照以上分析，下面介绍切比雪夫型滤波器设计步骤。1) 确定技术要求p,p,s和s。,去归一化后的传输函数为,滤波器的设计步骤:,归一化：,2)根据技术指标求出滤波器阶数N及 ：,其中：,1）确定技术指标：,3）求出归一化系统函数：,或者由N和，直接查表得,其中极点由下式求出：,4）去归一化,例2 设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减p=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=60dB。 解(1) 滤波器的技术指标：,(2) 求阶数N和：,(3) 求归一化系统函数Ha(p):,由(6.2.38)式求出N=5时的极点pi，代入上式，得到：,(4)将Ha(p)去归一化，得到Ha(s)：,此过程也可直接查表完成,小结：模拟滤波器设计的步骤,通带截止频率 、通带衰减,阻带截止频率 、阻带衰减,确定滤波器的技术指标：,将模拟滤波器的技术指标设计转化为低通原型滤波器的参数,Butterworth低通滤波器 Chebyshev低通滤波器,构造归一化低通原型滤波器的 系统函数Ha(p) (此步骤可以查表),反归一，求得Ha(s),
