《江苏省高中数学学案：29《幂函数》（苏教版必修1）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省高中数学学案：29《幂函数》（苏教版必修1）（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 2929 课时课时 幂函数（幂函数（1 1）【学习目标】1了解幂函数的概念，会画出幂函数的图象，根据上1 2312,yx yxyxyxyx述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质； 2了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数 值的大小； 3进一步体会数形结合的思想 【课前导学】 【问题情境】分析以下五个函数，它们有什么共同特征？ （1）边长为的正方形面积，是的函数；a2SaSa（2）面积为的正方形边长，是的函数；S1 2aSaS （3）边长为的立方体体积，是的函数；a3VaVa （4）某人内骑车行进了 1，则他骑车的平均速度，这里是 的函数；tskm
2、1/vt km svt （5）购买每本 1 元的练习本本，则需支付元，这里是的函数. wpwpw上述五个函数都可以写成 的形式yx()aR【课堂活动】 一建构数学：一建构数学：【定义】一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数yx()R【试试】判断下列函数哪些是幂函数：；1yx22yx3yxx1y 注意：注意：幂函数与指数函数的区别例 1 写出下列函数的定义域，指出它们的奇偶性，并画出它们的图象，观察这些图象，看看有什么共同点？ y； y； y； y21 x31 x32 x5 3x【思路分析思路分析】分数指数幂可以与根式相互转化把各函数解析式先化成根式形式即可解：解：；y=；函数的定义域就是使这
3、些根式有意yx3yx32x35yx义的实数x的集合；奇偶性直接利用定义进行判断的定义域为，的定义域都是 R；0,)其中既不是奇函数也不是偶函数，是奇函数，是偶函数它们的图象都经过点和，且在第一象限内函数图象自左而右呈上升趋势，即(0,0)(1,1)函数在单调递增0,)x例 2 仿照例 1 研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象，看看有什么共同点？ yx1； yx2； y； y21x31x【思路分析思路分析】 先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式解：解： ； ； ； 函数的定义域就是使这些分式1yx21yx1yx31yx和根式有意义的实数x的集合；的定义域都是，的定义域是；根
4、|0x x (0,)据函数奇偶性的定义可得是奇函数，是偶函数，既不是奇函数也不是偶函数它们的图象都经过点，且在第一象限内函数图象自左向右呈下降趋势，并且以两坐标轴为渐(1,1)近线反应出这些函数在上单调递减(0,)x【解后反思解后反思】通过例 1 和例 2 的解决过程，体现数学学习的过程是一个建立在经验基础上的主动建构的过程，让学生在合作中获取知识【探究】幂函数的图象与性质 【问题】作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5） yx1 2yx2yx1yx3yx 从图象分析出幂函数所具有的性质. 解：图像略 观察图象，总结填写下表：xy 2xy 3xy 21 xy 1 xy定义域
5、值域 奇偶性 单调性 定点【拓展】通过以上例子试总结幂函数的一般性质：yx()R（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1） （原因：11x） ；（2）0 时，幂函数的图象都通过原点，并且在0，+上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升） 特别地，当1 时，x（0，1） ，2yx的图象都在yx图象的下方，越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当 01 时，x（0，1） ，yx的图象都在yx的图象上方，形状向上凸，越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？） （3）0 时，幂函数的图象在区间（0，+）上是减函数. . 在第一家限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近y
6、轴正半轴，当x慢慢 地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴. . 二应用数学二应用数学： 例 3 讨论下列函数的定义域、值域、奇偶性与单调性： ；（2） 5xy 34 xy【思路分析思路分析】 根据幂函数的性质讨论定义域、奇偶性、单调性 解解 ： yx5的定义域是(，)，值域也是(，)，是奇函数， 51，yx5在(，)上是增函数yx，34341x 定义域是(，0)(0，)，值域是(0，)，是偶函数，0，yx在(，0)是增函数，在(0，)，是减函数3434【解后反思解后反思】由例 3 让学生对幂函数性质的认识有一个提升 例 4 比较下列各题中两个值的大小(1.5)与(1.7) 3.14与
7、 52 52 3232(5)与(6) 3与 231311421【思路分析思路分析】比较两数的大小可构造一个函数，考虑这个函数的单调区间【解法解法】 考察函数yx，0 ，5252yx在(，0)上是减函数52又1.51.7， (1.5)(1.7) 52 52考察函数yx，0 yx在(0，)上是减函数323232又3.14， 3.143232(5)5，(6)6，31313131又 56 56，(5) (6)31313131313139 ，28 ，又 9 8 32147217771421【解后反思解后反思】学生学习了幂函数以后,关键还在于对其性质要会灵活运用,例 4 是做一个基本的铺垫三理解数学三理解
8、数学：1求函数的定义域13 22(1)(3)yxx答案：1,3)2 已知221(22)23mymmxn是幂函数，求m，n的值.解：由题意可得：m2 + 2m 2 = 1 且 2n 3 = 0，解得或，3m 13 2n 【解后反思解后反思】表达式y =x(xR R)的要求比较严格，系数为 1，底数是x，R R 为常数，如2 21x xy，y = 1 = x0为幂函数，而如y = 2x2，y = (x 1)3等都不是幂函数.3比例下列各组数的大小：（1）87 87 )91(8和；（2）(2)3和(2.5)3；（3）(1.1)0.1和(1.2)0.1；（4）53 32 52 )9 . 1()8 .
9、3( ,) 1 . 4(和.解:（1）87 87 )81(8，函数87 xy 在 (0, +)上为增函数，又91 81，则87 87 )91()81(，从而87 87 )91(8.（2）幂函数y = x3在(, 0)和(0, +)上为减函数，又22.5，(2)3(2.5)3.（3）幂函数y = x0.1在(0, +)上为减函数，又1.11.2，1.10.11.20.1.（4）52 ) 1 . 4(52 1= 1；032 )8 . 3(32 1= 1； 53 )9 . 1(0，53 )9 . 1(32 )8 . 3(52 ) 1 . 4(.【解后反思解后反思】比较大小题，要综合考虑函数的性质，特
10、别是单调性的应用，更善于用“搭桥”法（即插值法）进行分组，常数 0 和 1 是常用的“桥梁”.【课后提升】 1. . 下列命题中正确的是 （4） （1）当n0 时，函数yxn的图象是一条直线； （2）幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点； （3）若幂函数yxn的图象关于原点对称，则yxn在定义域内y随x的增大而增大； （4）幂函数的图象不可能在第四象限 2. . 下列函数中，定义域为(0，)的函数为 （2） （1）yx；（2）yx；（3） yx；（4） yx33223233. . 下列函数中是幂函数的是 （1） （2） （4） （1）y；（2）yx；（3）y2x；（4）yx1x34.
11、. 已知幂函数的图象过，试求出这个函数的解析式( )yf x(2,2)答案：1 2yx5. . 已知函数f(x)(a1)x12aa当a 2 时，f(x)为正比例函数； 当a 0 或1 时，f(x)为反比例函数；当a 时，f(x)为二次函数；2131当a 2 时，f(x)为幂函数(提示提示：当f(x)为正比例函数时，即a2；当f(x)为反比例函数时， 01112aaa，即a0 或a1； 01112aaa当f(x)为二次函数时，即 a； 01212aaa 2131当f(x)为幂函数时，a11，即a2) 6. . 函数yx a(aQ)的图象，当 0x1 时，在直线yx的上方；当x1 时，在直线yx的下方，则a的取值范围是 2，3 )(提示：即 2x3 0302 xx)7若(a1)(32a)，试求a的取值范围3131解：由幂函数的性质，有三种可能情况：或或 aaaa23102301 02a301a aaaa23102301解得：a(，1)(，) 32 238m为怎样的值时，函数f(x)(mx24xm2)(x2mx1)0的定义域是R？43解： 0102422mxxmxmx由m1， 001m 02(4160）mmm5由2m240，2m2，综上：1m25w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
