《江苏省苏州市第五中学高中数学教案 苏教版必修一 第二章《基本初等函数》2.1指数函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省苏州市第五中学高中数学教案 苏教版必修一 第二章《基本初等函数》2.1指数函数（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.22.2 指数函数指数函数一、 学习内容、要求及建议二、 预习指导1. 预习目标(1)通过具体实例(如细胞分裂，考古中所用的的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，C14了解指数函数模型的实际背景认识学习指数函数的必要性；理解有理指数幂的含义，通过具 体实例了解实数指数幂的意义，理解次方根与次根式的概念，熟练掌握用根式与分数指nn 数幂表示一个正实数的算术根；能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式 与分数指数幂的相互转化. (2)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理 解指数函数的性质，能利用函数的平移与对称变换，讨论指数函数的图象；能运
2、用指数函数 的单调性，比较两个指数式值的大小，能研究一些与指数函数有关的复合函数的定义域、值 域、单调性等问题.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型. 2. 预习提纲 (1)复习八年级(上)P51-52 页平方根的定义与性质、P55-56 立方根的定义与性质；九年级(上) P58-59 二次根式的定义与性质. (2)阅读课本 P45-46 页次实数方根的定义与性质；分数指数幂的定义与运算性质；P49-50n页指数函数的定义、图象与性质(完成下列表格空白处).y=ax(01)图象性质知识、方法要求建议根式了解会进行根式与分数指数幂的互化.分数指数幂理解从实际背景和定义两个
3、方面理解分数指数幂，能熟练运用 指数运算性质进行化简、计算，并能运用公式简化运算过 程指数函数理解要先学会画它们的图象，观察它们的图象，充分利用图象 来研究它们的性质和解决一些问题.(3)阅读课本 P46-47 的例题例 1 讲的是简单根式的运算，总结用到的运算性质.例 2 讲的是简单分数指数幂的运算，总结用到的运算性质.例 3 讲的是根式化为分数指数幂，总结方法. 阅读课本 P50-54 的例题例 1 比较两个同底数幂大小，可以构造指数函数，利用指数函数的单调性来解决.总结比较同底数幂的大小的方法.例 2 构造指数函数，利用指数函数的单调性来解决未知量的取值范围. 例 3 作出函数与函数的图
4、象，说明它们与函数的图象的关系.22xy22xyxy2总结：一般地，函数与函数的图象之间的关系.hxay)0, 1, 0(haaayx例 4、例 5、例 6 是指数函数的实际应用，体会三道例题写出了解析式的方法，体会函数模拟的作用.你能举两个具有指数函数模型的实际问题吗？ 3. 典型例题 (1) 分数指数幂及其运算例例 1 1 计算：(1)；141 00.7533270.064()8160.018 (2)47.13121 22)21 ()21(分析分析：(1)式中可将小数指数幂化成分数指数幂的形式，再用分数指数幂的运算性质化简；(2)式中注意.112222(12) (12)解解：(1) 原式=
5、；1431 3342334221( ) 1 (2) (2) () 510 5111143121681080 (2) 原式= 121314221( 21)22( 21)( 21)1121 ( 21)22 点评点评：要注意分数指数幂的，等运算性mnm naaa()mmmabab()()mnnmmnaaa质是在底数为正数时才成立的., a b例例 2 2 化简：(1) ；3332 33231 3421428aabbababaa (2) ).)(1()(1443333aaaaaaaa分析分析：分数指数幂和根式形式同时出现时，一般统一化成分数指数幂的形式，便于使用分数指数幂的运算性质进行化简.解：解：(
6、1) 原式=11111 13333333 3 21121 33333()(2) 224aababa aa bba 43.532.521.510.5-0.5-1-3-2-112345g x = 1 3xf x = 3xh x = 1 3x+1xyO43.532.521.510.5-0.5-1-3-2-112345g x = 1 3xf x = 3xh x = 1 3x+1xyO=；11121121 133333333 3 211211 333333(2)(24)242aabaa bbaaa aa bbab (2) 原式66441() (1)()aaaaaa2 32 3441()() (1)()a
7、aaaaa2244441111()(1) (1)() 1()()()aaaaaaaaaaaaaaaa点评点评：计算时要灵活应用：平方差：，22()()abab ab立方差：，立方和：等公式3322()()abab aabb3322()()abab aabb (2) 图象问题例例 3 在同一坐标系中画出函数 y=3x与的图象，并说出它们之间的关系.11( )3xy分析分析：列表描点作图，注意图象的变化趋势. 解解：如图，作出三个函数、( )3xf x 1( )( )3xg x 和的图象，可以看出11( )( )3xh xy1113( )3 1( )3xxxyyy 关于轴的对称将图象向左平移个单位
8、的图象的图象的图象点评点评：利用指数函数的图象直观感觉函数图象的平移变换与对称变换.一般的，函数 的图象与函数的图象关于轴对称；函数的图象向左平移 1()yfx( )yf xy( )yf x个单位得到函数的图象.(1)yf x例例 4 画出函数的图象，并利用图象回答：( ) |31|xf x (1)的单调区间是什么？( )f x(2)k 分别为何值时，方程|3x1|=k 无解？只有一解？有两解？分析分析：(1)图象有两种画法，法一：解析式改写成 ，分两段画出图象，31,0( )1 3 ,0xxxf xx其中的图象与的图象关于轴对称 ；法二：的图象可由xy3xy3x)(xfy 在轴上方的图象不变
9、，轴下方图象对称翻折到轴上方而得.(2)两函数)(xfy xxx与图象交点的个数，即为方程|3x1|=k 解的个数，所以只要平移直线，| 13|xyky ky 观察它与的图象的交点个数即可.| 13|xy解解： (1) 如图：作出函数的图象，由图可知，的)(xfy ( )f x单调增区间是；单调减区间是；0,)(,0(2)平移直线， 当时，直线与 ky 0k ky )(xfy 的图象无交点，故方程无解； 当时，直线与 的图象有0,1kk或ky )(xfy 一个交点，故方程只有一解；当时，直线与 的图象有两个01kky )(xfy 交点，故方程有两解.点评点评：分两段画图时，一般先画全体再按范围
10、截取；利用的图象进行平移、翻折变换3xy 时，注意它的渐进线也要带着变换. (3) 性质 例例 5 求下列函数定义域(1) ； (2) xx y 11 31312xy分析分析：先列出使函数解析式有意义的不等式或不等式组，再准确解之. 解解：(1) 由题得：，定义域为.10x |1x x (2) 由题得：，即，即，定义域为 21310x 21033x210x 1 |.2x x 点评点评：在解指数不等式时，关键是将不等式两边化为同底，然后根据指数函数的单调性来 解 例例 6 求下列函数的值域：(1) ； (2)(为大于 1 的无理数)； (3) 1( ) 1,22xyx xx ey 11 e223
11、 4xxy 分析分析：(1)画图即可；(2)令，先求的范围，再求的范围；(3)令，转化成1 1xuxuue2xt 二次函数在区间上的最值问题.解解：(1) 函数在上单调递减，故时，时，1( )2xy 1,21x max2y2x min1 4y值域为.1 ,24(2) 令，则，1 1xtxtye(1)221(, 1)( 1,)11xtxx 且在上单调递增，值域为.tye(,) 0tye11(0, )( ,)ee(3) 令，则2(0,)xt 222424433()3()333yttttt 为开口向下的抛物线，对称轴为，值域为.2 3t (0,)t(,0)点评：点评：对于复合函数的值域问题，主要是通
12、过换元法将其化归为所熟悉的初等函数的值域来 解决，但要特别注意换元后元的范围.xyO1例例 7 比较下列各组数的大小：(1)； (2)； (3),.21 3333（），（）440.90.48.48-151，（）20.330.90.9分析分析：(1)利用指数函数的单调性；(2)都化为以 2 为底的指数幂形式，再利用指数函3( )4xy 数的单调性；(3)无法化为同底，插入中间量.2xy 解：解：(1)是 R 上的单调递减函数，且， ；3( )4xy 21 3321 3333（）（）44(2)，且是 R 上的单调递增函数0.90.48.1.54821. 81. 44-151=2 ，=2，（）22x
13、y 0.9.0.4848.-151（）2(3),0.303310.900.90.910.30.930.9点评：点评：应用指数函数的单调性来比大小，关键是化为同底，同时关注底数与 1 的关系.不能 化同底时常借助中间量 1、0 等来过渡例例 8 已知函数，证明：在(0，1)上是减函数.2( ),(0,1)41xxf xx( )f x分析分析：用函数单调性的定义证明单调性的基本步骤是：取值、作差(同正时也可考虑作商)、 变形、定号、下结论.解：解：在(0，1)上任取，且，则12,x x12xx12121222()()4141xxxxf xf x122112222 (21)2 (21) (41)(4
14、1)xxxxxx122112122 2 (22 )(22 ) (41)(41)xxxxxxxx211212(22 )(21) (41)(41)xxxxxx，1201xx21220xx12210xx 1410x 2410x ，即，故在(0，1)上单调递减.12()()0f xf x12()()f xf x( )f x点评点评：对“”的变形是关键，目标是将其分解成若干因子的积或商的形式.12()()f xf x例例 9 求下列函数的单调区间：(1)； (2)xx xf 231)(12( )4xxf x分析分析：(1)(2)都可看成指数函数与二次函数的复合函数，利用复合法则求单调区间.解解：(1) 函数是由函数，与函数复合而成，且 xx xf 231)(1( )3ty 2txx1( )3ty 为单调递减函数，要求的单调递增区间，即求的减区间，xx xf 231)(2txx即，的单调递增区间为；同理，的单1(, 2xx xf 231)(1(, 2xx xf 231)(调递减区间为1 ,).2(2) 函数是由函数及函数复合21211( )( ) ( )422x xx xf x1( ) (0)2xtt2y
