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1、第20章 成本最小化,本章主要研究的内容,最大利润化策略分为两个步骤：第一步，选择最有利可图（带来最大利润）的产量；第二步，对既定的产量实现成本最小化。 如何选择带来最大利润的产量：MR=MC;以及带来该利润最优的要素投入量：MP1=W1/P 如何对既定的产量实现成本最小，即厂商要如何找到实现既定产量最经济的途径，也即厂商如何选择最优的要素投入决策。 这是我们今天考察的内容。,一、成本最小化,假设存在两种生产要素X1和X2，价格分别为W1和W2，厂商的生产函数为f(X1,X2)。现在，我们要找到实现产量Y最经济的途径，即：使企业生产Y的成本最小，这个问题用数学可以表达为： min X1W1+X
2、2W2S.T f(X1,X2)=Y 为实现合宜的产量水平而必须的最小成本取决于W1、W2和Y的值。记作C(W1,W2,Y)。这个函数被称作成本函数。他度量的是当要素价格为W1和W2时，生产Y单位产量的最小成本。,利用图形求最小成本,寻找实现产量为Y的带来最低成本的要素组合。 在每个要素组合点，该点带来的成本都可以表示为： X1W1+X2W2=C 即：X2=C/W2-W1/W2X1 这就是等成本曲线。 斜率为：-W1/W2 纵截距为：C/W2 最小化问题： 在等产量曲线上寻找位于最低等成本曲线上的点。,X2,X1,O,-W1/W2,实现最小成本的要素组合,X1*,X2*,Y,最小成本,成本最小化
3、的条件,如果每一种要素都要求使用一定的数量，并且，等产量曲线是一条光滑的曲线，那么，最小成本化的点就可以用相切的条件来表征：等产量曲线的斜率必定等于等成本线的斜率。即技术替代率必定等于要素的价格比率：-MP1/MP2=-W1/W2 注:如果是角点解或者等产量曲线是折拗的，那么相切条件就不需要得到满足，这同消费理论相似。,利用代数方法求最小成本条件,如果要保持产量不变，则生产方式的任意改变必须满足： X1MP1+X2MP2=0 即：X1和X2一定具有相反的符号 如果我们最初处在成本最小化的点上，那么，这种变动就不可能降低成本，即：X1W1+X2W20 而如果变动为(-X1,-X2)，也不可能降低
4、成本，因此，-X1W1-X2W20 所以： X1W1+X2W2=0 根据和得到：X2/X1=-MP1/MP2=-W1/W2,根据成本函数和生产函数求最小成本。,例1：某个企业的生产函数为:f(X1,X2)=(X11/2+3X21/2)2，要素1的价格是1，要素2的价格是1，求生产16单位产品的最小成本。 解： min X1+X2S.T (X11/2+3X21/2)2=16 方法一：将X2用X1代替，转化成一元方程 方法二：利用-MP1/MP2=-W1/W2，得出:-(1/3)(X1/X2)1/2= -1 联立和得到：X2=9X1=144/100，C=160/100,例2：假设企业的生产函数为f
5、(X1,X2)=X1+X2，企业面临的要素价格为(W1,W2)，厂商的最小成本原则是使用相对较便宜的要素。厂商的最小成本是：C(W1,W2,Y)=minW1Y,W2Y。 例3：假设企业的生产函数为f(X1,X2)=X1,X2，当厂商要生产的产量为Y时，他就需要Y单位的X1和Y单位的X2。因此，最小成本为： C(W1,W2,Y)=W1Y+W2Y,有条件的要素需求函数,X1(W1,W2,Y)和X1(W1,W2,Y) 它度量的是厂商生产某个既定产量Y的条件下，价格、产量以及厂商的最优要素选择之间的关系。,二、显示的成本最小化,如果厂商总是选择成本最小化的方法生产Y单位的产量，那么，在t期和在s期的选
6、择必须满足下述等式： X1tW1t+X2tW2t X1tW1s+X2tW2sX1sW1s+X2sW2s X1sW1s+X2sW2s 这些不等式被称作成本最小化的弱公理。,三、规模报酬和成本函数,1、在规模报酬不变的情况下，成本是产量的线性函数。即如果生产1单位产量的最小成本是C(W1,W2,1)，则生产Y单位产量的最小成本是C(W1,W2,1)Y。 2、在规模报酬递增的条件下，成本的增长幅度小于产量的增长幅度。如果厂商决定使产量翻一倍，只要要素的价格不变，厂商成本的增长将小于1倍。即成本函数的增长线性地小于产量增长。 3、在规模报酬递减的条件下，成本的增长幅度大于产量的增长幅度。即成本函数的增
7、长线性地大于产量的增长。,以上结论可以用平均成本函数的变化来说明。,AC(Y)= C(W1,W2,Y)/Y 如果规模报酬不变，则AC(Y)= C(W1,W2,1)Y/Y= C(W1,W2,1) 如果规模报酬递增，则随着产量的增加，平均成本将趋于下降。 如果规模报酬递减，则随着产量的增加，平均产量将趋于下降。 该结论表明，平均成本函数在不同的产量水平上可能会递减、不变或递增。 由于企业面临的价格是既定的，成本只取决于厂商对产量的选择，即C(Y)。,四、长期成本和短期成本,短期成本函数：只有可变要素可以调整的情况下，生产既定产量时的最小成本与产量的关系。假定要素2短期是固定的，则该函数为：Cs（Y
8、,X2）=min X1W1+X2W2使得： f(X1,X2)=Y 因此，在短期内，生产产量为Y的最小成本取决于不变要素的投入量和要素的价格。 求得： X1=X1s(W1,W2,X2,Y); X2=X2 即：在短期内，在任何既定价格和产量下，变动要素的投入量取决于固定要素的投入量Cs（Y,X2）=W1X1s(W1,W2,X2,Y)+W2X2 即最小成本就是与成本最小化的要素选择有关的成本。,长期成本函数：表示在一切生产要素都可以自由调整的情况下，生产既定产量时的最小成本和产量的关系。 该函数表示为： Cs（Y）=min X1W1+X2W2使得： f(X1,X2)=Y 由于两种要素都可以变动，长期
9、成本仅与既定要素价格下的产量有关。 求得： X1=X1(W1,W2,Y); X2=X2(W1,W2,Y) C（Y）=W1X1(W1,W2,Y)+W2X2(W1,W2,Y) 最小成本就是厂商利用成本最小化的要素选择所产生的成本。,长期成本和短期成本的关系,由于使企业长期最低成本的要素需求函数为：X1=X1(W1,W2,Y)=X1(Y); X2=X2(W1,W2,Y)=X2(Y) 因此，长期成本函数可以记为： C（Y）= Cs（Y,X2(Y)）=Cs（Y,X2） 即：在所有要素都可以变动时的最小成本，恰好等于要素2固定在使长期成本最小化的水平时的最小成本。 因此，可变要素的长期需求可以表示为： X1(W1,W2,Y)= X1s(W1,W2,X2(Y),Y) 即：在长期内，使成本最小化的可变要素的使用量就是厂商在短期内所选择的使用量。,五、不变成本和准不变成本,不变成本是指：与不变要素相关的成本，它与产量无关。这种成本，无论厂商是否生产都必须支付这种成本。 准不变成本是指：与产量无关的成本，但只有生产才支付的成本。 在长期内，不存在不变成本。但容易产生准不变成本。,
