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1、初二数学：因式分解（一）因式分解提公因式法（一） 、内容提要 多项式因式分解是代数式中的重要内容，它与第一章整式和后一章分式联系极为密切。因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，它为今后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。因式分解的概念是把一个多项式化成 n 个整式的积的形式，它是整式乘法运算的逆过程，而提公因式法是因式分解的最基本的也是最常见的方法。它的理论依据就是乘法的分配律。运用这个方法，首先要对欲分解的多项式进行考察，提出字母系数的公因数以及公有字母或公共因式中的最高公因式。 知识要点 ：1了解因式分解的意义和要求2理解公因式的概念3掌
2、握提公因式的概念，并且能够运用提公因式法分解因式 （二） 、例题分析例 1下列从左到右的变形，属于因式分解的有（ ） 1.(x+1)(x-2)=x 2-x-2 2.ax-ay-a=a(x-y)-a 3.6x 2y3=2x23y34.x 2-4=(x+2)(x-2)5.9a 3-6a2+3a=3a(3a2-2a) A、0 个B、1 个C、2 个D、3 个 分析：从左到右，式 1 是整式乘法；式 2 右端不是积的形式；式 3 中左右两边的均是单项式，原来就是乘积形式，我们说的因式分解，指的是将多项式分解成 n 个整式的乘积形式；式 5 的右边括号内漏掉了“1”这项；只有式 4 是正确的。 （答案）
3、解：B 例 2把-3a 2b3+6a3b2c+3a2b 分解因式分析：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的。此题各项系数的最大公约数是 3，相同字母的最低次项是 a2b. 解：-3a 2b3+6a3b2c+3a2b =-(3a2b3-6a3b2c-3a2b) =-3a2b(b2-2abc-1) 评注：当公因式和原多项式中某项相同时提公因式后，该项应为 1 或-1，而不是零。1 作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，为防止错误，可利用因式分解是乘法运算的逆过程的原理来检查。例如，观察-3a 2b(b2-2abc-1)是否
4、等于-3a 2b3+6a3b2c+3a2b，从而检查分解是否正确以及丢项漏项。例 3分解因式 3a2b(2x-y)-6ab2(y-2x) 分析：因为 y-2x=-(2x-y), 就是说 y-2x 与 2x-y 实质上是相同因式，因此本题的公因式是 3ab(2x-y). 解：3a 2b(2x-y)-6ab2(y-2x) =3a 2b(2x-y)+6ab2(2x-y) =3ab(2x-y)(a+2b) 评注：本题的公因式是多项式，此类型题只要把(2x-y)看作一个整体即可。另外，注意因式分解的结果，单项式写在多项式的前面。例 4分解因式：2a(a-b) 3-a2(a-b)2+ab(b-a)2 分析
5、：要找出这三个项的公因式。因为(b-a) 2=-(a-b)2=(a-b)2，因此(a-b) 2就是公因式，分解结果有相同的因式要写成幂的形式。 解：2a(a-b) 3-a2(a-b)2+ab(b-a)2 =2a(a-b) 3-a2(a-b)2+ab(a-b)2 =a(a-b) 22(a-b)-a+b =a(a-b) 2(a-b) =a(a-b) 3. 评注：多项式中的公因式，有些比较简单，有些则比较复杂，需要进行些运算才能发现公因式，但不能生搬硬套。记住下面结论是有益的。 当 n 为奇数时，(x-y) n=-(y-x)n; 当 n 为偶数时，(x-y) n=(y-x)n. 例 5不解方程组 求
6、 7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值。 分析：先把 7y(x-3y)2-2(3y-x)3进行因式分解，再将 2x+y=6 和 x-3y=1 整体代入。解：7y(x-3y) 2-2(3y-x)3 =7y(x-3y) 2+2(x-3y)3 =(x-3y) 27y+2(x-3y) =(x-3y) 2(2x+y) 原式=1 26=6 评注：先化简再求值以及整体代入的思想在求值问题中经常运用。 例 6求证：3 2000-431999+1031998能被 7 整除。 分析：先把 32000-431999+1031998因式分解 证明：3 2000-431999+1031998 =3 1998(32-
7、43+10) =73 1998 3 2000-431999+1031998能被 7 整除。（三） 、练习 一、选择题： （1）在下列四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A、-5x 2y3=-5xy(xy2) B、x 2-4-3x=(x+2)(x-2)-3x C、ab 2-2ab=ab(b-2) D、(x-3)(x+3)=x 2-9 （2）49a 3bc3+14a2b2c2-21ab2c2在分解因式时，应提取的公因式是（ ） A、7abc 2 B、7ab 2c2 C、7a 2b2c2 D、7a 3bc3 （3）把多项式 3m(x-y)-2(y-x)2分解因式的结果是（ ） A
8、、(x-y)(3m-2x-2y) B、(x-y)(3m-2x+2y) C、 (x-y)(3m+2x-2y) D、(y-x)(2x-2y+3m) （4）在下列各式中：a-b=b-a;(a-b) 2=(b-a)2;(a-b) 2=-(b-a)2;(a-b) 3=(b-a)3;(a-b) 3=-(b-a)3;(a+b)(a-b)=(-a+b)(-a-b)正确的等式有（ ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 （5）在分解-5x 3(3a-2b)2+(2b-3a)2时，提出公因式-(3a-2b) 2后，另一个因式是（ ） A、5x 3 B、5x 3+1 C、5x 3-1 D、-5x 3 （
9、6）下列各组代数式中没有公因式的是（ ） A、5m(a-b)与 b-a B、(a+b) 2与-a-b C、 mx+y 与 x+y D、-a 2+ab 与a2b-ab2 （7）下列各题因式分解正确的是（ ） A、3x 2-5xy+x=x(3x-5y) B、4x 3y2-6xy3z=-2xy2(2x2-yz+3) C、3ab(a-b)-6a(a-b)=3(a-b)(ab-2a) D、-56x 3yz+14x2y2z-21xy2z2=-7xyz(8x2-2xy+3yz) （8）把(-2) 1999+(-2)2000分解因式后是（ ） A、2 1999 B、-2 C、-2 1999 D、-1 （9）把
10、 3an+2+15an-1-45an分解因式是（ ）A、3(a n+2+5an-1-15an) B、3a n(a2+5a-1-15) C、3a n-1(a3+5-15a-1)D、3a n-1(a3+5-15a) 答案: 1.C 2.A 3. B 4. C 5.C 6.C 7.D 8.A 9.D 二、填空题： 1单项式-4a 2b2c3，12ab 2c, 8ab3的公因式是_。 2多项式 9x3y-36xy3+3xy 提取公因式_后，另一个因式是_。 3多项式 8x2n-4xn提取公因式后，括号内的代数式是_。 4分解因式：x(m-n)(a-b)-y(n-m)(b-a)=_. 5分解因式：x(x
11、+y)(x-y)-x(y+x) 2=_. 62y(x-2)-x+2 分解因式_。 答案：1. 4ab2 2. 3xy, 3x 2-12y2+1 3. 2x n-1 4. (m-n)(a-b)(x-y) 5. -2xy(x+y) 6. (x-2)(2y-1) 三、解答题： 1把下列各多项式分解因式 (1) a5b-a2b3+a2b (2) -7x2y-14xy2+49x2y2 (3) (x+y)(a2+a+1)-(x-y)(a2+a+1)(4) 18x2(x-2y)2-24xy(2y-x)2-12x(2y-x)3 (5) x(x+y-z)+y(x+y-z)+z(z-x-y) (6) y(2x-y
12、)2-2x(y-2x)2 2计算下列各式 (1) 7.6200.1+4.3200.1-1.9200.1 (2) 1011-5109 3先化简，再求值。 (1)已知 2x-y= , xy=2, 求 2x4y3-x3y4的值。 (2)已知 4x2+7x+2=4,求-12x 2-21x 的值。 4求证下列各题 (1)证明 72000-71999-71998能被 41 整除 (2)求证：奇数的平方减去 1 能被 8 整除 (3)求证：连续两个整数的积，再加上较大的整数其和等于较大整数的平方。 答案： 1(1)a2b(a3-b2+1)(2)-7xy(x+2y-7xy) (3)2y(a2+a+1) (4)
13、6x(2y-x)2(5x-8y) (5)(x+y-z)2 (6)原式=y(2x-y) 2-2x(2x-y)2=(2x-y) 2(y-2x) =-(2x-y) 3 2(1)原式=200.1(7.6+4.3-1.9) =200.110 =2001 (2)原式=10 9(102-5) =10 995 =9.510 10 3(1)解：2x-y= , xy=2, 2x 4y3-x3y4=x3y3(2x-y)=23 = . (2)解：4x 2+7x+2=4 4x 2+7x=2 -12x 2-21x=-3(4x2+7x)=-32=-6. 4(1)证明：7 2000-71999-71998=71998(72-
14、7-1)=4171998 7 2000-71999-71998能被 41 整除。 (2)证明：设奇数为 2n+1, 则(2n+1) 2-1=(2n+1-1)(2n+1+1) =2n(2n+2) =4n(n+1) 又相邻两个整数的积一定是偶数 n(n+1)是偶数 即 n(n+1)是 2 的倍数，4n(n+1)是 8 的倍数， 故原命题成立。 (3)证明：设 n 为整数，则 n, n+1 是两个连续整数， n(n+1)+(n+1)=(n+1)(n+1)=(n+1) 2, 故原命题成立。课外：初二学生数学学法指津 初一匆匆过去，初二迎面而来，如果说一个人成才的基础工程在初中，而这个工程的核心则在初二
15、。 所以高度重视认真探索学习方法、研究学习方法具有重要意义。下面我们一起来就初二学习的内容，学习内外部环境,学习方法指导等方面探求、分析。一、初二学习内、外部环境的变化。 、学科上的变化：和初一比较，初二开始添设几何和物理，这两个学科都是思维训练要求较强的学科，直接为进入高一级学科或就业服务的学科。 、学科思维训练的变化：初二各学科在概念的演化、推理的要求、思维的全面性、深刻性、严密性、创造性方面都提出了比初一更高的要求。 、思维发展内部的变化：思维发展从思维发展心理学的角度看已进入新的阶段，即已经炽烈地、急剧地进入第五个飞跃期的高峰。这个“飞跃”期是否会缩短， “飞跃”的质量是否理想要靠两个条件：1）教师精心的指导；）自己不懈地努力。 、外部干扰因素的变化：初二正是你性格定型加快节奏，幻想重重的年龄期，常常表现出心理状态和情绪的不稳定，例如逆反情绪发展。这给外部的诱惑和干扰创造了乘虚而入的条件。不要因为这些妨碍自己正常地接受教师和家长的指导，破坏了专一学习的正常心理状态。要学会“冷静” 、 “自抑” ，把充沛的青春活力投入到学习活动中去。 二、初二学法
