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1、1利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题近几年，随着新课标在全国的范围内的实施，高考命题也在悄悄发生变化，在命题组中高校教师占很重要的地位。他们在命题时，会受到自身研究氛围的影响，有关高等数学背景的问题会逐渐增加丰富起来。函数图像的凸凹性，导数中的拐点，拉格朗日中值定理，李普希茨条件，洛必达法则特别是解答题中的函数与导数题，高等数学的观点尤其突出。虽然高考考试没有要求学生掌握，但是可以利用已有的知识和方法来解决有关背景的问题。例如 2010 年和 2011 年高考中的全国新课标卷中的第 21 题中的第 步，由不等式恒成立 2来求参数的取值范围问题，用初等方法处理，分析难度大，变化技巧高。但用洛
2、必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。一洛必达法则法则 1 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) 及 ； lim0xafli0xag(2)在点 a 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g(x)0； (3) ，limxaflg那么 = 。 lixaflixafl法则 2 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) 及 ； lim0xfli0xg(2) ，f(x) 和 g(x)在 与 上可导，且 g(x)0； 0A,A,(3) ，limxflg那么 = 。 lixflixfl法则 3 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) 及 ； limxaflixag
3、(2)在点 a 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g(x)0； (3) ，limxaflg那么 = 。lixaflixafl利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 将上面公式中的 xa，x换成 x+，x-， ， 洛必达法则 1 xa2也成立。洛必达法则可处理 ， ， ， ， ， ， 型。 2 010在着手求极限以前，首先要检查是否满足 ， ， ， ， ， ， 3 10型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 4二高考
4、题处理1.(2010 年全国新课标理)设函数 。2()1xfea（1） 若 ，求 的单调区间；0a（2） 若当 时 ，求 的取值范围x()0f原解：（1） 时， ， .1xe()1xfe当 时， ；当 时， .故 在 单调(,0)x()f,()0f()fx,0)减少，在 单调增加（II） ()12xfea由（I）知 ，当且仅当 时等号成立.故0x，()()fx从而当 ，即 时， ，而 ，120a12 ()fx(0)f于是当 时， .x()fx由 可得 .从而当 时，e1(0)xe12a，()2()()x xxfae故当 时， ，而 ，于是当 时， .0,lnxf(f(0,ln)()0fx综合得
5、 的取值范围为a1,2原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解:（II）当 时， ，对任意实数 a,均在 ；0x()0fx()0fx3当 时， 等价于0x()0fx21xae令 (x0),则 ，令21ge32()xg，则 ， ，0xhx1xhe0xhe知 在 上为增函数， ；知 在 上为增函数，0,0,； ，g(x)在 上为增函数。xgx,由洛必达法则知， ，200011122limlilimxxxee故 12a综上，知 a 的取值范围为 。1,22 （2011 年全国新课标理）已知函数 ，曲线 ()yfx在点 1,()f处的ln()1axbf切线方程为 230xy。（）
6、求 a、 b的值；（）如果当 ，且 1x时， ln()1xkf，求 的取值范围。原解：（） 22(l)bfxx由于直线 230xy的斜率为 1，且过点 (,)，故(1),2f即1,2ba解得 1a， b。（）由（）知 lnf()1x，所以 22l (1)lnkkxfx。4考虑函数 ()2lnhx2(1)kx(0)，则2(1)kxh。（i）设 0k，由2()x知，当 x时， ()0，h（x）递减。而 (1)h故当 (,1x时， ()0h，可得 21()h；当 x （1，+ ）时，h（x） 0从而当 x0,且 x1 时，f（x ）- （ 1ln+ k）0，即 f（ x） 1ln+ xk.（ii）设
7、 00,故 h （x） 0,而 h（1）=0，故当 x （1， ）时，h（x）0，可得21h（x）0,而 h（1）=0，故当 x（1， +）时，h（ x）0 ，可得 21 h（x） =0h,1,1在 上为增函数x=015当 (0,1)x时， ，当 x（1，+ ）时，0h0hx当 时， ，当 x （1，+ ）时，g g在 上为减函数，在 上为增函数gx,由洛必达法则知2111lnln120limiimxxx0k，即 k 的取值范围为（- ，0规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。练习：1 （本小题满分 12 分）已知函数 f（x）ln（1x）ax （a0）若不等式 f（x）0 对一切 x（0，）恒成立，求 a 的取值范围；答案： ，2 已知函数 ， R)1(ln)(af当 时， 恒成立，求 的取值范围1xxa答案： 的取值范围是a,2
