概率论与数理统计第七章

《概率论与数理统计第七章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计第七章（79页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第七章 统计推断的基本问题,数理统计研究用随机抽样方法，从总体获取样本，并从样本推断总体的性质。本章讨论统计推断的方法。统计推断的主要方法是归纳推理，利用它可以得到结论“不确定性的描述”，而对不确定程度要作出表述，就必须要用到概率的概念。当然，统计推断方法若不用于现实世界，就将失去意义，而只能作为一种推理练习。因而，本章常用结合所讨论的实例来介绍统计推断的做法。统计推断的问题有很多，本章只是讨论最基本的参数估计和假设检验两类问题。,第一节 点估计,7.1.1 点估计概念,7.1.2 矩估计法,最大似然估计法,7.1.3 点估计的优良性,1、估计量,2、估计值,7.1.1 点估计概念,为方便起见

2、，估计量与估计值不加区别，统称为估计。,3、点估计,用构造一个统计量 对参数 作定值的估计称为参数的点,估计。,7.1.2.1 矩估计法,1、原理,设X为总体， 为样本， 为样本均值，则根据,大数定律，有：,即当n 很大时，样本均值 就很接近于总体均值 。,因此，当n 很大时，用样本均值 来估计总体均值 是,比较合理的。,此依据推而广之：,用样本的k 阶中心矩来估计总体k 阶中心矩。,即用 来估计 。,矩估计法,2、矩法估计的步骤:,(1) 列出矩估计式.求总体 的前k阶矩,(2) 解上述方程组.将未知参数 表示为,的函数,(3) 求出矩估计.,即用样本矩 代替总体相应的矩 得到,未知参数的矩

3、估计为,解,（1）列出矩估计式,（2）求解方程组得,（3）求出矩估计,用 分别代替 即得矩估计：,例1 求总体X的均值EX与方差DX的矩估计.,例2 求总体X的服从参数为 的指数分布，求的未知参数 矩估计.,解,（1）列出矩估计式,（2）求解方程得,（3）求出矩估计,例3 设总体X的概率密度函数为,是取自的X的一个样本.,（1）求 的矩估计量 ;,（2）求 的方差 .,解,（1）列出矩估计式,求解方程得:,例3 设总体X的概率密度函数为,是取自的X的一个样本.,（1）求 的矩估计量 ;,（2）求 的方差 .,解,（2）,7.1.2.2 最大似然估计法,设 是取自总体X的一个样本观察值,分布函数

4、为,如果当未知参数 取 时,被取到的概率最大,则称 为 的最大似然估计.,1、 最大似然估计的原理,设总体X的概率分布为,称为似然函数,则样本 的联合概率分布为,即,使 达到最大的 即为 的最大似然估计.,2、离散型:,3、连续型：,设总体X的密度函数为,是待估计参数。,是取自X的一个样本。则,的联合密度函数为,称为似然函数,即,使 达到最大的 即为 的最大似然估计.,3、连续型：,使 达到最大的 即为 的最大似然估计.,2、离散型:,4、估计步骤：,a.写出似然函数,b.求出使 达到最大的,c.用 作为 的估计量，,的函数作为 的同一函数的估计量。,用,5、解题具体步骤：,a.写出似然函数,

5、b.求对数似然函数,c.求导并令其导数等于0,d.解上述方程组。,解,（a）,（b）,（c）,（d）,例2 求总体X的服从参数为 的指数分布，求 的最大似然估计.,解,（a）,（b）,（c）,（d）,例3 求总体 ，求 与 的最大似然估计.,解,（a）,（b）,（c）,（d）,例4 设总体 为取自总体的一个样本观察值，,求未知参数 的最大似然估计。,解,从这个例子我们还看到最大似然估计不一定能由似然函数解得，因为似然函数对未知参数可能是单调函数或者不可微.,例5 设某种元件的使用寿命X的概率密度为,其中 是未知参数。又设,是X的一组样本,观测值。求参数 的最大似然估计值.,解,例6 设总体X的

6、概率分布为,其中 是未知参数，利用总体X的如下样本值,求 的矩估计值和最大似然估计值。,解 (1) 矩估计,例6 设总体X的概率分布为,其中 是未知参数，利用总体X的如下样本值,求 的矩估计值和最大似然估计值。,解 (1) 最大似然估计,例7 设总体X的概率密度为,为来自X的简单,其中 是未知参数，,简单随机样本，记N为样本值 中小于1的个数，,求 的最大似然估计。,解,例8 设总体X的概率密度函数为,其中 是未知参数。,是取自X的一个样本。,分别用矩法估计和最大似然估计法求 的估计量.,解,（1）列出矩估计式,例8 设总体X的概率密度函数为,其中 是未知参数。,是取自X的一个样本。,分别用矩

7、法估计和最大似然估计法求 的估计量.,解,(2),7.1.3 点估计的评选标准,7.1.3.1 无偏性,7.1.3.2 有效性,7.1.3.3 一致性,7.1.3.1 无偏性,设 是参数 的估计量,若,则称 是 的无偏估计.,例1 证明样本均值 与样本方差,分别是总体均值 与总体方差 的无偏估计.,证明：,例2 设总体 为简单随机样本,则 的无偏估计量为,（A）,（B）,（C）,（D）,解：,例3 设,是正态总体 的一个样本。求,适当的常数c，使得 为 的无偏估计。,解：,7.1.3.2 有效性,设 与 都是 的无偏估计,若对任意样本容量n,都有,则称 较 有效.,例1 设总体X的期望为 ，方

8、差为 ，分别抽取容量为 的两,满足 的常数，则 就是 的无偏估计，,个独立样本， 为两个样本的均值，试证：如果a,b是,并确定a,b ,使DY最小。,解：,7.1.3.3 一致性,设 是参数 的估计量,当 时, 依概率收敛于 ,即对任意 ,有,则称 是 的相合估计量或一致估计量.,1、样本均值和样本方差分别是是总体期望和方差的无偏估计.,一些重要结论,2、样本的任意k阶原点矩均是对应的总体k阶原点矩的一致估计.,3、若 为 的无偏估计,且 ,则 为 的一致估计。,4、若 为 的矩估计, 为连续函数,则 为 的矩估计.,5、若 为 的最大似然估计, 为单调增函数,则 为 的最大似然估计.,第二节

9、 参数的区间估计,7.3.1 基本概念,7.3.2 单个正态总体的区间估计,7.3.3 两个正态总体的区间估计,7.3.1 基本概念,1、 置信区间与置信度,设总体X的分布中含有未知参数 ，若 与,为由样本 所确定的两个统计量，,若对给定的常数 有,则称 为参数 的置信度(置信水平)为 的置信区间。,置信下限,置信上限,假设总体X服从正态分布,7.3.2 单个正态总体的区间估计,是样本.,考虑下面几种区间估计:,（1） 已知，求 的置信区间,（2） 未知，求 的置信区间,（3） 已知，求 的置信区间,（4） 未知，求 的置信区间,易知,取统计量,则有,对给定的置信度 ,使,即,从而有,即 的置

10、信度为 的置信区间为,7.3.2.1 已知，求 的置信区间,例1 已知某厂生产的滚珠直径 ，从某天生产的滚珠中随机抽取6个，测得直径为（单位：mm),求 的置信概率为0.95的置信区间。,解：,例2（03）已知一批零件的长度x（单位：cm）服从正态分布,从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40,的置信区间是 。,（cm），则 的置信度为0.95,（注:标准正态分布函数值 ）,解：,7.3.2.2 未知，求 的置信区间,取统计量,对给定的置信度 ,使,即,从而有,即 的置信度为 的置信区间为,例1 设总体X的样本方差为1，据来自X的容量为100的简单随机样本，测得均值为5，则X的期望的置

11、信度近似等于0.95的置信区间为 。,解：,7.3.2.2 未知，求 的置信区间,7.3.2.1 已知，求 的置信区间,取统计量,对给定的置信度 ,使,从而得到 的置信度,其中,7.3.2.3 已知，求 的置信区间,为 的置信区间为,例1 已知某厂生产的零件 ，从某天生产的零件中随机抽取4个，得样本观察值,求 的置信概率为0.95的置信区间。,解：,取统计量,对给定的置信度 ,使,其中,7.3.2.4 未知，求 的置信区间,从而得到 的置信度,为 的置信区间为,7.3.2.3 已知，求 的置信区间,7.3.2.4 未知，求 的置信区间,例1 已知某厂生产的零件 ，从某天生产的零件中随机抽取4个

12、，得样本观察值,求 的置信概率为0.95的置信区间。,解：,7.3.3 两个正态总体的区间估计,已知两个相互独立正态总体,考虑下面几种区间估计:,（1） 已知，求 的置信区间,（2） 未知，求 的置信区间,（3） 已知，求 的置信区间,（4） 未知，求 的置信区间,7.3.3.1 已知，求 的置信区间,取统计量,对给定的置信度 ,使,从而得到 的置信度为 的置信区间为,P176定理8,例1 设两总体X,Y相互独立,且,从X,Y中分别抽取容量为,的样本，且算得,求 的95%的置信区间.,解：,7.3.3.2 未知，求 的置信区间,取统计量,对给定的置信度 ,使,从而得到 的置信度为 的置信区间为,P177定理9,7.3.3.1 已知，求 的置信区间,7.3.3.2 未知，求 的置信区间,取统计量,对给定的置信度 ,使,