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1、1.3 信号的基本运算,1.3.1 相加和相乘两个信号相加，其和信号在任意时刻的信号值等于两信号在该时刻的信号值之和。两个信号相乘，其积信号在任意时刻的信号值等于两信号在该时刻的信号值之积。 设两个连续信号f1(t)和f2(t)，则其和信号s(t)与积信号p(t)可表示为,同样，若有两个离散信号f1(k)和f2(k)，则其和信号s(k)与积信号p(k)可表示为,连续信号的相加和相乘,同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。,离散信号的相加和相乘,2信号的平移,例：, 0，右移(滞后), 1，压缩a倍； a0 、a0两种情况,两边相等,(1),(2),例1-4-1,X,例1-4-2,四.总结： r(t
2、)，(t)， (t) 之间的关系,r(t)求 积 (-t )(t)导 分(t),冲激函数的性质总结,（1）抽样性,（2）奇偶性,（3）比例性,（4）微积分性质,（5）冲激偶,（6）卷积性质,即时系统或无记忆系统 对于一个给定系统，如果在任一时刻的输出信号仅决定于该时刻的输入信号，而与其它时刻的输入信号无关 ；,1.5 系 统 的 描 述,动态系统或记忆系统 不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，包含有动态元件(如电容、 电感、 寄存器等)的系统是动态系统。,无记忆元件组成（电阻） 代数方程,系统的输入输出方程把着眼于建立系统输入输出关系的系统模型 系统的状态空间方程把着眼于建立系
3、统输入、输出与内部状态变量之间关系的系统模型,一、系统模型,所谓系统模型是指对实际系统基本特性的一种抽象描述。根据不同需要，系统模型往往具有不同形式。以电系统为例，它可以是由理想元器件互联组成的电路图，由基本运算单元(如加法器、乘法器、积分器等)构成的模拟框图，或者由节点、传输支路组成的信号流图；也可以是在上述电路图、模拟框图或信号流图的基础上，按照一定规则建立的用于描述系统特性的数学方程。 这种数学方程也称为系统的数学模型。,二 . 系统的输入输出描述 连续系统 如果系统的输入、输出信号都是连续时间信号 离散系统 如果系统的输入、输出信号都是离散时间信号 混合系统 由两者混合组成的系统,如果
4、系统只有单个输入和单个输出信号，则称为单输入单输出系统，如果含有多个输入、输出信号， 就称为多输入多输出系统 .,图 1 单输入单输出系统,图 2 多输入多输出系统,3. 连续系统输入输出方程,例 1 简单力学系统如图所示。在光滑平面上，质量为m的钢性球体在水平外力f(t)的作用下产生运动。设球体与平面间的摩擦力及空气阻力忽略不计。将外力f(t)看作是系统的激励， 球体运动速度看作是系统的响应。,与连续系统类似，由n阶差分方程描述的离散系统称为n阶系统。当系统的数学模型(即输入输出方程)为n阶线性常系数差分方程时，写成一般形式有,式中，a0=1。,4. 离散系统输入输出方程,例2 考察一个银行
5、存款本息总额的计算问题。储户每月定期在银行存款。设第k个月的存款额是f(k)，银行支付月息利率为，每月利息按复利结算，试计算储户在k个月后的本息总额y(k)。 显然，k个月后储户的本息总额y(k)应该包括如下三部分款项： (1) 前面(k-1)个月的本息总额y(k-1)；(2) y(k-1)的月息y(k-1)； (3) 第k个月存入的款额f(k)。于是有 y(k)=y(k-1)+y(k-1)+f(k)=(1+)y(k-1)+f(k) 即y(k)-(1+)y(k-1)=f(k),5 系统的框图表示,表 1.2 常用的系统基本运算单元,例 3 某连续系统的系统的框图如下 试写出该输入输出方程,y(
6、t)+a1y(t)+a0y(t)=f(t),例 4 某连续系统的框图如下 写出输入输出方程,y(t)+a1y(t)+a0y(t)=b1f(t)+b0f(t),例5 某离散系统框图如图所示。试写出描述该系统输入输出关系的差分方程。,图 二阶离散系统框图表示,解 系统框图中有两个移位器，故系统是二阶系统。采用与连续系统中由框图列写微分方程相类似的方法，在左边移位器的输入端引入辅助函数x(k)，则该移位器的输出为x(k-1)，右边移位器的输出为x(k-2)。 写出左边加法器的输出,1.6 系统的性质,一、线性特性系统的基本作用是将输入信号(激励)经过传输、变换或处理后，在系统的输出端得到满足要求的输
7、出信号(响应)。这一过程可表示为,f () y (),式中，y()表示系统在激励f()单独作用时产生的响应。信号变量用圆点标记，代表连续时间变量t或离散序号变量k。,如果系统的激励f()数乘(为任意常数)，其响应y()也数乘，就称该系统具有齐次性或均匀性。这一特性也可表述为,则系统具有齐次性。,如果任意两个激励共同作用时，系统的响应均等于每个激励单独作用时所产生的响应之和，就称系统具有叠加性。或表述为,则系统具有叠加性。式中，f1()，f2()表示两个激励f1()、 f2()共同作用于系统。,如果系统同时具有齐次性和叠加性， 就称系统具有线性特性。 或表述为,式中，1、2为任意常数，则系统具有
8、线性特性，表示系统响应与激励之间满足线性关系。 一个系统，如果它满足如下三个条件， 则称之为线性系统，否则称为非线性系统。,条件1 响应y()可以分解为零输入响应yx()和零状态响应yf()之和， 即 y()=yx()+yf(),这一结论称为系统响应的可分解性， 简称分解性。通常也称满足分解性条件的响应y()为完全响应。条件2 零输入线性, 即零输入响应 yx() 与初始状态 x(0-) 或 x(0) 之间满足线性特性。条件3 零状态线性，即零状态响应yf()与激励f()之间满足线性特性。,例 1 在下列系统中，f(t)为激励，y(t)为响应，x(0-)为初始状态，试判定它们是否为线性系统。
9、(1) y(t)=x(0-)f(t) (2) y(t)=x(0-)2+f(t) (3) y(t)=2x(0-)+3|f(t)| (4) y(t)=af(t)+b,解 由于系统(1)不满足分解性； 系统(2)不满足零输入线性； 系统(3)不满足零状态线性，故这三个系统都不是线性系统。 对于系统(4)， 如果直接观察y(t)f(t)关系，似乎系统既不满足齐次性，也不满足叠加性，应属非线性系统。但是考虑到令f(t)=0时，系统响应为常数b, 若把它看成是由初始状态引起的零输入响应时，系统仍是满足线性系统条件的， 故系统(4)是线性系统。通常，以线性微分(差分)方程作为输入输出描述方程的系统都是线性系
10、统，而以非线性微分(差分)方程作为输入输出描述方程的系统都是非线性系统。,1.6.2 时不变特性,参数不随时间变化的系统，称为时不变系统或定常系统，否则称为时变系统。,一个时不变系统，由于参数不随时间变化，故系统的输入输出关系也不会随时间变化。如果激励f()作用于系统产生的零状态响应为yf()，那么，当激励延迟td(或kd)接入时，其零状态响应也延迟相同的时间，且响应的波形形状保持相同。也就是说， 一个时不变系统，若,则对连续系统有,对离散系统有,系统的这种性质称为时不变特性。,图 1.6-1 系统的时不变特性,1.6.3 因果性,一个系统，如果激励在tt0(或kk0)时为零，相应的零状态响应
11、在tt0(或kk0)时也恒为零，就称该系统具有因果性，并称这样的系统为因果系统；否则，为非因果系统。在因果系统中，原因决定结果，结果不会出现在原因作用之前。 因此，系统在任一时刻的响应只与该时刻以及该时刻以前的激励有关，而与该时刻以后的激励无关。 所谓激励可以是当前输入，也可以是历史输入或等效的初始状态。由于因果系统没有预测未来输入的能力，因而也常称为不可预测系统。,1.6.4 稳定性一个系统，如果它对任何有界的激励f()所产生的零状态响应yf()亦为有界时，就称该系统为有界输入/有界输出(Bound-input/Boundoutput)稳定，简称BIBO稳定，有时也称系统是零状态稳定的。 一个系统，如果它的零输入响应yx()随变量t(或k)增大而无限增大，就称该系统为零输入不稳定的；若yx()总是有界的， 则称系统是临界稳定的；若yx()随变量t(或k)增大而衰减为零，则称系统是渐近稳定的。,
