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1、5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,上页,下页,结束,返回,首页,一、向量内积,四、实对称矩阵的特征值和特征向量,三、正交矩阵,二、正交向量组,上页,下页,结束,返回,首页,一、向量内积,下页,定义3 设a=(a1, a2, , an )T及b=(b1, b2, , bn )T是Rn中的两个向量，,记为aTb ,或,或(ab ) 。即,例如，设a=(-1, 1, 0, 2)T，b=(2, 0, -1, 3)T。则a和b的内积为,aTb,=4。,内积的定义：,则称实数,为向量a和b的内积，,(约定用aTb 表示),=(-1)2+10+0(-1)+23,设a=(a1, a2, , an )T及b
2、=(b1, b2, , bn )T是Rn中的两个向量，则向量a和b的内积为,内积的性质：(1) aTb =bTa ；(2) (ka)Tb =kaTb ；(3) (a+b)Tg= aTg +b Tg ；(4) aTa 0，当且仅当a=0时，有aTa =0。 其中a，b，g为Rn中的任意向量。,内积的定义：,下页,一、向量内积,向量的长度：,定义4 对Rn中的向量a=(a1, a2, , an )T，其长度为,向量长度也称为向量范数。,例如，在R2中，向量a=(-3, 4)T的长度为,在R2中向量a的长度就是坐标平面上对应的点到原点的距离。,下页,向量长度的性质：(1)|a|0，当且仅当a=0时，
3、有|a|=0；(2)|ka|=|k|a| (k为实数)；(3) |a+ b | |a| |b|；(4)对任意向量a，b，有|aTb|a|b|。,向量的长度：,定义4 对Rn中的向量a=(a1, a2, , an )T，其长度为,下页,长度为1的向量称为单位向量。,向量的单位化：,向量的长度：,定义4 对Rn中的向量a=(a1, a2, , an )T，其长度为,向量长度的性质：(1)|a|0，当且仅当a=0时，有|a|=0；(2)|ka|=|k|a| (k为实数)；(3) |a+ b | |a| |b|；(4)对任意向量a，b，有|aTb|a|b|。,下页,二、正交向量组,例2. Rn中的初始
4、单位向量组e1，e2，en，是两两,例1. 零向量与任意向量的内积为零，因此零向量与,下页,定义5 如果向量a与b的内积等于零，即aTb=0，则称向量,任意向量正交。,正交的：eiTej=0(ij)。,a与b正交(垂直)。,例1 判断下列向量是否正交, 是否为单位向量.,（1）,（2）,正交，非单位向量,正交，单位向量,我们学了正交、相关、无关，下面用2个向量来区分,若 线性相关，,一下这3个概念,即共线,若 正交，,垂直,若 线性无关，,（即不相关），,不共线,所以，正交 无关（正交是无关的特殊情况）,二、正交向量组,定义5 如果向量a与b的内积等于零，即aTb=0，则称向,定义6 如果Rn
5、中的非零向量组 a1，a2，as两两正交，,定理4 Rn中的正交向量组线性无关。,下页,量a与b正交(垂直)。,即 aiTaj=0(ij)，则称该向量组为正交向量组。,证明：设a1，a2，as为正交向量组，且有数k1， k2，ks，使k1a1+k2a2+ +ksas=O。上式两边与向量组中的任意向量ai求内积，aiT(k1a1+k2a2+ +ksas)=O (1is)，可得 kiaiTai=0，但ai0，有aiTai0。所以ki=0 (1is)，则a1，a2， ，as线性无关。,定理4 Rn中的正交向量组线性无关。,下页,三、正交矩阵,正交矩阵概念的引入,在平面解析几何中，常通过坐标变换是把一
6、般的二次曲线 方程化为标准型的如旋转变换,一般地,称为y1, y2,， yn到 x1, x2,， xn线性变换。,可用矩阵表示为。 其中称为线性变换矩阵。,是一种线性变换。,下页,三、正交矩阵,正交矩阵概念的引入,线性变换的矩阵形式： 。 这样Rn的一个列向量，通过线性变换化为向量。,我们希望线性变换保持向量许多特性不变，如向量的模， 及向量间的夹角不变。即向量的内积不变。,T()T=TT=T(T),要保持向量的内积不变，线性变换矩阵应满足：T 具有这种性质的矩阵称为正交矩阵。,下页,三、正交矩阵,定义7 如果n阶实矩阵A满足ATA=E，则称A为正交矩阵。,例如，单位矩阵E为正交矩阵；,下页,
7、三、正交矩阵,定义7 如果n阶实矩阵A满足ATA=E，则称A为正交矩阵。,正交矩阵的性质：1若A为正交矩阵，则其行列式的值为1或-1；2若A为正交矩阵，则A可逆，且A-1=AT；,3. n阶矩阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量是两两正交的单位向量。,下页,对于Rn中的线性无关向量组a1，a2，as，令,施密特正交化方法：,b1=a1，,向量组b1，b2，bs是正交向量组，并且与向量组a1，a2，as可以相互线性表示。,下页,例1设线性无关向量组a1=(1, 1, 1, 1)T，a2=(3, 3,-1,-1)T，a3=(-2, 0, 6, 8)T，试将a1，a2，a3正交化。,解：利用施密
8、特正交化方法，令,b1a1=(1, 1, 1, 1)T，,=(-1, 1, -1, 1)T 。,下页,四、实对称矩阵的特征值和特征向量,下页,我们已经知道任意的n阶矩阵不一定能与对角矩阵相似，然而，实对称矩阵却一定能与对角矩阵相似，其特征值、特征向量具有许多特殊的性质。,四、实对称矩阵的特征值和特征向量,定理6 实对称矩阵的特征值都是实数。,定理8 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量是正交的。,定理9 设A为实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使Q -1AQ为对角矩阵。,这是因为，实对称矩阵A有n个线性无关的特征向量。如果利用施密特正交化方法把A的每个特征值对应的线性无关的特征向量正交化，再单位化，则以这些单位正交化的特征向量为列向量的矩阵Q是正交矩阵，且Q -1AQ为对角矩阵。,下页,定理7 实对称矩阵的属于k重特征值的特征向量正好有k个。,定理9 设A为实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使Q -1AQ为对角矩阵。,求正交阵的方法：,下页,
