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1、5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,上页,下页,结束,返回,首页,一、向量内积,四、实对称矩阵的特征值和特征向量,三、正交矩阵,二、正交向量组,上页,下页,结束,返回,首页,一、向量内积,下页,定义3 设a=(a1, a2, , an )T及b=(b1, b2, , bn )T是Rn中的两个向量,,记为aTb ,或,或(ab ) 。即,例如,设a=(-1, 1, 0, 2)T,b=(2, 0, -1, 3)T。则a和b的内积为,aTb,=4。,内积的定义:,则称实数,为向量a和b的内积,,(约定用aTb 表示),=(-1)2+10+0(-1)+23,设a=(a1, a2, , an )T及b
2、=(b1, b2, , bn )T是Rn中的两个向量,则向量a和b的内积为,内积的性质:(1) aTb =bTa ;(2) (ka)Tb =kaTb ;(3) (a+b)Tg= aTg +b Tg ;(4) aTa 0,当且仅当a=0时,有aTa =0。 其中a,b,g为Rn中的任意向量。,内积的定义:,下页,一、向量内积,向量的长度:,定义4 对Rn中的向量a=(a1, a2, , an )T,其长度为,向量长度也称为向量范数。,例如,在R2中,向量a=(-3, 4)T的长度为,在R2中向量a的长度就是坐标平面上对应的点到原点的距离。,下页,向量长度的性质:(1)|a|0,当且仅当a=0时,
3、有|a|=0;(2)|ka|=|k|a| (k为实数);(3) |a+ b | |a| |b|;(4)对任意向量a,b,有|aTb|a|b|。,向量的长度:,定义4 对Rn中的向量a=(a1, a2, , an )T,其长度为,下页,长度为1的向量称为单位向量。,向量的单位化:,向量的长度:,定义4 对Rn中的向量a=(a1, a2, , an )T,其长度为,向量长度的性质:(1)|a|0,当且仅当a=0时,有|a|=0;(2)|ka|=|k|a| (k为实数);(3) |a+ b | |a| |b|;(4)对任意向量a,b,有|aTb|a|b|。,下页,二、正交向量组,例2. Rn中的初始
4、单位向量组e1,e2,en,是两两,例1. 零向量与任意向量的内积为零,因此零向量与,下页,定义5 如果向量a与b的内积等于零,即aTb=0,则称向量,任意向量正交。,正交的:eiTej=0(ij)。,a与b正交(垂直)。,例1 判断下列向量是否正交, 是否为单位向量.,(1),(2),正交,非单位向量,正交,单位向量,我们学了正交、相关、无关,下面用2个向量来区分,若 线性相关,,一下这3个概念,即共线,若 正交,,垂直,若 线性无关,,(即不相关),,不共线,所以,正交 无关(正交是无关的特殊情况),二、正交向量组,定义5 如果向量a与b的内积等于零,即aTb=0,则称向,定义6 如果Rn
5、中的非零向量组 a1,a2,as两两正交,,定理4 Rn中的正交向量组线性无关。,下页,量a与b正交(垂直)。,即 aiTaj=0(ij),则称该向量组为正交向量组。,证明:设a1,a2,as为正交向量组,且有数k1, k2,ks,使k1a1+k2a2+ +ksas=O。上式两边与向量组中的任意向量ai求内积,aiT(k1a1+k2a2+ +ksas)=O (1is),可得 kiaiTai=0,但ai0,有aiTai0。所以ki=0 (1is),则a1,a2, ,as线性无关。,定理4 Rn中的正交向量组线性无关。,下页,三、正交矩阵,正交矩阵概念的引入,在平面解析几何中,常通过坐标变换是把一
6、般的二次曲线 方程化为标准型的如旋转变换,一般地,称为y1, y2,, yn到 x1, x2,, xn线性变换。,可用矩阵表示为。 其中称为线性变换矩阵。,是一种线性变换。,下页,三、正交矩阵,正交矩阵概念的引入,线性变换的矩阵形式: 。 这样Rn的一个列向量,通过线性变换化为向量。,我们希望线性变换保持向量许多特性不变,如向量的模, 及向量间的夹角不变。即向量的内积不变。,T()T=TT=T(T),要保持向量的内积不变,线性变换矩阵应满足:T 具有这种性质的矩阵称为正交矩阵。,下页,三、正交矩阵,定义7 如果n阶实矩阵A满足ATA=E,则称A为正交矩阵。,例如,单位矩阵E为正交矩阵;,下页,
7、三、正交矩阵,定义7 如果n阶实矩阵A满足ATA=E,则称A为正交矩阵。,正交矩阵的性质:1若A为正交矩阵,则其行列式的值为1或-1;2若A为正交矩阵,则A可逆,且A-1=AT;,3. n阶矩阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量是两两正交的单位向量。,下页,对于Rn中的线性无关向量组a1,a2,as,令,施密特正交化方法:,b1=a1,,向量组b1,b2,bs是正交向量组,并且与向量组a1,a2,as可以相互线性表示。,下页,例1设线性无关向量组a1=(1, 1, 1, 1)T,a2=(3, 3,-1,-1)T,a3=(-2, 0, 6, 8)T,试将a1,a2,a3正交化。,解:利用施密
8、特正交化方法,令,b1a1=(1, 1, 1, 1)T,,=(-1, 1, -1, 1)T 。,下页,四、实对称矩阵的特征值和特征向量,下页,我们已经知道任意的n阶矩阵不一定能与对角矩阵相似,然而,实对称矩阵却一定能与对角矩阵相似,其特征值、特征向量具有许多特殊的性质。,四、实对称矩阵的特征值和特征向量,定理6 实对称矩阵的特征值都是实数。,定理8 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量是正交的。,定理9 设A为实对称矩阵,则存在正交矩阵Q,使Q -1AQ为对角矩阵。,这是因为,实对称矩阵A有n个线性无关的特征向量。如果利用施密特正交化方法把A的每个特征值对应的线性无关的特征向量正交化,再单位化,则以这些单位正交化的特征向量为列向量的矩阵Q是正交矩阵,且Q -1AQ为对角矩阵。,下页,定理7 实对称矩阵的属于k重特征值的特征向量正好有k个。,定理9 设A为实对称矩阵,则存在正交矩阵Q,使Q -1AQ为对角矩阵。,求正交阵的方法:,下页,