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1、第4章 随机变量的数字特征,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,2,第4章 随机变量的数字特征,4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差、相关系数与矩,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,3,第4章 随机变量的数字特征,对于许多实际问题，并不需要确定随机变量的分布函数，只要知道它的某些特征就足够了. 例如，在评价某地区粮食产量的水平时,通常只需要知道该地区粮食的平均产量.这个与随机变量有关的数值虽不能描述随机变量的全貌，但却更集中地描述随机变量的某些重要特征,这些特征在理论与实践中都具有重要意义. 由于他们往往只用一个数字表达，
2、故把它们统称为随机变量的数字特征.,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,4,4.1 数学期望的定义,4.1.1 离散型随机变量的数学期望,定义1 设离散随机变量X的概率分布律为 P(X=xk) = pk, k = 1, 2, . 若级数 绝对收敛，则称该级数 的和 为X随机变量的数学期望，简称期望，又称均值， 记为E(X), 即,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,5,例1（0-1分布的数学期望）设X服从0-1分布，求E(X).,解 X服从0-1分布，所以X的分布律为,故X数学期望为,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社,
3、 2014.2,6,例2（泊松分布的数学期望）设 ,求E(X).,解 X的分布律为,故X数学期望为,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,7,例3 设随机变量X的概率分布律为,求X的数学期望.,解,但由于,所以X的数学期望不存在!,虽然,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,8,4.1.1 连续型随机变量的数学期望,定义2 设连续型随机变量X的概率密度为 ,若 绝对收敛，则称,为X随机变量的数学期望，记为E(X).简称期望或均值.,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,9,例4（均匀分布的数学期望）设 ,求E(
4、X).,解 X的数学期望为,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,10,例5（指数分布的数学期望）设 ,求E(X).,解 X的数学期望为,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,11,例6（正态分布的数学期望）设 ,求E(X).,解 X的数学期望为,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,12,常用连续分布的数学期望,0-1 分布的数学期望= p,二项分布 B(n, p)的数学期望= np,泊松分布 P() 的数学期望= ,常用离散分布的数学期望,均匀分布 U(a, b) : E(X) = (a+b)/2,指数分布
5、 E() : E(X) = 1/,正态分布 N(, 2) : E(X) = ,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,13,1.问题的提出：,设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？,4.1.2 随机变量函数的数学期望,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,14,如何计算随机变量函数的数学期望?,一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来.,使
6、用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的 .,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得Eg(X)呢？,下面的定理指出，答案是肯定的.,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,15,如果积分 收敛,则有,(1)若 为离散型变量，其概率函数为,如果级数,收敛，则有,定理1 设X是随机变量,Y = g(X)是X的连续函数,则有,(2)如果X为连续型随机变量,其概率密度为f(x),欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,16,(4)设二维随机向量(X,Y)为连续型随机变量，它的联合概率密度为f(x,y),若 收敛,
7、(3)如果(X,Y)为离散型随机向量,其联合概率分布为P X=xi Y=yj = pij i,j =1,2,3,如果 ,则Z=g (X,Y)的数学期望为,则Z=g (X,Y)的数学期望为：,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,17,解,例7 设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为,求,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,18,解,例8 设二维随机变量,的密度函数为,求,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,19,解,例8 设二维随机变量,求,的密度函数为,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社
8、, 2014.2,20,4.1.3 数学期望的性质,(1) E(c) = c;,(2) E(aX) = aE(X);,(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y);,(4) 当X与Y独立时，E(XY)=E(X) E(Y).,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,21,(3). 设 X, Y 为任意两个随机变量，都有,则,推广到任意有限多个随机变量之和的情形，有,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,22,(4). 设X, Y为相互独立的随机变量，则有,证 因为X与Y相互独立，故其联合密度函数与边缘密度函数满足,推广到任意有限多个相互独立的随机
9、变量之积的情形,有,所以,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,23,解 设随机变量,例9 一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿途旅客有10个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车班车就不停设每位旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立，以X表示停车的次数，求 E(X).,i=1,2,10.,由题意，任一旅客在第i个车站不下车的概率为 表示第i站没有旅客下车，于是得的分布律如下：,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,24,例9 一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿途旅客有10个车站可以下车如到达
10、一个车站没有旅客下车班车就不停设每位旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立，以X表示停车的次数，求E(X) .,=10.920 .,这表明班车平均停车约9次,要计算E(X),只需计算,由于,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,25,试验证 ，但X和Y是不独立的,解,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,26,解,试验证 ，但X和Y是不独立的,所以,X的边缘密度函数,同理可得Y的边缘密度函数为,显然有 ，故X和Y是不独立的,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,27,1.离散型,2.连续型,3.
11、Y= g(X),4.Y=g(X, Y),内容小结,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,28,常用连续分布的数学期望,0-1 分布的数学期望= p,二项分布 B(n, p)的数学期望= np,泊松分布 P() 的数学期望= ,常用离散分布的数学期望,均匀分布 U(a, b) : E(X) = (a+b)/2,指数分布 E() : E(X) = 1/,正态分布 N(, 2) : E(X) = ,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,29,4.2 随机变量的方差,随机变量的数学期望是对随机变量取值水平的综合评价，而随机变量取值的稳定性是判断随
12、机现象性质的另一个十分重要的指标. 本节将介绍另一数字特征方差，用它来刻画随机变量在其中心位置附近平均偏离程度.,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,30,4.2.1方差的概念,D(X)=Var(X)=EX-E(X)2,并称 为X的标准差或均方差记为 。,2.方差的几何意义,随机变量X的方差反映出X的取值与其数学期望的偏离程度若 较小，则X取值比较集中，否则X取值比较分散因此，方差 是刻画X取值分散程度的一个量,定义 设X是随机变量，如果EX - E(X)2存在，则称EX-E(X)2为X的方差，记为D(X)或Var(X)，即,1.方差的概念,欧启通主编. 概率论与
13、数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,31,其中 PX = xk = pk k=1, 2, 3, .,连续型随机变量,离散型随机变量,3.方差的计算,4. 方差计算公式,= E(X2)- E(X)2,证明,D(X)= EX E(X)2,= EX 2 - 2XE(X)+ E(X)2,= E(X 2)- 2E(X)E(X)+ E(X)2,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,32,例11 设随机变量 X 的期望E(X)和方差D(X)都存在，则称,为X 标准化随机变量, 试求 和,解 注意到 均为常数，再由期望及方差的性质可得：,我们称上例的过程为对随机变量X的标准
14、化,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,33,解,求D(X).,所以,或,例12 设随机变量X具有概率密度,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,34,性质6 D(CX) = C 2 D(X),推论 D(X+C) = D(X)， D(aX+b)= a2 D(X),性质7 特别地若X，Y是两个相互独立的随机变量，则有D(X+Y)= D(X)+D(Y),性质8 D（X）= 0 的充要条件是P X = E(X) =1,推广 若X1, X2, , Xn相互独立，,为常数，则有,性质5 D(C)= 0,5. 方差的性质,欧启通主编. 概率论与数理
15、统计. 浙江大学出版社, 2014.2,35,证明 (6) D(CX) = E CX - E(CX)2 = C2 EX - E(X)2 = C2 D(X),(6) D(X+C)= E(X+C)- E(X+C)2= EX E(X)2= D(X),而 EX-E(X) Y-E(Y),= E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y),= E(XY)- E(X)E(Y),由于 X, Y相互独立，故有 E(XY)= E(X)E(Y),从而有 EX-E(X)Y-E(Y)= 0 ，,(7) D(X+Y) = E(X+Y)-E(X+Y)2,于是 D(X+Y)= D(X)+D(Y),练习 若X，Y 相互独立，证明 D(X-Y)= D(X)+D(Y).,
