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1、第三章 平面问题的直角坐标解答,3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答,弹性力学平面问题应力解法的数学模型,(3-1),在给定边界条件的情况下用直接积分去求解弹性力学的基本方程，确定物体内的应力、应变和位移，一般地讲是很困难的，只有对一些简单的问题才适用。所以，往往对具体问题采用逆解法或半逆解法求解，而解的唯一性定理为弹性力学问题的逆解法提供了一个理论根据。,问题归结为一是如何构造可以作为应力一般解的双调和函数，即寻求双调和函数的一般解；二是对具体问题(即给定边界条件下的问题)求解。,逆解法 这种解法有两种含义。一种含义是先设定各种形式的满足双调和方程的应力函数 ，然后按式(2-31) 求出应力
2、分量，再根据应力边界条件，求出边界上对应的表面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么样的力学问题。另一种含义是：通过材料力学或某种分析得到某问题的可能解答，然后检查它是否满足全部方程和边界条件。,半逆解法本解法是根据具体问题中边界的几何形状和受力特征，或某些问题的解答，或通过某种分析，凑出一部或全部应力分量的函数形式或应力函数的形式，然后检查全部边界条件，以最后确定这些函数，若不满足，或出现矛盾，则需修改原来所设的函数，重新检查，一直到满足为止。半逆解法系由圣维南提出，所以又称圣维南解法，或凑合解法。,多项式解答,经过验证，下列函数,都是满足双调和方程的，因而，它们都是可能的应力函数。只要根
3、据物体边界上的外力分布，从上列各函数中选一些双调和函数进行组合，即得,(a),既然双调和方程 是一个线性方程，因此，经叠加后的式(a)也仍然是一个双调和函数。不过，当式(a)中的四次项和四次以上的多项式代入双调和方程后，各系数必须满足由此而建立的关于该系数的代数方程。因为在双调和方程中有最高的四阶导数，要使得方程满足高阶项必须满足一定的条件。,例3-1 选取式(a)中的一次项作为应力函数，不计体积力求在图示矩形板边界上对应的表而力。,解：所取一次式为,不论系数a0、a1和b1取何值， 总是满足双调和方程。由公式(2-31)求得应力分量,不论弹性体为什么形状，也不论坐标系如何选择，由应力边界条件
4、总能得出 ，可见,线性应力函数总是对应于自然状态在任何平面问题的应力函数中，加上或减去一个线性函数并不影响求解应力,例3-2 选取(a)中的二次式为应力函数，不计体积力试求在上例图中所示矩形板(单位厚度)边界上对应的表面力。解：所取二次式为,不论系数a2、b2和c2取何值， 总是满足双调和方程。为简明起见，现分别考察 式中的每一项，即令1= a2x2，2= b2xy， 3= c2 y2。这时， = 1 + 2 + 3 ，看其每一项所能解决的问题。,对于1= a2x2 ，代入式(2-31)，得,对于图示的矩形板和坐标方向，当板内发生上述应力时，由应力边界条件可知,AB边,CD边,BC边,DA边,
5、说明矩形板左右两边界上没有面力作用，而上下两边分别受有向上和向下的均布面力2a2。可见，应力函数1= a2x2 能解决矩形板在y方向受均匀拉力(设a20)或均布压力(设a20)或均布压力(设c2 0)的问题，见图(c)。,图(c),总之，对于矩形板，当受到图(d)所示的面力作用时，可用多项式= a2x2+ b2xy+ c2 y2作为应力函数来求解，从而得到。 x= 2c2 ，y= 2a2，xy= -b2这一解答。,图(d),例3-3 选取(a)中的五次式,作为应力函数，在不计体积力时，求图示矩形板边界上对应的表面力。,解：将的表达式代入双调和方程得,因为这方程对所有的x和y都成立，所以只有,将
6、e5和f5用其他的系数表示：,于是上述五次多项式成为,现在，式中的四个系数不论取何值，都能满足双调和方程。特别地，若a5 =b5 =c5=0，则,对应的应力分量为,在矩形板的边界上作用的表面里如下图所示。,当使用逆解法求解时，自然会产生这样一个疑问，即，这样求得的解是不是唯一的解？会不会还有其他解答?另外，是否可能找出两组不同的解，它们对应着同一个边界情况。若有这种可能，用逆解法求解的解就不一定是问题的真正的解。但可证明：在没有初应力的情况下，对应着一定的边界条件，弹性力学问题的解是唯一的。这就是解的唯一性定理注。根据这一定理，不论是用正解法(直接积分法)或从用逆解法，只要所求得的解满足弹性力
7、学的全部要求，它就是唯一的解。,注 参阅王龙甫著弹性理论,6-5，科学出版社,1979,3-2 矩形梁的纯弯曲,例3-4 设有矩形截面的直梁，它的厚度远小于深度和长度(近似的平面应力情况)，或者远大于深度和长度(近似的平面应变情况)，在两端受有相反的力偶而弯曲，体力可以不计。为了方便，取单位厚度的梁来考察，如图示，并令每单位宽度上力偶的矩为M，M的量纲是力长度长度。试求梁的应力。,解： 取坐标轴如图所示。由前节知，应力函数=ay3能解决纯弯曲的问题，而相应的应力分量为,x=6ay ,xy=0，y=0,(a),现在来考察，这些应力分量是否能满足边界条件，如果能满足，系数a应该取什么值。,在下边和
8、上边都没有面力，要求,是能满足的，因为在所有各点都有xy=0，y=0。,在左端和右端，没有铅直面力，分别要求,这也是能满足的，因为在所有各点都有xy=0。,此外，在左端或右端，水平面力应该合成为力偶，而力偶的矩为M，这就要求水平面力的主矢量为零，主矩为M，亦即,将式(a)中的x代入，上列二式成为,前一式总能满足，而后一式要求,代入式(a)，得,(b),这就是矩形梁受纯弯曲时的应力分量，结果与材料力学中完全相同，即梁的各纤维只受单向拉压，即所谓弯曲应力按直线分布，见图。,(3-2),应当指出，组成梁端力偶的面力必须按直线分布，解答(3-2)式才是完全精确的。如果两端的面力按其他方式分布，解答(3
9、-2)式是有误差的。但是，按圣维南原理，只在梁的两端附近有显著的误差；在离开梁端较远处，误差是可以不计的。由此可见，对于长度 l 远大于深度 h 的梁，解答(3-2)式有实用价值的；对于长度 l 与深度 h 同等大小的所谓深梁，这个解答是没有什么实用意义的。,例3-5 试求上例矩形截面直梁纯弯曲时的位移分量。,解 假定这里是平面应力的情况。将应力分量表达式(3-2)代入平面应力问题的物理方程，得应变分量,(a),再将式(a)代入Cauchy方程，得,(b),前二式的积分给出,(c),式中f1(y)和f2(x)为任意函数。将式(c)代入(b)中的第三式,等式左边只是y的函数，而等式右边仅是x的函
10、数。因此，只可能两边同等于同一常数，于是有,将两式分别积分，得,代入式(c)，得位移分量,式中的任意常数、u0、v0必须由约束条件求得。由(d)中的第一式可见，不论约束情况如何(也就是不论、u0、v0取何值)，铅直线段的转角都是(见523),(d),在同一个横截面上，x是常数，因而也是常量。于是可见，同一横截面上的各铅直线段的转角相同，亦即横截面保持为平面。材料力学中的平面假设,又由(d)中的第二式可见，不论约束信况如何，梁的各纵向纤维的曲率是,(e),这是材料力学里求梁的挠度时所用的基本公式。,如果梁是简支梁，见图，则在铰支座O处，既没有水平位移，也没有铅直位移在连杆支座A处，没有铅直位移。
11、因此，约束条件是,(f),从而得出,(g),代入式(d)，就得到简支梁的位移分量,(3-3),于是由式(d)得出下列方程来决定任意常数、u0、v0,梁轴的挠度方程是,(h),和材料力学中的结果相同。,如果梁是悬臂梁，左端自由而右端完全固定，如右图，则在梁的右端(x=l)，对于y的任何值( )，都要求u=0和v=0。在多项式,解答中，这个条件是无法满足的。多项式的解答可以满足这样的约束条件，即在右端，某一点不移动，某一个线段不转动。现在和材料力学中一样，假定右端截面的中点不移动，该点的水平线段不转动。这样，约束条件是,(i),于是由式(d)得出下列三个方程来决定、u0、v0 。,求解以后，得,代
12、入式(d)，得出该悬臂梁的位移分量,(3-4),粱中的挠度方程是,(k),(j),对于平面应变情况下的梁，须在以上的应变公式和位移公式中，把E变换为E/(1- 2), 把变换为了 /(1- )。例如，梁的纵向纤维的曲率公式(e)，应该变换为,(3-5),3-4 简支梁受均布荷载,例3-11 设一矩形截面的简支梁跨度为2l，在梁的上边界受有均匀分布的荷载q作用，如图。试分析梁内应力分量，并与材料力学结果相比较(自重不计)。,解 简文梁受均布荷载的弯曲问题此前已为大家所熟悉。因此，面对该问题就很自然地写出下面的材料力学的解答,(a),但是，它并不满足弹性力学的全部方程。因为，在梁的上表面(y=-h
13、/2)有,y并不等于零。因此，我们放弃y=0这一假定，而根据初等解答(a)，写出应力分量的普遍形式,于是有,(b),由式(b)的第一式积分，得,(c),式中的f1(x)和f2(x)均为x的任意函数。将式(c)代入(b)的第二式则有,由此得,这里的E为积分常数。代入式(c)后，得到,(d),通过直接的演算可以发现，上述函数并不满足双调和方程，这表明它不能取作应力函数。但只要在这个函数的基础上，再添加一个任意函数(x, y)，并略去不影响应力分量的一次项Ey，于是有,(e),以满足双调和方程为目标，来选择函数(x, y) 。为此，将式(e)代入双调和方程，于是得到要使函数式(e)为双调和函数时,
14、(x, y)所必须满足的方程(这里设f2(x)至多是 x 的三次函数),(f),容易得出，这个方程最简单的解答是,(g),将它代入式(f)，得到,(h),函数(x, y)中的 项可以不计，因为在函数式(e) 中已包含了相似项。这样由式(h)有,因此，最后得到,对应的应力分量为,(i),通常，梁的跨度远大于梁的高度，即梁的上下两边界占全部边界的绝大部分，因而上下两个边界是主要的边界，其余小部分的边界，即左右两个边界是次要边界。在主要的边界上，边界条件必须完全满足(亦即精确满足)；在次要的边界上，如果边界条件不能精确满足，可以应用圣维南原理，使边界条件得到近似满足，(亦即放松边界条件的精确要求)，
15、仍然可以得出有用的解答。,主要边界条件,(j),次要边界条件,(k),由主要边界条件得,将此两式相加，得,再由关于x2和x4的系数比较，又可得,又因为,因为常数F=0，所以C=Bh2/4，从而解得,代入式(i)，得,(l),再出次要边界条件(k)中的第二式，得,即,将它代入式(l)，并稍加整理，得,(m),但是，在x=l的左、右端截面上，x=0。而从(m)的第一式可见，这个条件是无法满足的，即,(n),根据圣维南原理，只要它满足(k)中的第一式即可，因此，将其代入得，,该条件却是满足的。且(k)中的第三式也是满足的，因此式(m)即为简支梁受均布荷载q作用的问题的解答。应力分量沿任一截面的变化规律大致如下图所示。,(m),矩形截面梁的宽度b=1，惯矩为 ，静矩是 ，而梁的任一按截面上的弯矩和剪力分别为,则式(m)改写为,(3-6),在式(3-6)中，虚线左边的项与材料力学的解答相同，而右边的项是弹性力学所给出的修正项。,在式(3-6)中，虚线左边的项与材料力学的解答相同，而右边的项是弹性力学所给出的修正项。 y 表示纵向纤维的挤压应力，而在材料力学中这一应力则被假定为零；这里的剪应力xy 与材料力学结果相同；x 的表达式中的第一项与材料力学结果相同，第二项表示弹性力学提出的修正项。对于通常的长而低的梁，修正项很小，可以忽略不计。对于短而深的梁，修正项不能被忽视。,
