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1、自动控制原理第五部频率响应法,5.1 频率特性 5.2 典型环节和开环系统频率特性(*) 5.3 稳定性分析(*) 5.4 稳定裕度(*) 5.5 闭环频率特性和性能指标(*) 5.6 开环对数频率特性和时域指标(*) 5.7 传递函数的实验确定法,引言,频率法研究的问题：系统的稳定性、快速性以及稳态精度等等 间接用开环或者闭环的频率特性图形来计算系统的运动性能 频率特性是定义复变量s在复平面虚轴上变化的传递函数 频率特性具有明确的物理意义,5.1 频率特性的一般概念,5.1.1 频率特性的基本概念,式中: A输入信号的振幅;,输入信号的角频率.,式中: s1,s2, sn是G(s)的极点,它
2、们可能是实数,也可能是共轭复数.对于稳定系统来说,它们都具有负实部.,式中: a1,a2, an待定系数（留数）;,b, 待定的共轭复数.,对式(5-5)求拉氏反变换,便得到系统的输出信号y(t),即系统对正弦输入的响应是:,(5-6),(5-7),对于稳定系统来说,由于极点s1,s2, sn都具有负实部,因此,当t时,其相应的指数项 都将衰减为零.因此,系统的稳态输出为:,(5-8),(5-9),式中的待定系数b, 可按求留数的方法求得:,式中:,将式(5-8) (5-11)代入式(5-7)中,有:,(5-12),式中: 稳态输出的幅值,是的函数.,由此可知:,线性定常系统对正弦输入信号As
3、int的稳态输出Ysin(t+),仍是一个正弦信号.其特点是:,.频率与输入信号相同;,.相移为 =G(j).,振幅Y和相移都是输入信号频率的函数,对于确定的值来说,振幅Y和相移都将是常量.,.振幅Y为输入振幅A的 倍;,a) 函数图,b) 向量图,A,输入、输出关系也可以用函数图和向量图表示如下:,图5-2 正弦输入输出关系,频率特性的定义,(5-15),幅频特性 及相频特性G(j)统称为频率特性,记为:,这就是说,G(j)是在s=j特定情况下的传递函数.通过它来描述系统的性能,与用传递函数描述时具有同样的效果,即两者所包含的系统动态特性的信息完全相同.,理论上可将频率特性的概念推广的不稳定
4、系统 . 但是 , 系统不稳定时 , 瞬态分量不可能消失 , 它和稳态分量始终同时存在 . 所以 , 不稳定系统的频率特性是观察不到的 .,5.1.2 频率特性的几何表示法,以图5-3所示的RC网络为例 , 传递函数为,频率特性曲线一般有以下三种表示方法 :,频率特性为,幅相频率特性曲线简称幅相曲线 , 是频率响应法常用的一种曲线 . 其特点是把频率 看成参变量 , 将频率特性的幅频特性和相频特性同时表示在复数平面上(向量) . 这样 , 当频率 从零变到无穷时 , 相应向量的矢端就描绘出一条曲线 , 如图5-6所示 . 因此 , 福相曲线实际上是复数 s 平面上零到无穷这段虚轴的映象 , 如
5、图5-7所示 . 频率从零变到负无穷的福相曲线 , 根据对称于实轴的原理即可画出 .,这种画有幅相曲线的图形称为极坐标图 .,在极坐标图上 , 实轴正方向为相角零度线 , 逆时针方向的角度为正角度 , 顺时针方向的角度为负角度 ., 对数频率特性曲线又称Bode曲线 , 包括对数幅频和对数相频两条曲线 . 这两条曲线连同它们的坐标组成了对数坐标图或称Bode图 .,对数频率特性曲线的横坐标是频率 , 并按对数分度 , 单位是rad/s . 对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值 , 线性分度 , 单位是dB . 频率特性G(j )的对数幅频特性定义如下,对数相频特性曲线的纵坐标表示相频特
6、性的函数值 , 线性分度 , 单位是 (0) 或(弧度) .,对数分度和线性分度的区别如图5-8所示 .,采用对数坐标图的优点是 :,a).可以将幅值的乘除化为加减;,b).可以扩展低频段;,c).可以采用简便方法绘制近似的对数幅频曲线,d).将实验获得的频率特性数据画成频率特性曲线 , 能方便地确定频率特性的函数表达式 .,图5-9是 时的对数幅频和对数相频曲线 ., 对数幅相曲线(又称尼柯尔斯曲线),对应的曲线图称为福相图(又称尼柯尔斯图) . 其特点是纵、横坐标都线性分度 , 横坐标表示相角 , 纵坐标表示对数幅频特性幅值的分贝数 , 频率 为参变量 ,如图5-10所示 .,5.2 典型
7、环节和开环系统频率特性,5.2.1 典型环节,如果系统如图5-12所示 , 而系统的元部件只包含集总参数 , 那么开环传递函数G(s)H(s)的一般表达式为,如果将其分子、分母分解因式 ，则常见有以下七种典型环节 ：, 比例环节, 惯性环节, 一阶微分环节, 积分环节, 微分环节, 振荡环节, 二阶微分环节,5.2.2 比例环节,福相曲线如图5-13所示 .,其相应曲线如图5-14所示 .,输入输出关系为,频率特性是,对数幅频特性为,对数相频特性为,所有元部件和系统都包含这种环节 , 如减速器、放大器、液压放大器等 .,5.2.3 积分环节,福相曲线如图5-15所示 .,传递函数和频率特性分别
8、为 :,即横坐标 lg 每增加单位长度(每增加十倍)时 , L() 减少 20dB , 故斜率是 -20dB/十倍频程 , 记作 -20dB/dec . 直线和零分贝线交于 为 1 的地方 .,相频特性是 ,如图5-16所示 .,5.2.4 微分环节,幅频特性与 成正比 , 相频特性恒为 900 . 福相曲线如图5-17所示.,输入输出关系为,传递函数和频率特性分别为 :,可见 , 对数幅频曲线是条直线 , 斜率为20dB/dec , 且和零分贝线交于 为 1 的地方 .,微分环节的对数坐标图也见图5-16 .,进入振荡环节,5.2.5 振荡环节,式中 式(5-33)也是欠阻尼二阶系统的传递函
9、数 . 因此 , 研究欠阻尼二阶系统得到的结论完全适用于振荡环节 .,振荡环节的频率特性为,式中 为阻尼振荡频率 . 极点-零点分布如图5-26 (a)所示 . 幅频特性和相频特性的图解计算式分别为,因而,故振荡环节的福相曲线从实轴上( 1,j0 )开始 , 最后在第三象限和负实轴相切并交于原点 , 如图5-26 (b)所示 .,(5-35),根据式(5-34)和(5-35)可计算频率特性 , 并绘制福相曲线 , 如图5-27所示 . 图上以无因次频率 为参变量 . 由图可见 , 无论 多大, u=1(即 )时 , 相角都等于 -900 ;幅频特性的最大值随 减小而增大,其值可能大于 1 .以
10、下的讨论可清楚地看到这一点 .,与 u 的关系曲线见图5-28 (a) . 由曲线可见 , 小于某个值时,幅频特性出现谐振峰值 , 峰值对应的频率称为谐振频率 , 叫做无因次谐振频率 , ur 随 减小而增大 , 最终趋于 1 . 将方程(5-36) 对 u 求导并令它等于零 , 可得,(5-37),曲线如图5-29所示 , 曲线见图5-30 .,为了将振荡环节的幅频特性和单位阶跃响应联系起来 , 把3-3节欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线重画在图5-28 (b)上 , 与单位阶跃响应曲线峰值 间的关系如图5-29曲线 (b)所示 .,无因次阻尼振荡频率,曲线如图5-30曲线 (b) 所示 .
11、,图5-29和图5-30将时域和频域间的关系联系了起来 . 由图5-29可见 , Mr和 h(tp) 密切相关 : Mr大 , h(tp) 就大 ; 反之亦然 . 因而Mr直接表征了超调量的大小 , 故称之为振荡性指标 . 图5-30则表明了谐振频率 和阻尼振荡频率 d 间的关系 .,以上得到的两条渐近线都与阻尼比 无关 . 实际上 , 幅频特性在谐振频率处有峰值 , 峰值大小取决于阻尼比 , 这一特点也必然反映在对数幅频曲线上 . 根据方程(5-39)绘制的准确对数幅频曲线及渐近线如图5-31所示 .,根据式(5-35)绘制的对数相频曲线也表示在图5-31上 .,当 时,因此低频渐近线是零分
12、贝线 . 而当 时,这是一条斜率为 -40dB/dec 的直线 , 和零分贝线交于 的地方 . 故振荡环节的交接频率为 n .,到不稳定环节,5.2.6 不稳定环节,不稳定环节和它对应稳定环节的频率特性有密切的关系 .,在系统的传递函数中 , 也可能出现 两种因子 , 仅管这并不表明系统不稳定 , 但仍可分别称为不稳定一阶微分环节和不稳定二阶微分环节 .,系统如果不稳定 , 它的特征方程必定有正实部的根 , 传递函数相应出现 因子 , 分别称为不稳定惯性环节和不稳定振荡环节 .,极点-零点分布图如图5-52所示 . 由图可见,也即从零变到无穷时 ,幅值从1变到零 , 而相角从 -1800 变到
13、 -900.,不稳定惯性环节的传递函数,频率特性,很明显 , 不稳定惯性环节和惯性环节的幅频特性相同 , 而相频特性曲线却对称于-900水平线 , 如图5-53所示 . 不稳定惯性环节的福相曲线是以(-0.5,j0)为圆心 , 0.5为半径 , 位于第三象限的半圆 , 如图5-52 (b)所示 . 对数频率特性曲线 , 如图5-54所示 .,由频率特性表达式可知 , 幅频和相频特性分别为,不稳定振荡环节和其对应环节的幅频特性相同 , 而相频特性曲线对称于 -1800 线 . 其福相曲线和对数频率特性曲线如图5-55所示 .,不稳定一阶微分环节和其对应环节的幅频特性相同 , 而相频特性曲线对称于
14、 900 线 . 其福相曲线和对数频率特性曲线如图5-56所示 .,不稳定二阶微分环节和其对应环节的幅频特性相同 , 而相频特性曲线对称于 1800 线 . 其福相曲线和对数频率特性曲线如图5-57所示 .,5.2.7 延迟环节,输出量毫不失真地复现输入量的变化 , 但时间上存在恒定延迟的环节称为延迟环节 , 如图5-58所示 . 其输入-输出关系为,式中 是延迟环节的延迟时间 . 应用拉氏变换位移定理可得,延迟环节的传递函数,频率特性,福相曲线是个圆 , 圆心在原点 , 半径为 1 如图5-59所示 .,由式(5-51) , 延迟环节的对数幅频特性恒为 0dB , 对数频率特性曲线如图5-60所示 . 由图可见 , 越大 , 相角迟后越大 .,且有,5.3 稳定性分析,奈氏判据有如下特点:, 应用开环频率特性曲线判断闭环稳定性. 开环频率特性曲线可以按开环频率特性绘制, 也可以全部(或部分)由实验方法绘制;, 便于研究系统参数和结构改变对稳定性的影响;, 很容易研究包含延迟环节系统的稳定性;, 奈氏判据稍加推广还可用来分析某些非线性系统的稳定性.,5.3.1 引言,辅助函数 研究图5-63所示系统 .图中 , G(s)和H(s)是两个多项式之比,如果G(s)和H(s)无极点和零点对消 , 则系统开环传递函数,闭环传递函数,
