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1、浅析函数极限的求法摘要极限是数学分析的一个重要组成部分，它以各种形式出现且贯穿在全部内容之中, 因此，掌握好极限的求解方法是学习数学分析的关键，而函数极限的求法可谓是多种多样.首先本文先给出了函数极限的定义及其性质；其次归纳和总结了函数极限的若干求法，并举例分析；最后给出了求函数极限的流程图，也就是求函数极限的思路、步骤，使初学者能较快地掌握求函数极限方法.关键词：极限；导数；洛必达法则；泰勒公式- - 1 - -第 - 1 - 页 共 20 页RAMBLE ABOUT THE METHODS OF MATH LIMITABSTRACTMathematical analysis of the
2、limit has been a focus of content, and runs through the entire contents in a variety of forms, therefore, how to grasp the solution to limit is the key to learning the mathematical analysis. The series of limit can be described as diverse, by concluded and induction, At first, this paper gives the d
3、efinition of limit, by defining the to understand what is the limit of sequence and function; secondly by induction and summarization, this paper lists some common calculation methods, and analysis all kinds of method of limit. At last,given the procedure of the solution to function limit finally, i
4、.e. the idea of solve function limit and the step of solve function limit, to make the beginning student can grasp the method of solve function limit fast. 9Key words: limit; derivative; Variable substitution; Lhospitals rule; McLaughLin formula; Taylar exhibition type- - 2 - -第 - 2 - 页 共 20 页目 录1 前
5、言.- 3 - 2 函数极限的概念及性质- 4 - 2.1 函数极限的概念.- 4 - 2.2 函数极限的性质.- 5 - 3 函数极限的求解方法- 6 - 3.1 利用两个准则求极限- 6 - 3.2 利用极限的四则运算求极限- 7 - 3.3 利用两个重要极限公式求极限- 8 - 3.4 利用洛必达法则求极限- 9 - 3.5 利用函数连续性求极限- 10 - 3.6 通过等式变形化为已知极限- 10 - 3.7 利用换元法求极限- 11 - 3.23 利用自然对数法求极限.- 11 - 3.8 利用因式分解法求极限- 12 - 3.14 利用压缩定理.- 16 - 4 求极限的一般流程.
6、- 18 - 结论.- 21 - 参考文献.- 22 - 致谢.- 23 - - 3 - -第 - 3 - 页 共 20 页1 前言极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题.数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限.两类极限的本质上是相同的，在形式上数列界限是函数极限的特例.因此，本文只就函数极限进行讨论.函数极限运算是高等数学的一个重要的基本运算，一部分函数的极限可以通过直接或间接的运用“极限四则运算法则”来求解，而另一部分函数极限需要通过特殊方法解决.求函数极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的.对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方
7、法.在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理以及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧.极限是数学分析中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态.早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载,例1如，魏晋时期中国数学家刘徽的“割圆术”的数学思想，即用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想.在数学分析中的许多基本概念，都可以用极限来描述.如函数连续的定义，导数的定义，定积分、二重积分、三重积分的定义，级数收敛的定义，都是用极限来定义的.极限是研究数学分析的基本工具，极限是贯穿数学分析的一条主线.本文是在极限存在的条件下，对极限的常用求法进行综述，归纳出计算极限的一般流
8、程.计算极限所用的方法，是致力于把所求极限简化为已知极限.求极限的方法远远不止本文所归纳的，故本文并不够完善，求极限的方法未能拓展,只限于数学分析.希望通过本文，大家在思想上能对求解极限的方法有一个高度的总括，计算极限时游刃有余.- - 4 - -第 - 4 - 页 共 20 页2 函数极限的概念及性质2.1 函数极限的概念定义 1 设为定义在上的函数，A 为定数.若对任给的，存在f, a 0正数，使得当时有M0a xM f xA则称函数当趋于时以 A 为极限，记作fx或 lim xf xA f xA x 定义 2 （函数极限的定义） 设函数在点的某个空心邻域f0x内有定义，A 为定数.若对任
9、给的，存在正数，使得0 0;Ux0时有00xx f xA则称函数当趋于时以 A 为极限，记作fx0x或 0lim xxf xA 0f xA xx定义 3 设函数在（或）内有定义，A 为定数.若对f0 0;Ux0 0;Ux任给的，存在正数，使得当（或）时有000xxx00xxx f xA则称数 A 为函数当趋于（或）时的右（左）极限，记作fx0x0x（） 0lim xxf xA 0lim xxf xA 或- - 5 - -第 - 5 - 页 共 20 页（） 0f xA xx 0f xA xx右极限与左极限统称为单侧极限. 在点的右极限与左极限又分别记为f0x与 . 000lim xxf xf
10、x 000lim xxf xf x 2.2 函数极限的性质定理 1（唯一性） 若极限存在，则在的某空心邻域内 0lim xxf x f0x 0 0Ux有界.定理 2（局部保号性）若 （或） ，则对任何正数 0lim0 xxf xA 0（或） ，存在，使得对一切rArA 0 0Ux有（或）. 0 0xUx 0f xr 0f xr 定理 3（保不等式性） 设 与 都存在，且在某邻域 0lim xxf x 0lim xxg x 内有，则0 0;Ux f xg x 00limlim xxxxf xg x 定理 4 （迫敛性） 设，且在某邻域内有 00limlim xxxxf xg xA 0 0;Ux，
11、则 f xh xg x 0lim xxh xA 定理 5（四则运算法则） 若极限与都存在，则函数， 0lim xxf x 0lim xxg x fg当时极限也存在.fg0xx- - 6 - -第 - 6 - 页 共 20 页3 函数极限的求解方法3.1 利用两个准则求极限(1)极限的迫敛性（夹逼原理） ，对数列和函数同样适用： 1设，且在某内有Axgxf xxxx )(lim)(lim00) ;(00xU)()()(xgxhxf则Axh xx )(lim0利用夹逼原理求极限，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列或函数， .)()()(xgxhxf例 3.1 求coslim xxx
12、 x解： 因为，所以当0 时1cos1x x11cos1111xxxx xxxxx 而11lim 1lim 11 xxxx由迫敛性定理得，=1coslim xxx x例 3. 2 求2sinlim4xxx x解： 因为当2 时，x222sin 444xxxx xxx而， 由迫敛性定理知221limlim0441xxxx x x2lim04xx x=02sinlim4xxx x- - 7 - -第 - 7 - 页 共 20 页（2）单调有界定理2设为定义在或上的单调有界函数，则存在 f x 0 0Ux 0 0Ux 0lim xxf x 或存在 0lim xxf x 3.2 利用极限的四则运算求极
13、限极限的四则运算法则：4若，Axf xx )(lim0Bxg xx )(lim0（1）BAxgxfxgxf xxxxxx )(lim)(lim)()(lim000（2）BAxgxfxgxf xxxxxx )(lim)(lim)()(lim000（3）若 则：0BBA xgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000（4） （c 为常数） cAxfcxfc xxxx )(lim)(lim00上述性质对于时也同样成立xxx,通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算，首先对函数实行各种恒等变形.例 3.3 求极限22lim2 sincos xxxx解：=2
14、2lim2 sincos xxxx22222lim2 limsinlimcoslimlim xxxxxxxxx =22 2 sincos2 12224例 3.4 求极限121lim221xxxx- - 8 - -第 - 8 - 页 共 20 页解：=0121lim221xxxx) 12(lim) 1(lim2121 xxxxx 20例 3.5 求极限2211lim21xx xx 解：=2211lim21xx xx 111lim121xxx xx = 112lim213xx x例 3.6 求极限 4123lim2xx x 解： 44241232limlim42123xxxxx xxx= 422 lim123xxx= 2424 31 83 3.3 利用两个重要极限公式求极限两个重要极限公式：（A） (B)21sinlim 0 xxxexxx )11 (lim但我们经常使用的是它们的变形：1)()(sinlim) ( 0)( xxA xexBxx )()()(11 (lim) (例 3.7 求极限20cos1limxxx解： =20cos1limxxx21)22sin (21lim20 xxx例 3.8
