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1、第一章 朴素集合论 1.1 集合的基本概念1.解：，是的真子集，是的真子集ECZADB,EC,BDB,A2.解：（2） ， （3）为正确3.解：因为，,有传递性，所以结论成立1iiAA1,.,3 , 2 , 1niiniAAAA114.解：, ,Xcbcabacba5.解：nn nnnCCC21211.2 集合的基本运算1.证：（1）显然， （2）因为所以所以从而,BA ,BA BABBAA,CACABCBACB)()(CBCBACBACA)()(3)因为，则当且仅当且当且仅当，故BA )(ABBxBxABxAx。AABB)(2.证：（1）当且仅当当且仅当当且仅当，xAB,xA xB,xA x
2、BxAB所以ABAB （2）()()()() ABBABBABBB ABAB 所以，()()ABABBAAB（3）因为所以AB,()BAB AXAABABAB因此从而ABBA （4）11221122121212121212()()()()()()()()()()ABABABABAABBAABBAABB3.证明：（1）且存在 ，使得且)( 1iiABxBxi iAx1iBx存在 ，使得，所以结论成立。iAxi)( 1iiiABxABx（2）且且对任何)( 1iniABx BxiniAx 1Bx),.,2 , 1(niAxi且对任何。xi,BiAx)(, 1iniiABxABxi 且且存在存在 ，
3、使得BxABxini )( 1BxAxini 1iAxi,i且存在 使得所以结论成立。BxixAiixBAx)( 1iniAB 4.证：考虑为基础集。令iniAX 11111111111,()()()()nnnnnnnnijijijiiijijijiAAAAAAAAAA 另方面，易见11()()ijiiijAAAAAA事实上，若则当时，当时，故ijxAA1ixA1ijxAA1ixA1iixAA从而11()()iiijxAAAA111122112111()()()()()()()()()()ijiiijiiiiijniiiijjiiiAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA 所以1,1()()n
4、nijiii jiAAAA 5.证：（1） （2）显然成立。（3）取则AA()()AAAAAA（4）()()()()()( )()()()()() ()()()()()( ()()()()()ABCABBACABBACCA BBAABCBACCABAB ABCBACCABABCBACC ABABCABCBCAABC 6.1.3 关系1.解2.3.解：4.充分性：设，即存在使 若则但矛盾。故 从而，即据定理 1.3.2（2）有 因此有必要性：设有1.4 等价关系1. 2.证:若为等价关系，则任意所以反之，若，则 任意，有，使，又具有对称性及传递性，所以，从而，即 具有 反身性，故是 中的等价关系
5、。 3.解：令，则中的等价关系为4.解：显然关系 满足反身性，对称性，设即所以即 满足传递性，故为 的等价关系。 1.5 映射 1.（1） ， （2）容易。（3）设 为在上的映射，对任意，存在，使，所以 ，即，由（2）知，故 。反之设对每一，特别地，取有 而故 为在上的映射。 2.证明：（1）（3）：令使得任意是在上的一 一映射，对任意，有习题 5.1（3）知：（3）（2）：定义同上，则是在上的，对任意，由习题 5.1（3）有（2）（4）：因（4）（1）：若不是一一的，则存在使则 矛盾，故是一一映射。 3.证：（1）（2）由定理 1.5.3 立得。（2）（3）利用 5.1（3）来证明（3）（1
6、）因为，所以 是一一的映射，又，所以 是漫射， 因此 是 满的一一映射。 4.解：（1）当，则是在上的，当为单点集，则是一一的。（2）5.解： （1）当时，有。所以是一一映射。 （2）任意，所以（3）因为，所以是定义 1.4.1 中的对 角线. 8.证：（1）因所以为的扩张（限制）（2）若为的扩张，为的扩张，不妨设其中h则所以hggfBA|,|（3）若为的扩张，并且为的扩张，不妨设则fggf，故，从而即同理可证，若为的限制，并且为的限制，则fggfgf 第二章 拓扑空间与连续映射1.证：取，其中，则，2xyz, x yAxy22( , )() ,( , )()22xzzyx zz y，故不是的
7、度量。2()( , )( , )( , )2xyx zz yx yA当时，故它不是度量。( , )0x yxy 2.证：设为度量空间，并且为有限集，只需证明的每一个子集都是开集，因为是有限集，记，则对 中任意一点 ，,( ,) 2B xx即 中所有单点集均为开集。所以的每一个子集都是开集。3.证：（1）设为的任意一个子集，任意取，则，所A1 4以 为开集。（2）设为任一映射，为中任一开集，由（1）知，为的开集，1( )fU所以为连续映射。f4.证：设是的任一开集，由相对于度量而言的连续性的是度量空间 AYf11( )fA中的开集，因等价得是中的开集，即相对度量而言连1(,)X12, 1( )f
8、A 2(,)Xf2续。必要性类似证明。5.证：（1）满足度量的条件 1）2）是显然的，12, 设，121212( ,),(,),( ,)xx xyy yzz zA1112211112222( , )max|,|max|,|x yxyxyxzzyxzzy1122112212max|,|max|,|( , )( , )xzxzzyzyx zz y（2）因为设为中的开集，即任意，存在，使112U2(, )AxU0，由右边不等式，即是的开集。( , )BxU 1( ,)( , )2BxBxUU2 1(,)A反之，设是中的开集，即任意，存在，使得，由U2 1(,)AxU0 1( , )BxU左边不等式即
9、是的开集，因此与 1( ,)( , )2BxBxUU2(, )A2(, )A有相同的开集。同理可证与有相同的开集。2 1(,)A2(, )A2 2(,)A（3）用连续映射的定义来证明。6.先证是连续映射，设 是任意一点，任意，对 m2 12( ,)xx xA0，2 12(,)yy yA因为111221212( , )max|,|max ,max ,| |( )( )|x yxyxyx xy ym xm y故 。即 在 对于 度量 而言是连续的，由于( ( , )( ( ), )m B xB m xm2xA2A1是任意的，从而 对于 的度量 而言连续，由习题 1.5（3）知， 对2xAm2A1m
10、于 的度量 而言连续。同理可证的连续性。2As2 .2 拓扑空间与连续映射1.证：（1）因为，显然是 的一个可数子集，另外，根据定义有X TXXT（2）设如果 和 之中有一个是空集，则 。假定和,A B TABABA都不是空集，这时是的一个可数子集，所以 B()ABABXABT(3). 设令,显然，如果，则12TT21 TT 12A TA TAA 2T，设，任意选取，这时 12A TA TAAT 2T02AT是的一个可数子集，所以 1220()()A TA TA TAAAA X 1A TAT2.证：显然又，任意1,NAT,1,2,.nAT n因此为的拓扑。 111min :, nnATnn A
11、TTTAATTN（2）的唯一的唯一的开邻域为1N1AN3.解：当时，有 4 个拓扑，三个同胚等价类。2n 当时，有个拓扑，个同胚等价类。设，则具体如下：第一类3n 299 , , Xa b c一个：平庸拓扑。第二类一个：离散拓扑。第三类三个：,第四类六个： , aX，等。第五类三个：等，第六类三 , , , ,aa bX , , , ,aa cX , , , ab cX个：等。第七类三个：等。第八类六个： , , , , , aa ba cX , , , , aba bX等。第九类三个：等。 , , , , , , ,aba ba cX , , ,a bX4.解：有限补空间当是有限集时时，故可
12、定义使为离散的(, )X TXT (, )X度量空间。可数补空间当是可数集时时，故可定义使为离(, )X TXT (, )X散的度量空间。5.证：若是离散空间，即，对于上离散度量，由习题得(, )X T2XT X3(1)的每一子集都是度量空间的开集，因此的拓扑是由度量诱导出来的，即X(, )XXT是可度量化得空间。(, )X T6.证：（充分性）是离散的度量空间，的每一个子集均为开集，于是 (, )XXT，即是一个离散空间。(,)X T（必要性） 是离散空间，则。所以 是开集，有中开集(,)X TT x(, )X的定义，存在，使，对任何有 ，显然0x( ,) xB xx,yX yx yx。有
13、，取 ，对任何 有 ，显然 。有 ，取 ，对任何 ( ,)xyB x成立。由离散度量定义得是一个离散度量。7.证：若都是的拓扑，由于，所以；任意12,T TX12,A BT T12, XTT，即,所以，任意即，则12,A BTT12,A BT T12ABTT12,TTT12,TT T12,A TAT T所以，因此是的拓扑。12A TATT12TTX8.仿习题 7 可证。9.证：显然；任意，若中有一个为，显然；若*, XT*,A BT,A B*X*ABT,则 ，故总有；任意，若则,A BT*ABTT*ABT* 1TT* 1XT若，即，也有，故总有， 1* A TAXT* 1XT1TT 1* A TATT 1* A TAT所以为拓扑空间。*(,)XT10.证：（1）设为从拓扑破空间到平庸空间的映射，因为:fXYXY，而为平庸空间，所以中任一开集的原象都是的开集，即11( ),( )ffYXYYX为连续映射。f(2)设为从离散空间到任一拓扑空间的映射，对中每开集，因:fXYXYYU为是离散空间，所以是的开集，即连续。X1( )fUXf12.证：设分别是的两个拓扑，是的一个度量，则，由设是,XYTT,X YXX XXTT
