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1、1,第 8 章 组合变形及连接部分的计算,2,8-1 概 述,构件在荷载的作用下如发生两种或两种以上基本形式的变形，且几种变形所对应的应力（和变形）属于同一数量级，则构件的变形称为组合变形（combined deformation）。,. 组合变形,烟囱(图a)有侧向荷载（风荷，地震力）时发生弯压组合变形。,3,齿轮传动轴（图b）发生弯曲与扭转组合变形（两个相互垂直平面内的弯曲加扭转）。,吊车立柱（图c）受偏心压缩，发生弯压组合变形。,4,两个平面内的弯曲(图d)由于计算构件横截面上应力及横截面位移时，需要把两个平面弯曲的效应加以组合，故归于组合变形。,5,对于组合变形下的构件，在线性弹性范围
2、内且小变形的条件下，可应用叠加原理将各基本形式变形下的内力、应力或位移进行叠加。,在具体计算中，究竟先按内力叠加（按矢量法则叠加）再计算应力和位移，还是先计算各基本形式变形下的应力或位移然后叠加，须视情况而定。,6,.连接件的实用计算,螺栓连接中，螺栓主要受剪切及挤压（局部压缩）。,连接件（螺栓、铆钉、键等）以及构件在与它们连接处实际变形情况复杂。,7,键连接中，键主要受剪切及挤压。,8,工程计算中常按连接件和构件在连接处可能产生的破坏情况，作一些简化的计算假设（例如认为螺栓和铆钉的受剪面上切应力均匀分布）得出名义应力（nominal stress）,然后与根据在相同或类似变形情况下的破坏试验
3、结果所确定的相应许用应力比较，从而进行强度计算。这就是所谓工程实用计算法（engineering method of practical analysis）。,9,具有双对称截面的梁，它在任何一个纵向对称面内弯曲时均为平面弯曲。,8-2 双对称截面梁在两个相互垂直平面内的弯曲,故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向外力作用时，在线性弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。,10,图示悬臂梁 x 截面上的弯矩和任意点C处的正应力为：,由于水平外力F1 由于竖直外力F2,弯曲正应力,弯 矩 My(x)=F1 x Mz(x)=F2 (x-a
4、),11,在F1和F2共同作用下x 截面上C 点处的正应力为,12,利用上式固然可求算x 截面上任意点处的弯曲正应力，但对于图中所示那类横截面没有外棱角的梁，由于My 单独作用下最大正应力的作用点和Mz 单独作用下最大正应力的作用点不相重合，所以还不好判定在My和Mz共同作用下最大正应力的作用点及其值。,13,注意到在F1 作用下x 截面绕中性轴y 转动，在F2 作用下x 截面绕中性轴z 转动,可见在F1和F2共同作用下，x 截面必定绕通过y 轴与z 轴交点的另一个轴转动，这个轴就是梁在两个相互垂直平面内同时弯曲时的中性轴，其上坐标为y、z的任意点处弯曲正应力为零。,14,故有中性轴的方程：,
5、中性轴与y轴的夹角q（图a）为,其中j 角为合成弯矩与y的夹角。,15,这就表明，只要 IyIz ，中性轴的方向就不与合成弯矩M的矢量重合，亦即合成弯矩M 所在的纵向面不与中性轴垂直，或者说，梁的弯曲方向不与合成弯矩M 所在的纵向面重合。正因为这样，通常把这类弯曲称为斜弯曲（oblique bending）。,16,确定中性轴的方向后，作平行于中性轴的两直线，分别与横截面的周边相切，这两个切点（图a中的点D1、D2）就是该截面上拉应力和压应力为最大的点。从而可分别计算水平和竖直平面内弯曲时这两点的应力，然后叠加。,17,对于如图b所示横截面具有外棱角的梁，求任何横截面上最大拉应力和最大压应力时
6、，可直接按两个平面弯曲判定这些应力所在点的位置，而无需定出中性轴的方向角q。,工程计算中对于实体截面的梁在斜弯曲情况下，通常不考虑剪力引起的切应力。,18,对于图示悬臂梁，试问：,4. 该梁自由端的挠度（大小和方向）如何计算？,2. 在固定端处梁的中性轴又大致在什么方向？,3. 在固定端和F2作用截面之间，梁的中性轴的方向是否随横截面位置变化？,1. 外力F2作用截面处梁的中性轴在什么方向？,思考:,19,1. 首先将斜弯曲分解为两个平面弯曲的叠加,一般生产车间所用的吊车大梁,两端由钢轨支撑,可以简化为简支梁,如图示.图中l4m。大梁由32a热轧普通工字钢制成，许用应力160MPa。起吊的重物
7、重量F80kN，且作用在梁的中点，作用线与y轴之间的夹角5，试校核吊车大梁的强度是否安全。,20,2. 确定两个平面弯曲的最大弯矩,3. 计算最大正应力并校核强度,查表：,4. 讨论,吊车起吊重物只能在吊车大梁垂直方向起吊，不允许在大梁的侧面斜方向起吊。,21,图a所示悬臂梁，由20a号工字钢制成，梁上的均布荷载集度为q (N/m)，集中荷载为 。试求梁的许用荷载集度q。已知：a =1 m; 20a号工字钢：Wz=23710-6 m3，Wy=31.510-6 m3；钢的许用弯曲正应力s =160 MPa。,例题 8-1,22,1. 将集中荷载F 沿梁横截面的两个对称轴y、z分解为,例题 8-1
8、,解:,23,2. 梁的计算简图如图b所示，并分别作水平弯曲和竖直弯曲的弯矩My图和Mz 图（图c ,d）。,例题 8-1,24,3. 分析梁的危险截面，并求smaxA截面上My最大，MyA=0.642 qa2,该截面上Mz虽不是最大，但因工字钢WyWz ，故A截面是可能的危险截面，MzA=0.226qa2。 D 截面上Mz 最大：,故D 截面也是可能的危险面。为确定危险截面，需比较A截面和D 截面上的最大弯曲正应力。,例题 8-1,25,由于 ，可见A截面为危险截面。由图e可见A截面上的外棱角D1和D2处分别为sc,max和st,max 。,例题 8-1,26,根据强度条件 ，有（21.51
9、0-3)q 160106 Pa,4. 求许可荷载集度q。,于是 q=7.44103 N/m =7.44 kN/m,解得,例题 8-1,27,8-3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形,. 横向力与轴向力共同作用,图a为由两根槽钢组成的杆件，受横向力F和轴向力Ft作用时的计算简图，该杆件发生弯曲与拉伸的组合变形。,28,轴向拉力会因杆件有弯曲变形而产生附加弯矩，但它与横向力产生的弯矩总是相反的，故在工程计算中对于弯一拉组合变形的构件可不计轴向拉力产生的弯矩而偏于安全地应用叠加原理来计算杆中的应力。,29,至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有杆的弯曲刚
10、度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内工作时才可应用叠加原理。,30,图a所示发生弯一拉组合变形的杆件，跨中截面为危险截面，其上的内力为FN=Ft， 。该横截面上与轴力FN对应的拉伸正应力st为均匀分布(图b)， ，而与最大弯矩Mmax对应的弯曲正应力在上、下边缘处(图c)，其绝对值。,31,在FN 和Mmax共同作用下，危险截面上正应力沿高度的变化随sb和st的值的相对大小可能有图d 、e 、f 三种情况。危险截面上的最大正应力是拉应力：,注意到危险截面最大拉应力作用点（危险点）处为单向应力状态，故可把st,max直接与材料的许用正应力进行比较来建立强度条件。,32,图a所示折杆ACB由两根钢
11、管焊接而成，A和B处为铰支座，C 处作用有集中荷载F=10 kN。试求折杆危险截面上的最大拉应力和最大压应力。已知钢管的外直径D =140 mm，壁厚d =10 mm。,例题 8-2,33,1. 约束力为FA=FB=5 kN。折杆的受力图如图b所示。,根据对称性，只需分析折杆的一半，例如AC杆。将FA分解为沿AC 杆轴线和垂直于AC轴线方向上的两个分力FAx和FAy 。,例题 8-2,解:,34,由图a所示的几何关系，可见sina =3/5 ，cosa=4/5， FAx = FA sina=3kN和 FAy= FA cosa = 4 kN。AC杆的长度为2m，m-m截面上的内力分别为,FN=-
12、FAx=-3 kN,Mmax=FAy2m= 8 kNm,可见此杆产生弯、压组合变形。,例题 8-2,35,2. AC杆危险截面m-m上的最大拉应力st,max和最大压应力sc,max分别发生在该截面的下边缘f点处和上边缘g点处(图b)，其计算公式分别为,例题 8-2,36,3. 钢管横截面的几何性质分别为,例题 8-2,37,4. 将FN 和Mmax以及A和W的值代入式(a)得,例题 8-2,38,II.偏心拉伸(压缩),偏心拉伸或偏心压缩是指外力的作用线与直杆的轴线平行但不重合的情况。,图a所示等直杆受偏心距为e 的偏心拉力F 作用，杆的横截面的形心主惯性轴为y轴和z轴。,39,(1) 偏心
13、拉(压)杆横截面上的内力和应力,将偏心拉力F向其作用截面的形心O1简化为轴向拉力F和力偶矩Fe，再将该力偶矩分解为对形心主惯性轴y和z的分量Mey和Mez(图b及图c)：,Mey=Fe sina =FzF , Mez=Fe cosa =FyF,40,由于Mey和Mez作用在包含形心主惯性轴的纵向面内，故引起的都是平面弯曲。可见偏心拉伸（压缩）实为轴向拉伸（压缩）与平面弯曲的组合，且当杆的弯曲刚度相当大时可认为各横截面上的内力相同。,41,图c所示任意横截面n-n上的内力为,FN=F，My=Mey=FzF，Mz=Mez=FyF,横截面上任意点C ( y, z ) 处的正应力为,(b),42,在工
14、程计算中，为了便于分析一些问题，常把惯性矩Iy和Iz写作如下形式：,上列式中的iy和iz分别称为截面对于y轴和z轴的惯性半径(radius of gyration)，其单位为m或mm；它们也是只与截面形状和尺寸有关的几何量截面的几何性质。于是式(b)亦可写作,(c),上式是一个平面方程，它表明偏心拉伸时杆的横截面上的正应力按直线规律变化。,43,现在来确定横截面绕着转动的中性轴的位置。设中性轴上任意点的坐标为y0、z0，以此代入式(c)并令s =0可得中性轴的方程,(2) 偏心拉(压)杆横截面上中性轴的位置,可见，偏心拉伸时中性轴为一条不通过横截面形心的直线（图a）。,44,而中性轴在形心主惯
15、性轴y、z上的截距（图b）为,或,由此还可知，中性轴与偏心拉力作用点位于截面形心的相对两侧。,45,(3) 横截面上危险点的位置,对于没有外棱角的截面，为找出横截面上危险点的位置，可在确定中性轴位置后作平行于中性轴的直线使与横截面周边相切(图b)，切点D1和D2分别就是最大拉应力和最大压应力的作用点，根据它们的坐标即可确定最大拉应力和最大压应力的值。,横截面有外棱角的杆件受偏心拉伸时，危险点必定在横截面的外棱角处。,(b),46,它们叠加后的应力则如图d，图中还示出了中性轴的位置。,例如，矩形截面杆受偏心拉力F作用时,其横截面上分别对应于轴力F，弯矩My=FzF和Mz=FyF的正应力变化规律如
16、图a、b、c所示；,47,由此式还可以看出，如果偏心距e(亦即yF ，zF)较小，则横截面上就可能不出现压应力，亦即中性轴不与横截面相交。,最大拉应力st,max和最大压应力sc,max 作用在外棱角D1和D2处，其值为,48,试求图示杆件横截面上的最大拉应力和最大压应力。外力F与杆件的轴线平行。,(a),例题8-3,49,轴向外力F未通过横截面形心，故杆件为偏心拉伸。,1. 确定横截面形心的位置,横截面的形心C必位于对称轴z上，只需计算形心C距参考轴y1的距离z(图a)。,例题8-3,(a),解:,50,形心主惯性矩Iy为,由于z轴为对称轴，且y、z轴的交点过形心，故图c中y轴和z轴的为形心主惯性轴。,2. 确定形心主惯性轴，并求形心主惯性矩,例题8-3,51,
