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1、考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点六,返回目录,1.等差数列的前n项和公式是采用 方法推导的，等比数列的前n项和公式是用 方法推导的. 2.数列an的前n项和Sn与an的关系为an= . 3.求数列的前n项和，一般有下列几种方法： （1）等差数列的前n项和公式：,倒序相加,乘公比错位相减,S1(n=1) Sn-Sn-1(n2),. （2）等比数列的前n项和公式： 当q=1时，Sn= ; 当q1时，Sn= = . （3）拆项求和： 把一个数列分成几个可以直接求和的数列. （4）裂项相消： 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.,返回目录,（5）
2、错位相减： 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. （6）倒序相加： 例如，等差数列前n项和公式的推导方法. （7）自然数求和公式有： 1+2+n= ; 12+22+n2= .,返回目录,返回目录,根据数列an的通项公式，求其前n项和Sn. （1）an=10n-1;（2）an=n(n+1).,【分析】 若数列为等差数列、等比数列，或能转化为等差、等比数列，或转化为能用其他公式的，用公式法求和.,考点一 公式法求和,返回目录,【解析】（1）Sn=a1+a2+an=（101+102+10n）- n= （2）Sn=a1+a2+an =（12+1）+（22+2）+（n2+n） =(
3、12+22+n2)+(1+2+n) = n(n+1)(n+2).,在数列求和中，常用的公式有： （1）等差数列：na1 q=1q1.（3） 1+2+n= （4） 12+22+n2= n(n+1)(2n+1).,返回目录,（2）等比数列: Sn=,对应演练,已知数列log2(an-1),nN*为等差数列,且a1=3,a3=9. （1）求数列an的通项公式； （2）证明:,返回目录,(1) 设等差数列log2(an-1)的公差为d.由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28,即d=1.所以log2(an-1)=1+(n-1)1=n,即an=2n+1. (2) 证明:因为 ，
4、,返回目录,所以, ,返回目录,【分析】所给数列为倒数构成的数列,故应研究通项,看能否拆为两项之差的形式,以便使用裂项相消法.,【解析】,考点二 裂项相消求和,求数列 ,的前n项和.,返回目录,(1)裂项法求和时消项的规律具有对称性,即前剩多少项后就剩多少项;前剩第几项,后就剩倒数第几项.(2)常见的裂项公式有: ； ；nn！=（n+1）！-n！； ！= ！- ！；, ,返回目录,返回目录,对应演练,设数列an的前n项和为Sn，点(n， )(nN*)均在函数y=3x-2的图象上. （1）求数列an的通项公式； （2） ，Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn 对所有nN*都成立的最小正整数m.,
5、（1）依题意得 =3n-2，即Sn=3n2-2n.当n2时，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-3(n-1)2-2(n-1)=6n-5；当n=1时，a1=S1=312-21=1=61-5,an=6n-5(nN*).,返回目录,（2）由(1)得bn= 故Tn=b1+b2+bn因此，使得 (nN*)成立的m必须满足 ,即m10.故满足要求的最小正整数m为10.,返回目录, ,返回目录,求和:,【分析】分析通项an= 知, 为等比数列,其系 数构成数列n成等差数列,故可用错位相减法.,考点三 错位相减法求和,【解析】当a=1时,Sn=1+2+3+n= ; 当a1时, 两边同乘 ,得 得, 即 综
6、上所述,得(a=1)(a1).,返回目录,Sn=,如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项的乘积组成,则求此数列的前n项和Sn,一般用乘以其公比然后再添加不可缺少的式子错位相减法,要注意对字母的讨论.,返回目录,返回目录,对应演练,设数列an的前n项和为Sn=2n2,bn为等比数列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1. （1）求数列an和bn的通项公式； （2）设cn= ，求数列cn的前n项和Tn.,（1）当n=1时，a1=S1=2； 当n2时，an=Sn-Sn-1=2n2-2（n-1）2=4n-2. 故an的通项公式为an=4n-2， 即an是首项a1=2，公差d=4的等
7、差数列. 设bn的公比为q，则b1qd=b1，d=4，q= . 故bn=b1qn-1=2 ， 即bn的通项公式为bn= .,返回目录,返回目录,（2）cn= =（2n-1）4n-1，Tn=c1+c2+cn=1+341+542+（2n-1）4n-1，4Tn=14+342+543+（2n-3）4n-1+（2n-1）4n.两式相减得3Tn=-1-2（41+42+43+4n-1）+（2n-1）4n = （6n-5）4n+5.Tn= （6n-5）4n+5.,返回目录,求和: （1）Sn=1+11+111+111;（2） Sn=(x+ )2+(x2+ )2+(xn+ )2.,考点四 拆项法求和,n个,返回
8、目录,【分析】 (1)写出数列的通项公式an= (10n-1)，分 析通项可知，可转化为一个等比数列 10n 和 常数列 的求和问题.（2）分析通项公式an=(xn+ )2=(xn)2+( )2+2，可转化为两个等比数列x2n， 与常数列2的求 和问题.,【解析】（1）an= (10n-1), Sn=1+11+111+111= (10-1)+(102-1)+(10n-1) = (10+102+10n)-n = =,n个,返回目录,返回目录,(2)an=x2n+2+ ,当x1时, Sn=(x+ )2+(x2+ )2+(xn+ )2 =(x2+x4+x2n)+2n+( + + ) = = 当x=1
9、时，Sn=4n.,如果数列an的通项an可写成an=bncn,而bn,cn是等差或等比数列或其前n项和可求,那么数列an的前n项和就可转化为bn与cn前n项和的和差问题.,返回目录,对应演练,求和：11+103+1 005+10 007+10n+(2n-1).,an=10n+2n-1, 原式=(10+102+10n)+2(1+2+n)-n = +n(n+1)-n = +n2.,返回目录,返回目录,考点五 倒序相加法求和,设函数f(x)= 的图象上有两点P1(x1,y1),P2(x2,y2), 若OP= (OP1+OP2)，且点P的横坐标为 . (1)求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
10、(2)若 nN*，求Sn.,【分析】本题考查指数式运算及倒序相加法数列求和.,返回目录,【解析】 (1)OP= (OP1+OP2),P是P1P2的中点,x1+x2=1.y1+y2=f(x1)+f(x2)= yp= (y1+y2)= .,返回目录,(2)由(1)知x1+x2=1,f(x1)+f(x2)=y1+y2=1,f(1)=2- ,又Sn=f( )+f( )+f( )+f( ), Sn=f( )+f( )+f( )+f( ), 两式相加得： 2Sn=f(1)+ + + + f(1)= 2 f(1)+1+1+1= n+3-2,返回目录,如果一个数列an与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和
11、，可采用把正着写和倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和，进而求出数列前 n项和 ，这 就是倒序相加法.,设f（x）= ，求f（-5）+f（-4）+f（0） +f（5）+f（6）的值.,对应演练,返回目录,f（1-x）+f（x） = = 设S=f(-5)+f(-4)+f（5）+f（6）, 则S=f（6）+f（5）+f（-4）+f（-5）. 两式相加得2S=12 ,S= .,返回目录,考点六 数列求和的其他方法,已知Sn为数列an的前n项和，且Sn=2an+n2-3n-2，n=1，2，3，. （1）求证：数列an-2n为等比数列； （2）设bn=ancosn,求数列bn的前n项和Pn.,【分析】在bn中，n取奇数、偶数时，bn的表示 形式不同，因此，应分n为奇数、偶数讨论.,返回目录,【解析】（1）证明：令n=1，则S1=2a1+1-3-2， a1=4. 又Sn=2an+n2-3n-2 则Sn+1=2an+1+（n+1）2-3（n+1）-2 由-得an+1=2an+1-2an+2n-2, 即an+1=2an-2n+2， an+1-2（n+1）=2(an-2n), 即 ,又a1-2=2， an-2n是以2为首项，2为公比的等比数列.,
