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1、随机变量的数字特征 与极限定理,第五章,在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.,然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.,第一讲 数学期望,因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 .,这一讲，我们先介绍随机变量的数学期望.,在这些数字特征中，最常用的是,数学期望和方差,一、离散型随机变量的数学期望,1、概念的引入：,某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢
2、？,某电话交换台每天8:00-9:00收到的呼叫数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值即该交换台每天8:00-9:00收到的平均呼叫数呢？,我们来看第一个问题.,若统计100天,例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？,32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品;,可以得到这100天中 每天的平均废品数为,这个数能否作为 X的平均值呢？,可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一
3、定是1.27.,n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品.,可以得到n天中每天的平均废品数为,(假定小张每天至多出三件废品),一般来说,若统计n天,这是以频率为权的 加权平均,由频率和概率的关系,不难想到，在求废品数X 的平均值时，用概率代替 频率，得平均值为,这是以概率为权的 加权平均,这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变量X的平均值 .,这样做是否合理呢？,我们采用计算机模拟.,不妨把小张生产中出废品的情形用一个球箱模型来描述:,有一个箱子，里面装有10个大小，形状完全相同的球，号码如图.,规定从箱中任意取出一个球，记下球上的号码
4、，然后把球放回箱中为一次试验.,记X为所取出的球的号码(对应废品数) . X为随机变量，X的概率分布列为,下面我们用计算机进行模拟试验.,输入试验次数(即天数)n,计算机对小张的生产情况进行模拟,统计他不出废品，出一件、二件、三件废品的天数n0,n1,n2,n3 , 并计算,与,进行比较.,下面我们一起来看计算机模拟的结果.,则对X作一系列观察(试验)，所得X的试验值的平均值也是随机的.,由此引入离散型r.vX的数学期望的定义如下:,对于一个随机变量，若它可能取的值是X1,X2, , 相应的概率为 p1,p2, ,但是，如果试验次数很大，出现Xk的频率会接近于pk，于是可期望试验值的平均值接近
5、,定义1 设X是离散型随机变量，它的概率分布列是: P(X=Xk)=pk , k=1,2,也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.,如果 发散，则X的数学期望不存在。,EX的物理意义：表示一维离散质点系的重心坐标,例2 某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望.,解: 设试开次数为X,P(X=k)= 1/n , k=1,2,n,E(X),于是,例3 (01分布) 设X的分布列为,求EX,解:,EX0 ( 1p )1 p p,解:,二、连续型随机变量的数学期望,设X
6、是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在数轴上取很密的分点x0 x1x2 ,则X落在小区间xi, xi+1)的概率是,小区间xi, xi+1),阴影面积 近似为,小区间Xi, Xi+1),由于xi与xi+1很接近, 所以区间xi, xi+1)中的值可以用xi来近似代替.,这正是,的渐近和式.,阴影面积 近似为,该离散型r.v 的数学期望是,由此启发我们引进如下定义.,定义2 设X是连续型随机变量，其密度函数 为 f (x),如果,有限,定义X的数学期望为,也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.,EX物理意义：以f(x)为密度的一维连续质点系的重心坐标。,解:,解:,解:,
7、解:,故 EX不存在。,若XU a, b,即X服从a, b上的均匀分布,则,若X服从,若X服从参数为,由随机变量数学期望的定义，不难计算得：,若XB( 1, P )则 EX=P 若X E()则 若X服从几何分布，则,这意味着，若从该地区抽查很多个成年男子，分别测量他们的身高，那么，这些身高的平均值近似是1.68.,已知某地区成年男子身高X,三、随机变量函数的数学期望,1. 问题的提出：,设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？,如何计算随机变量函数的数学期望?,一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，
8、它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来.,使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的 .,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得Eg(X)呢？,下面的基本公式指出，答案是肯定的.,类似引入上述E(X)的推理，可得如下的基本公式:,设X是一个随机变量，Y=g(X)，则,当X为离散型时,P(X= xk)=pk ; 当X为连续型时,X的密度函数为f(x).,该公式的重要性在于: 当我们求Eg(X)时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.
9、,将g(X)特殊化，可得到各种数字特征:,其中 k 是正整数.,例1.设X的分布列为,求,解：,例2. 设公共汽车起点站在每小时的10分，30分， 50分发车，一位不知发车时间的乘客，每 小时内到达车站的时间是随机的，求该乘客 在车站等车的数学期望。,解：,设每小时内乘客到达车站的时间为X， 等车时间为Y.,设(X, Y)是二维随机变量, Z=g( X, Y )，则,当( X, Y )是离散型时：分布列为,当( X, Y )是连续型时：联合概率密度为f(x, y),由此可知：已知( X, Y )的联合概率密度f(x, y), 可以求EX，EY,即,四、数学期望的性质,1. 设C是常数，则E(C
10、)=C;,4. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);,2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X);,3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);,（诸Xi独立时）,注意:由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y独立,五、数学期望性质的应用,例1 求二项分布的数学期望,若 XB(n,p)，,则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数.,现在我们来求X的数学期望 .,可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np.,XB(n,p),若设,则 X= X1+X2+Xn,= np,i=1,2，n,因为 P(Xi =1)= p,P(Xi =0)= 1-p,所以 E
11、(X)=,则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数.,例2 把数字1,2,n任意地排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望.,由于 E(Xk)=P(Xk =1),解: 设巧合个数为X,k=1,2, ,n,则,故,引入,下面我们给出数学期望应用的一个例子.,合理验血问题,请看演示,这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：,方差,上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,但是
12、在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.,第二讲 方差,例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：,若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？,测量结果的均值都是 a,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近,又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .,为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.,这个数字特征就是我们这一讲要介绍的,方差,一、方差的定义,采用平方是为了保证一切
13、 差值X-E(X)都起正面的作用,由于它与X具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用.,方差的算术平方根 称为标准差,若X的取值比较分散，则方差较大 .,若方差D(X)=0,则r.v X 以概率1取常数值 .,方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 .,若X的取值比较集中，则方差较小；,D(X)=EX-E(X)2,X为离散型， P(X=xk)=pk,由定义知，方差是随机变量X的函数 g(X)=X-E(X)2的数学期望 .,X为连续型， Xf(x),二、计算方差的一个简化公式,D(X)=E(X2)-E(X)2,展开,证：D(X)=EX-E(X)2,=EX2-2XE(X)+E(X)2,=
14、E(X2)-2E(X)2+E(X)2,=E(X2)-E(X)2,利用期望 性质,请自己用此公式计算常见分布的方差.,例1. 设XP(), 求DX.,EX=,解：,例2.设XUa, b 求DX,解：,例3.设 求DX,解：,若XB（1，P）则 DX=pq 若XP（）则DX= 若XU a, b 则,若XN（,2）则DX=2,若XE（）则,例4 设r.v X服从几何分布，概率分布列为,P(X=k)=p(1-p)k-1, k=1,2,，n,其中0p1,求D(X),解：,记q=1-p,求和与求导 交换次序,无穷递缩等比 级数求和公式,D(X)=E(X2)-E(X)2,+E(X),三、方差的性质,1. 设
15、C是常数,则D(C)=0;,2. 若C是常数,则D(CX)=C2 D(X);,3. 若X1与X2 独立，则 D(X1+X2)= D(X1)+D(X2);,可推广为：若X1,X2,Xn相互独立,则,X1 与X2不一定独立时， D(X1 +X2 )=？ 请思考,4. D(X)=0 P(X= C)=1， 这里C=E(X),下面我们用一例说明方差性质的应用 .,例5 二项分布的方差,设XB(n,p), 则X表示n重贝努里试验中的 “成功” 次数 .,故 D(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2,E(Xi)=P(Xi=1)= p,E(Xi2)= p,则 是n次试验中“成功” 的次数,= p- p2= p
16、(1- p),于是,i=1,2，n,D(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2 = p- p2= p(1- p),由于X1,X2,Xn相互独立,= np(1- p),这一讲，我们介绍了随机变量的方差.,它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的一个数字特征 .,下一讲，我们将介绍刻划两r.v间线性相关程度的一个重要的数字特征：,相关系数,前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是本讲要讨论的,协方差和相关系数,第三讲协方差和 相关系数、矩,任意两个随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y), 定义为, Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y),
