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1、1,级数,函数项级数的微积分性质,2,函数项级数的微积分性质,函数项级数的连续性 函数项级数积分换序(逐项积分) 函数项级数的可微性(逐项求导) 若必要,为了记号上的简单,仍以为区间的情形来叙述相关的结果,3,函数项级数的连续性,设unC(). 如果un在上一致收敛,则函数在上连续. 证明 这是极限定理的直接推论#,4,函数项级数逐项积分(I),设unL().|0, 使得当nN时,5,逐项积分(I)证明(续),因此由|0, 连接x-hek和x+hek 的线段L含在内,则对于yL,由微积分基本定理,10,逐项求导(I)的证明(续1),注意un/xk在L上一致收敛,因此,11,逐项求导(I)的证明
2、(续2),即注意un/xk在L上是yk的连续函数,由微积分 基本定理就得到结果#,12,函数项级数逐项求导(II),设开, un在上有偏导数un/xk, un 在上处 处收敛,un/xk在上一致收敛, 则,13,逐项求导(II)的证明,为记号简单考虑一维情况,取定x,由开, 存在0, L=x-,x+, 设|h|0,由dun/dx在L上一致收敛, N,nN, m0,因此当nN,m0时,15,逐项求导(I)的证明(续2),由极限定理,16,导函数列或级数不一致收敛的反例,考虑函数列： 其极限函数：导数函数列： 其极限函数：导函数列在(0,)上不一致收敛：,17,级数定义的函数例1,Riemann的(Zeta)函数: 在(0,)上有任意阶导数. 解：只要证明0, 在1+,)上都一致收敛就够了(习题)#,18,级数定义的函数例2,Riemann的函数的积分形式: 解：只要利用几何级数和Levi定理就够了,
