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1、第一节 n 阶行列式的定义,一、二阶行列式,其中元素 aij 的第一个下标 i 为行指标，第二个下标 j 为列指标。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。,为方便记,主对角线,副对角线,例如,二、三阶行列式,可用下面的对角线法则记忆,例1,解,按对角线法则，有,例2 证明,证明：,中，6项的行下标全为123，而列下标分别为,在三阶行列式,123，231，312 此三项均为正号 132，213，321 此三项均为负号,为了给出n 阶行列式的定义，下面给出全排列及其逆序数的概念及性质。,三、全排列及其逆序数,定义 由1，2， ，n 组成的有序数组称为一个n级全排列。记为 j1 j2 jn.
2、,例如 32541 是一个5级全排列83251467是一个8级全排列,3级全排列的全体共有6种，分别为 123，231，312，132，213，321,n级全排列的种数为,定义 在一个排列 中，若数则称这两个数组成此排列的一个逆序。,例如 排列 32514 中,我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序。,排列的逆序数,3 2 5 1 4,定义 一个排列 j1 j2 jn 中所有逆序的总数称为此排列的逆序数。记为 （ j1 j2 jn ）如果 （ j1 j2 jn ）为偶数，则称此排列为偶排列。如果 （ j1 j2 jn ）为奇数，则称此排列为奇排列。注：
3、（ j1 j2 jn ）= 0 时，为偶排列。,3 2 5 1 4,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为 ( 32541)=3+1+0+1+0=5.,例如 排列 32514 中,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个 元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.,计算排列逆序数的方法,例1 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,此排列为偶排列.,解,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,逆序数的性质,定理1 下列结论成立,定理2 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,例如：因为 ，所以2314是偶排列。将 3，4互换，其他元素不动得新
4、的排列2413，而 ，所以2413是奇排列。,推论1,奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.,证明,由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此,知推论成立.,定理3 时，n个元素的所有排列中，奇排列和偶排列的个数相等，各为,例如在前面的三级排列中，总数为6， 奇偶排列各为3个， 奇排列为132，213，321， 偶排列为123，231，312,四、n阶行列式的定义,三阶行列式,说明,（1）三阶行列式共有 6 项，即 项,（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,
5、偶排列,奇排列,（3）当每一项行指标排列均为123时，这一项的正负号取决于列指标排列的奇偶性，偶排列带正号，奇排列带负号。,定义,其中 为行标排列 的逆序数.,阶行列式也可定义为,事实上,按行列式定义有,记,对于D中任意一项,总有且仅有 中的某一项,与之对应并相等;,反之,对于 中任意一项,也总有且仅有D中的某一项,与之对应并相等,于是D与,中的项可以一一对应并相等,从而,其中 是两个 级排列，为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和.,更一般的我们有:,说明,1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;,2、 阶行列式是 项的代数和;,3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;,4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,5、 的符号为,例1 计算对角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零，,所以 只能等于 ,同理可得,解,即行列式中不为零的项为,例2 计算上三角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,例3,同理可得下三角行列式,例4 证明对角行列式,证明,第一式是显然的,下面证第二式.,若记,则依行列式定义,证毕,例5,设,证明,证,由行列式定义有,由于,所以,故,
