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1、电路方程的矩阵形式,本章重点,重点,关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩阵和基本割集矩阵的概念结点电压方程,返 回,1.网络图论,图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。,下 页,上 页,电路的图,返 回,2.电路的图,一个元件作为一条支路,元件的串联及并联组合作为一条支路,有向图,下 页,上 页,返 回,图的定义(Graph),G=支路，结点,电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。,图中的结点和支路各自是一个整体。,移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在，因此允许有孤立结点存在。,如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。,下
2、 页,上 页,结论,返 回,从图G的一个结点出发沿着一些支路连续移动到达另一结点所经过的支路构成路径。,(2)路径,(3)连通图,图G的任意两结点间至少有一条路径时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。,下 页,上 页,返 回,(4)子图,若图G1中所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是G的子图。,树(Tree),T是连通图的一个子图且满足下列条件：,连通 包含所有结点 不含闭合路径,下 页,上 页,返 回,树支：构成树的支路,连支：属于G而不属于T的支路,树支的数目是一定的,连支数：,不是树,树,对应一个图有很多的树,下 页,上 页,明确,返 回,回路(Loop),L是连通图的
3、一个子图，构成一条闭合路径，并满足：(1)连通，(2)每个结点关联2条支路。,不是回路,回路,2）基本回路的数目是一定的，为连支数；,1）对应一个图有很多的回路；,3）对于平面电路，网孔数等于基本回路数。,下 页,上 页,明 确,返 回,基本回路(单连支回路),支路数树支数连支数 结点数1基本回路数,结点、支路和基本回路关系,基本回路具有独占的一条连支,下 页,上 页,结论,返 回,例,图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。,下 页,上 页,注意,网孔为基本回路。,返 回,15.1 割集,下 页,上 页,割集Q,连通图G中支路的集合，具有下述性质： 把Q中全部支路移去，图分成二个
4、分离部分。 任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。,割集：(1 9 6) (2 8 9) (3 6 8) (4 6 7) (5 7 8),(3 6 5 8 7) , (3 6 2 8)是割集吗？,问题,返 回,基本割集,只含有一个树枝的割集。割集数n-1,连支集合不能构成割集。,下 页,上 页,注意,属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。当一个割集的所有支路都连接在同一个结点上，则割集的KCL方程变为结点上的KCL方程 。,返 回,下 页,上 页,注意,对应一组线性独立的KCL方程的割集称为独立割集 ，基本割集是独立割集，但独立割集不一定是单树支割集。,返 回,15.2 关联矩阵、回路矩阵
5、、割集矩阵,图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：,下 页,上 页,1. 图的矩阵表示,返 回,下 页,上 页,2. 关联矩阵A,用矩阵形式描述结点和支路的关联性质。n个结点b条支路的图用nb的矩阵描述：,每一行对应一个结点，每一列对应一条支路。,矩阵Aa的每一个元素定义为：,注意,ajk=1 支路 k 与结点 j 关联，方向背离结点；,ajk= -1 支路 k 与结点 j 关联，方向指向结点；,ajk =0 支路 k 与结点 j 无关。,返 回,下 页,上 页,例,特点,每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，Aa的每一列元素之和为零。,
6、-1 -1 1 0 0 0,0 0 -1 -1 0 1,1 0 0 1 1 0,0 1 0 0 -1 -1,矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1行是独立的。,返 回,下 页,上 页,降阶关联矩阵A,特点,A的某些列只具有一个+1或一个1，这样的列对应与划去结点相关联的一条支路。被划去的行对应的结点可以当作参考结点。,返 回,下 页,上 页,关联矩阵A的作用,用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程；,设:,以结点为参考结点,n-1个独立方程,矩阵形式的KCL: A i = 0,返 回,下 页,上 页,用矩阵AT表示矩阵形式的KVL方程。,设:,返 回,下 页,上 页,2. 回路矩阵B
7、,独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。,注意,每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路。,矩阵B的每一个元素定义为：,1 支路 j 在回路 i 中，且方向一致；,-1 支路 j 在回路 i中，且方向相反；,0 支路 j 不在回路 i 中。,返 回,下 页,上 页,例,取网孔为独立回路，顺时针方向,给定B可以画出对应的有向图。,注意,基本回路矩阵Bf,独立回路对应一个树的单连枝回路得基本回路矩阵Bf,返 回,支路排列顺序为先连支后树支，回路顺序与连支顺序一致。,下 页,上 页,连支电流方向为回路电流方向；,规定,例,选 2、5、6为树，连支顺序为1、 3 、 4 。,= 1 Bt ,
8、返 回,下 页,上 页,回路矩阵B的作用,用回路矩阵B表示矩阵形式的KVL方程；,设,l个独立KVL方程,矩阵形式的KVL： B u = 0,返 回, Bf u = 0,ul+Btut=0,ul= - Btut,设：,连支电压可以用树支电压表示。,用回路矩阵BT表示矩阵形式的KCL方程,下 页,上 页,注意,独立回路电流,返 回,下 页,上 页,矩阵形式的KCL： B T il = i ,注意,树支电流可以用连支电流表出。,返 回,下 页,上 页,3. 基本割集矩阵Qf,割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，这里主要指基本割集矩阵。,注意,每一行对应一个基本割集, 每一列对应一条支路.,矩阵
9、Q的每一个元素定义为：,1 支路 j 在割集 i 中，且与割集方向一致；,-1 支路 j 在割集 i中，且与割集方向相反；,0 支路 j 不在割集 i 中。,返 回,下 页,上 页,规定,割集方向为树支方向； 支路排列顺序先树支后连支； 割集顺序与树支次序一致。,基本割集矩阵Qf,例,选 1、2、3支路为树,Q1: 1, 4, 5 Q2: 2, 5, 6 Q3: 3, 4 , 6,返 回,下 页,上 页,基本割集矩阵Qf的作用,用基本割集矩阵Qf表示矩阵形式的KCL方程。,设,返 回,矩阵形式的KCL： Qf i =0,下 页,上 页,n-1个独立KCL方程,返 回,设树枝电压（或基本割集电压
10、）：,ut= u1 u2 u3 T,用QfT表示矩阵形式的KVL方程,矩阵形式的KVL： Qf Tut =u,下 页,上 页,返 回,连支电压可以用树支电压表示。,下 页,上 页,注意,小结,A i =0,B T il =i,ul= - Btut,Bu=0,Qfi=0,QT ut=u,返 回,15.4 回路电流方程的矩阵形式,反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。,1.复合支路,下 页,上 页,规定标准支路,返 回,下 页,上 页,复合支路特点,支路的独立电压源和独立电流源的方向与支路电压、电流的方向相反；,支路电压与支路电流的方向关联；,支路的阻抗（或导纳）只
11、能是单一的电阻、电容、电感，而不能是它们的组合。,返 回,复合支路定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。,下 页,上 页,注意,返 回,下 页,上 页,返 回,2.支路阻抗矩阵形式,电路中电感之间无耦合,下 页,上 页,如有b条支路，则有：,返 回,设,Z=diagZ1 Z2Zb,支路电流列向量,支路电压列向量,电压源的电压列向量,电流源的电流列向量,下 页,上 页,阻抗矩阵,返 回,整个电路的支路电压、电流关系矩阵：,bb阶对角阵,下 页,上 页,返 回,3.回路电流方程的矩阵形式,回路电流il (b-n+1)1阶,下 页,上 页,支路方程：,返 回,回路电压
12、源向量,回路阻抗阵，主对角线元素为自阻抗，其余元素为互阻抗。,回路矩阵方程,下 页,上 页,返 回,从已知网络，写出,回路分析法的步骤：,下 页,上 页,小结,返 回,例,下 页,上 页,用矩阵形式列出电路的回路电流方程。,解,做出有向图，选支路1，2，5为树枝。,返 回,下 页,上 页,把上式各矩阵代入回路电流方程的矩阵形式,返 回,写出图示电路支路电压、电流关系矩阵：,例,解,有互感时的阻抗矩阵形式,一般情况,有电压控制的电压源时的阻抗矩阵形式,例,控制源在第I条支路，则第I行； 控制量在第J条支路，则第J列; 若是CCVS,AIIJ则ZIJ=A,1.支路导纳矩阵形式,下 页,上 页,15
13、.5 结点电压方程的矩阵形式,电路中不含互感和受控源,返 回,下 页,上 页,返 回,bb阶对角阵,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,电路中电感之间有耦合,返 回,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,电路中有受控电源,返 回,下 页,上 页,返 回,考虑b个支路时：,下 页,上 页,若：,返 回,下 页,上 页,若：,返 回,KCL,下 页,上 页,2.结点电压方程的矩阵形式,支路方程：,KVL,返 回,结点导纳阵,独立电源引起的流入结点的电流列向量,下 页,上 页,返 回,结点分析法的步骤,第一步：把电路抽象为有向图,下 页,上 页,小结,返 回,第二步：形成矩阵A,下 页,上 页
14、,第三步：形成矩阵Y,第四步：形成US、IS,US= -5 0 0 0 0 0 T,IS=0 0 0 -1 3 0 T,返 回,第五步：用矩阵乘法求得结点方程,下 页,上 页,返 回,例,下 页,上 页,用矩阵形式列出电路的结点电压方程。,解,做出有向图,返 回,下 页,上 页,注意g的位置,返 回,代入,下 页,上 页,返 回,15-6.割集矩阵分析法,以树支电压为未知量,用导纳表示的支路方程,割集导纳矩阵，主对角线元素为相应割集各支路的导纳之和，总为正；其余元素为相应两割集之间共有支路导纳之和。,割集电流源向量,割集矩阵方程,选定一个树，写出,割集分析法的步骤：,例,下 页,上 页,以运算形式列出电路的割集电压方程的矩阵形式。,解,做出有向图，选支路1，2，3为树枝。,1 2 3 4 5,返 回,下 页,上 页,把上式各矩阵代入割集电压方程的矩阵形式,返 回,
