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1、第七章 平面体系的几何组成分析,7-0几何构造分析的,7-1 几何构造分析的几个概念,7-2 几何不变体系的组成规律,第七章 平面体系的几何构造分析,本章的主要内容：,1、几何构造分析的几个概念(1)几何不变体系和几何可变体系；(2)自由度；(3)约束；(4)多余约束；(5)瞬变体系；(6)瞬铰。2、几何不变体系的四个组成规律,为什么对体系进行几何构造分析？一个结构要能承受荷载，首先它的几何构造应当合理，它本身应该是稳定的，应该能够使其几何形状保持不变。反之，如果一个体系本身站不住，则它是不能承受任何荷载的，更谈不上进行内力计算。因此，在进行内力分析之前，我们要先进行几何构造分析。在几何构造分
2、析中，最基本的规律是三角形规律。规律本身是简单浅显的，但规律的运用则变化无穷。因此，学习本章时遇到的困难不在于学懂，而在于运用。,几何构造分析的一个主要目的就是要检查并设法保证结构的几何不变性。一般结构都必须是几何不变体系，而不能采用几何可变体系。,1、几何不变体系和几何可变体系几何不变体系：在不考虑材料应变的条件下，位置和形状都不发生改变的体系。几何可变体系：在不考虑材料应变的条件下，位置或形状发生改变的体系。注：结构受荷载作用时，截面上产生应力，材料因而产生应变。由于材料的应变，结构就会产生变形。这种变形一般是很小的。在几何构造分析中，我们不考虑这种由于材料的应变所产生的变形。这样，杆件体
3、系可以分为以上两类。,7-1-2 几何构造分析的几个概念,即：对于几何不变体系而言，体系的内部和外部都具有足够的联系(约束)；而对于几何可变体系而言，体系的内部和(或)外部缺少足够的联系(约束)。,判断一个体系是否几何不变，涉及到体系的“自由度”。自由度：是指一个体系运动时可以独立改变的坐标的数目。,刚片：是指可以作为刚体的物体。刚体：几何形状和尺寸都不变的物体。所以研究刚片上的两点连线的转动即代表了刚片的转动。,*2、自由度,(1)平面上的一点，具有两个自由度(xA , yA) 。(2)平面上的一个刚片，具有三个自由度(xB , yB , )。,一般：n个独立的运动方式=n个自由度,*3、约
4、束 (联系)约束是对运动的阻止。(1)支承条件(外部约束),一个滚轴支座=1个约束,一个铰支座=2个约束,一个固定支座=3个约束,一个定向支座=2个约束,(2)内部约束(杆件之间的联系),讨论：平面上的两个刚片的连接。两刚片共有6个自由度。用一根链杆连接，减少一个自由度。确定它们的位置需要5个坐标参数。即：一根链杆=1个约束, 用一铰连接，减少两个自由度。用四个坐标即可确定其位置。,即：一个单铰=2个约束, 用刚结点连接，减少三个自由度。用三个坐标即可确定其位置。,即：一个刚结点=3个约束,多余约束：如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此而减少，则此约束称为多余约束。,*4、多余
5、约束,若再增加一根链杆，三根链杆也只能减少两个自由度，所以有一根是多余的。问题是哪一根是多余的呢？,讨论：将一个点固定在刚片(基础)上。点A有两个自由度，只需两个约束就可以了。用、不共线两根链杆固定，则A点的位置被确定。,瞬变体系是几何可变体系的一种特例。首先需清楚：瞬变体系不能作为结构使用，这尤其需要引起工程界的重视。瞬变体系的三个特点：(1)从微小运动看是一个可变体系具有自由度；(2)经微小位移后成为不变体系瞬变体系；(3)具有多余约束是暂时的。,5、瞬变体系,微小移动后，两圆弧由相切变相交，位移停止，此时，体系由可变成为不可变，多余约束成为有效约束。从瞬变体系具有多余约束这一特点来说，其
6、具有超静定结构的性质；从静力学方面来说，在荷载作用下它的解是不唯一的。,分析：C点的自由度，C点在平面内具有两个自由度，用两杆连接，仍可绕A、B 两点作圆弧运动，两圆弧在C点具有公切线，C点能暂时上下运动，故具有一个自由度。同时说明体系此时具有一个多余约束。,讨论：平面上一刚片用两根链杆固定于基础上的情况；或两刚片之间用两根链杆连接的情况。固定刚片，刚片相对于刚片产生转动，其转动是绕AB、CD两链杆轴线的交点O发生的。O点称为瞬时转动中心。可以想象，当刚片的位置发生变化时，交点O也随之改变。从瞬时的微小运动来看，两链杆的约束作用相当于在两链杆轴线的交点O处的一个铰所起的约束作用。这种铰称为瞬铰
7、。,6、瞬铰,7-2 几何不变体系的组成规律,一、四个基本组成规律1、一个点与一个刚片的联结(图a),实际上是将一个点固结于刚片或基础上。通过前面一个点的自由度和多余约束的讨论，可以得出规律1。,规律1：一个刚片与一个点用两根链杆联结，且三个铰(A、B、C)不共线，则组成无多余约束的几何不变体系。,2、两个刚片之间的联结(图b),将图a中的一根链杆AB作为刚片，成为两刚片之间的联结，可得出规律2。规律2：两刚片用一个铰和一根链杆联结，且链杆不通过铰的中心，则组成无多余约束的几何不变体系。,3、三个刚片之间的联结(图c),将图a中的两根链杆作为两个刚片(、)，则有图示体系，可得出规律3。,规律3
8、：三个刚片用三个铰两两相连，且三铰不共线，则组成无多余约束的几何不变体系。,上述三条规律虽然表述方式不同，但实际上可归纳为一个基本规律：如果三个铰不共线，则一个铰结三角形的形状是不变的，而且没有多余约束。这个基本规律可叫做三角形规律。,在上述三条规律中，如果把图a、b、 c 中的刚片 看作基础，则规律1说明一个点的固定方式，规律2说明一个刚片的固定方式，规律3说明两个刚片的固定方式。讨论：我们知道：两根链杆的约束作用相当于一个瞬铰的约束作用。因此三角形规律中的每一个铰，都可用相应的两根链杆来替换。这样，三角形规律还可用别的方式来表述。,提出的问题：什么情况下，才能组成几何不变体系？ 当两刚片用
9、三根链杆联结时，有六种情况发生，即： 三根链杆中有两杆形成实铰，且第三杆不通过该铰中心；,两个刚片用三根链杆联结,三杆中有两杆形成虚铰，且第三杆不通过虚铰中心；, 三杆相交于一点，形成实铰；,三杆延长线相交于一点，形成虚铰；,三根链杆平行且等长；,三根链杆平行不等长。,通过以上分析，可得如下规律。规律4：两个刚片用三根链杆相连，且三根链杆不交于同一点，则组成无多余约束的几何不变体系。,三个刚片之间的联结,我们知道：三个刚片用三个不共线的铰两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。当不符合上述规律时，有六种情况发生，即：,当三个铰共线时，则为几何瞬变体系 ；,6根链杆两两形成实铰，三铰不共线，则体
10、系几何不变，且无多余约束；,6根链杆两两形成虚铰，三铰不共线，则体系几何不变，且无多余约束；,6根链杆形成一个实铰和无穷远处的两个虚铰，三铰不共线，则体系几何不变，且无多余约束；,6根链杆形成一个实铰和一个虚铰，而这两个铰的连线与另外两根链杆平行，则体系几何瞬变；,6根链杆形成三个无穷远铰，数学上可证明三铰共线，故体系几何瞬变；,通过以上分析，可知规律3可叙述为：三刚片用不共线的三个铰(实铰或虚铰)两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。,上述四个基本组成规律可归结为三种基本装配格式：(1)简单装配格式-固定一个结点的装配格式用不共线的两根链杆将结点固定在基本刚片上。(2)联合装配格式-固定一
11、个刚片的装配格式,用不共线的铰和链杆，或用不共点的三个链杆将一个刚片固定在基本刚片上。,(3)复合装配格式-固定两个刚片的装配格式用不共线的三个铰将两个刚片固定在基本刚片上。装配方式通常有两种：(1)从基础出发进行装配(图a、b、c)。,(2)从内部刚片出发进行装配。,二、基本组成规律的应用1、对已给的体系进行几何组成分析；2、利用基本组成规律构成几何不变体系。 在此，主要介绍第一方面的内容。方法1：寻找构造单元这种方法主要依据前述的两种装配方式，在此不再赘述。,方法2：利用约束的等效代换,(1) 复杂形状(曲线、折线等)链杆可用直链杆代替；,(2) 联结两刚片的两根链杆，可用其交点处的瞬铰代
12、替。,(3) 排除二元体方法体系中若局部有不共线的两根链杆联一铰结点于主体，则此局部称为“二元体”。分析体系时，可以先排除“二元体”，然后分析主体部分的几何构造；若主体部分几何不变，则整个体系几何不变。,例 对图示体系进行几何组成分析。,举例：,2、将刚片与刚片用D铰和C点的链杆联结，符合规律2，扩大为刚片；3、将刚片与刚片(AB杆联结，同理可得整体；4、结论：该体系是无多余约束的几何不变体系。,5、讨论,(1) 若从体系的左边部分开始，则找不到第一个构造单元，此时可采用“排除二元体”的方法进行分析。(2) 从右边开始，我们可以利用三个刚片的联结规律寻找第一个构造单元(与前面同)，其后的分析同
13、前。,解：若从地基开始，无法找到第一个构造单元。可先由内部开始，利用三角形规律组成刚片、。这三个刚片用三个铰两两相联，且三铰不共线(规律3)，组成内部不变部分。,例 对图示体系进行几何组成分析。,这个不变部分(无多余约束)与地基用1、2、3三根链杆联结(规律2)，组成无多余约束的几何不变的整体。,例 对图示体系进行几何组成分析。,解：利用排除二元体的方法。依次撤除二元体1、2，3、4，5、6，7、9，8、12，10、11，最后，只剩下基础(两个铰支座与基础相联，可看作整个基础)。显然，整个体系几何不变，且无多余约束。,例对图示体系进行几何组成分析。,解：将BD、EC两杆和大地分别作为刚片、。分
14、析此三刚片之间的联结。、之间用杆BC和杆DE在无穷远处形成的虚铰(，)联结；、之间用杆FE和杆CG在无穷远处形成的虚铰(，)联结；,、用杆BA和杆DA构成的实铰A联结。利用规律3，得出结论：整个体系是无多余约束的几何不变体系。,例 分析图示体系的几何构造。,例 分析图示体系的几何构造(内部可变度问题)。,7-4 静定与静不定问题的概念,当：未知量数目独立方程数目时，是静定问题（可求解）未知量数目独立方程数目时，是静不定问题（超静定问题）,例 物体受平面汇交力系作用, 物体受平面平行力系作用,静不定问题在变形体力学（材力,结力,弹力）中，除列出静力学平衡方程外，还需考虑变形谐调条件，列出补充方程来联合求解。, 物体受平面一般力系作用,第七章结束,
