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1、1本题得分 评卷人第五届全国中学生数理化学科能力展示活动 九年级数学解题技能展示试题解答试卷说明：试卷说明：1、本试卷共计 15 题，满分为 120 分2、考试时间为 120 分钟一、选择题一、选择题（共（共 6 6 小题，每题小题，每题 6 6 分，共分，共 3636 分）分）1、初三毕业时必做的一件事是照毕业照，某校初三两个班的学生和教师共 100 人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少得梯形队阵（排数 n3） ，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡，那么满足上述要求的方案有（ B ）种.A. 1； B. 2； C. 4； D.
2、0 解：设第一排有 m 人，则第 n 排有(m-n+1) 人，所以m(m-n+1)n=100,21n(2m-n+1)=200, 因 m-n+11，所以 mn, （2m-n+1）-n=2(m-n)+11 又200=450=540=825=1020 所以：n=4, 2m-n+1=50; n=5, 2m-n+1=40; n=8, 2m-n+1=25; n=10, 2m-n+1=20. 经验证：符合要求的为:n=5,m=22;n=8,m=16.2、 化简：得（ D ） 22312523A.1； B. +2； C. +1； D. 2+1.222解： =22312523) 12(12523= = =212
3、1723)223(23249=2+1.23、在某海防观测站的正东方向 12 海里处有 A、B 两艘船相会之后，船以每小时海里的速度往南航行，船则以每小时海里的速度向北漂流则观测站及、两船恰成一个直角三角形需要的时间是（ C ）.A. 1h; B. 1.5h; C.2h; D. 4h. 解： 设观测站及、两船恰成一个直角三角形需要的时间为 xh. 则 122=12x3x ,x=2总分24、在 35 的棋盘上，一枚棋子每次可以沿水平或者垂直方向移动一个小格，但不可以 沿任何斜对角线移动.从某些待定的格子出发，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次， 但不必回到原来出发的小方格上.在这 15 个小方格中
4、，则可作为这枚棋子出发的小方格 个数为（ B ）个. A. 6； B. 8； C. 9； D. 10. 解：（ 1）从四个顶点所在的格子中的任意一个出发，都可以，如从A 格出发：同理从 E、K、O 都可以作为起点，一共有4 个起点；（2）C 作为起点，如下图：同理 M 也可以作为起点，一共有2 个起点；（3）I 格出发，可以不重复走完全程：同理从 G 出发也可以走完全程不重复，有2 个起点4+2+2=8（个） ；答：有 8 个小方格可以作为这个棋子的起点故答案为： 8 5、工地上竖立着两根电线杆AB、CD规定，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D，B、
5、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆.以下说法正确的是（ ） A. 钢丝绳 AD 与 BC 的交点离地面的高度是 3.6 米；B. AED 的面积是CBF 的面积的一半；C. P 点离地面的高度与 AB、CD 之间的相距无关；D. EF 长度的 2 倍与CBF 的周长相等.解：作 PQBD 于 Q，设 BQ=x 米，QD=y 米，PQ=h 米，3本题得分 评卷人ABPQCD， PQ:AB=QD:BD,PQ:CD=BQ:BD 即 h:4=y:(x+y) ,h:6=x:(x+y) 两式相加得 5h/12=1 由此得 h=2.4 米即点 P 离地面的高度为 2.4 米故答案为：2.4（注：由上述解法知
6、，AB、CD 之间相距多远，与题目结论无关）6、定义符号 yx表示与自变量 x 所对应的函数值.例如对于函数 y=x2-2x+4,当 x=2 时，对应的函数值 y=4,则可以写为：y2=4.在二次函数 y=ax2+bx+c 中，若 yt+1=y-t+1,对任意实数 t 都成立，那么下列结论错误的是（ B ）.A. y0=y2 B. y-1y1 C. y4y3 D. y2y1解：yt+1=y-t+1， 抛物线对称轴为 x=(t+1)+(-t+1)2=1，a0，抛物线开口向上， 横坐标为 1 的点为顶点，最低，y-1y1， 故选 B 由 yt+1=y-t+1，根据抛物线对称性得出抛物线对称轴，根据
7、横坐标为-1，1 两点离对称轴的 距离，判断 y-1，y1的大小 二、填空题：二、填空题：（共（共 6 6 小题，每题小题，每题 8 8 分，共分，共 4848 分）分）7、某种温度度量制摄氏度(C)和华氏度(F)存在如下关系：x/C02035100115y/F326895212239请根据以上数据列计算华氏 14 度是_-10_C,摄氏 38 度是_100.4_F.解：设 y=kx+b,把 x=0,y=32;x=20,y=68 代人解得：b=32,k=1.8.经验证，其余三组数据 均符合 y=1.8x+32. 所以当 y=14 时，x=-10; 当 x=38 时，y=100.4; 8、如右图
8、，在平面直角坐标系 XOY 中，多边形 OABCDE 的顶点坐标分别是 O（0,0） ， A（0，6） ，B（4,6） ，C（4,4） ，D（6,4） ，E（6,0）.若直线 l 经过点 M（2,3） ，且将多边 形 OABCDE20 分割成面积相等的两部分，则直线 l 与线段 DE 的交点坐标是_(6,5/3)_.4解：设直线 L: y=kx+b 由题可知 k 在 0 到 3/2 之间则设直线 y=kx+b 与 Ao 交点为（0，m）与 DE 的交点（6，n）且又知道直线 L 平分多边形面积则必有（m+n）6/2=(46+2x4)/2所以 m+n=16/3,又(0，m）、（6，n）、（2,3
9、）均在直线上，所以b=m,6k+b=n,2k+b=3,解之得：n=5/3.9、小王 2000 年初从银行贷款 100 万元创业，年利率为 5%，规定每年底还当时欠款总和的10%，但要在第 10 年底把所有欠款还清.请问第 10 年底小王要还 63 万元（结果保留整数）.解：（1）第 1 年底欠款总和为 100（1+5%）（2）第 2 年底欠款总和为 100（1+5%）2（1-10%）（3）第 3 年底欠款总和为 100（1+5%）3（1-10%）2（4）第 4 年底欠款总和为 100（1+5%）4（1-10%）3（10）第 10 年底欠款总和为 100（1+5%）10（1-10%）96310、
10、The two digits in Jacks age are the same as the digits in Bills age,butin reverse order.In five years Jack will be twice as old as Bill will be then.What is the difference in their current ages?_18_.解：译文：杰克和比尔的年龄的两个数字是一样的,但顺序相反。杰克在五年内将比尔年长一倍。他们现在年龄的差异是什么?设杰克年龄为 10x+y,比尔年龄为 10y+x,则则10x+y+5=2(10y+x+5)
11、8x=19y+5, y 为奇数，经检验只有为奇数，经检验只有 y=1，x=3 符合题意。符合题意。他们现在年龄的差异=10x+y-（10y+x）=9（x-y）=18.11、设，.为一群圆，其作法如下：是半径为 a 的圆，在 的圆内5作 4 个相等的圆，每个圆和1都内切，且相邻的两个圆均外切，再在每一个圆中，用同样的方法作四个相等的圆3，依次类推作出4，5，6，则(1) 圆的半径的长等于 （用 a 表示） ；（2）圆k的半径的长为 （k 为正整数，用 a 表示，不必证明）.解：（1）连接 AB、BC、CD、AD，AC，设小圆的半径是 r，根据圆与圆相切，得到 AC=2a-2r，根据正方形的性质和
12、勾股定理得到 AC= 2r，推出方程 2a-2r=2r，求出r=(-1)a.（2）求出 r=（ -1）a，r3=（-1）r= (-1)2a，得出圆 Ck的半径为 rk=（ -1 ）k-1 a 即可12、已知 x1,x2,x40都是正整数，且 x1+x2+x40=58，若 x12+x22+x402的最大值为 A，最小值为 B，则 A+B 的值等于 494 .解：显然 4 = 1 + 3 = 2 + 2 而 12 + 32 22 + 22 根据此原理： X1+X2+X3+X40 最小时，当且仅当 X1到 X40中，除了 1 外，要有最多的 2。设有 Y 个 2，则 2Y + (40 - Y) =
13、58，最多有 Y = 18 个 2 . 所以 B = 1822 + (40-18)12 = 94 . 当 X1+X2+X3+X40最大时，当且仅当 X1到 X40中有 1 个数取到最接近 58 的值。显 然最多有 39 个 1 时。剩余 1 个数最大是 58 - 39 = 19所以 A = 192 + 391 = 400 所以 A+B=494 三、解答题613.某出租车公司买了每辆价值 2a 元的出租车投入运营，由调查得知：每辆出租车每年客 运收入约为 a 元，且每辆客车第 n 年的油料费、维修费及其他各种管理费用总和 P（n）与 年数 n 成正比，又知第三年每辆出租车以上费用是该年客运收入的
14、 48%.（1）写出每辆出 租车运营的总利润（客运收入扣除总费用及其成本）y（元）与 n 的函数关系式.（2）每辆 出租车运营多少年可使其运营的年平均利润最大？ 解：(1)因为 P（n）与年数 n 成正比，设 P（n）=kn 当 n=3 时，P(n)=48%a=3k,，所以 k=0.16a，P（n）=0.16an 所以运营 n 年后的总费用为：P（1）+P（2）+P（n）=0.16a(1+2+n)=0.08an(n+1) 所以 y=na0.08an(n+1)2a= 0.08a(n211.5n+25) (2)运营 n 年平均利润为 y/n=0.08a(n211.5n+25)/n=0.08a(n+
15、25/n11.5) n+25/n225=10，当且仅当 n=25/n，即 n=5 时等号成立. 每辆出租车运营 5 年可使其运营的年平均利润最大。 年平均最大利润=0.08a(1011.5)= 0.12a.14.沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的 4 个数 a、b、c、d 满足(a-d)(b-c)0,那 么就可以交换 b、c 的位置，这称为一次操作。 （1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作 后，对圆周上任意依次相连的4 个数 a，b，c，d，都有（ a-d） （b-c）0？请 说明理由 （2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003 个正整数 1，2，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4 个数 a，b，c，d，都有（ a-d） （b-c）0？请说明理由解：（ 1）答：能具体操作如下：（2）答：能 理由：设这 2003 个数的相邻两数乘积之和为P 开始时， P0=12+23+34+20022003+20031， 经过 k（k0）次操
