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1、1第一讲 注意添加平行线证题在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重 要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证 明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1 1、为了改变角的位置、为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用 这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.例例1 1 、设P、Q为线段BC上两点,且BPCQ,A为BC外一动点(如图1).当点A运动到使BAPCAQ时,ABC是什么三角形？试证明你的结论.答： 当点A运
2、动到使BAPCAQ时,ABC为等腰三角形.证明：如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA.在DBPAQC中,显然DBPAQC,DPBC.由BPCQ,可知DBPAQC.有DPAC,BDPQAC.于是,DABP,BAPBDP.则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故ABDP.所以ABAC.这里,通过作平行线,将QAC“平推”到BDP的位置.由于A、D、B、P四点共圆,使证 明很顺畅.例例2 2、如图2,四边形ABCD为平行四边形,BAFBCE.求证：EBAADE. 证明：证明：如图2,分别过点A、B作ED、EC的平行线,得交点P,连PE.由AB CD,易知PBA
3、ECD.有PAED,PBEC.显然,四边形PBCE、PADE均为平行四边形.有BCEBPE,APEADE.由BAFBCE,可知BAFBPE.有P、B、A、E四点共圆.于是,EBAAPE.所以,EBAADE.这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆,紧密联系起来.APE成为EBA与ADE相等的媒介,证法很巧妙. 2 2、欲、欲“送送”线段到当处线段到当处利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平 行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.例例3 3、在ABC中,BD、CE为角平分线,P为ED上任意一点.过P分别作AC、AB、BC的
4、垂线,M、N、Q为垂足.求证：PMPNPQ.证明：证明：如图3,过点P作AB的平行线交BD于F,过点F作BC的ADBPQC图1PEDGABFC图2A N EBQKG CDMFP图32平行线分别交PQ、AC于K、G,连PG.由BD平行ABC,可知点F到AB、BC两边距离相等.有KQPN. 显然,可知PGEC.PDEP FDEF GDCG由CE平分BCA,知GP平分FGA.有PKPM.于是,PMPNPKKQPQ.这里,通过添加平行线,将PQ“掐开”成两段,证得PMPK,就有PMPNPQ.证法非 常简捷. 3 3 、为了线段比的转化、为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线
5、段成比例”,在一些问题中,可以 通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的. 例例4 4 设M1、M2是ABC的BC边上的点,且BM1CM2.任作一直线分别交AB、AC、AM1、AM2于P、Q、N1、N2.试证：.APAB AQAC11 ANAM22 ANAM证明：证明：如图4,若PQBC,易证结论成立. 若PQ与BC不平行,设PQ交直线BC于D.过点A作PQ的平行线交直线BC于E.由BM1CM2,可知BECEM1EM2E,易知 ,.APAB DEBE AQAC DECE11 ANAM DEEM122 ANAM DEEM2则.APAB AQAC DECEBE D
6、EEMEM2111 ANAM22 ANAM所以,.APAB AQAC11 ANAM22 ANAM这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE,于是问 题迎刃而解. 例例5 5、 AD是ABC的高线,K为AD上一点,BK交AC于E,CK交AB于F.求证：FDAEDA.证明：证明：如图5,过点A作BC的平行线,分别交直线DE、DF、BE、CF于Q、P、N、M. 显然,.有BDAMDCAN. (1)ANBD KAKD AMDC由,有AP. (2)BDAP FBAF BCAM BCAMBD由,有AQ. (3)DCAQ ECAE BCAN BCANDCAPEDCM2M1BQ
7、N1N 2图4图5MPAQNFBDCEK3对比(1)、(2)、(3)有APAQ.显然AD为PQ的中垂线,故AD平分PDQ.所以,FDAEDA.这里,原题并未涉及线段比,添加BC的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP与AQ的相等关系显现出来. 4 4、为了线段相等的传递、为了线段相等的传递当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等 的关系传递开去. 例例6 6 在ABC中,AD是BC边上的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且MDN90.如果BM2CN2DM2DN2,求证：AD2(AB2AC2).41证明：证明：如图6,过点B作A
8、C的平行线交ND延长线于E.连ME.由BDDC,可知EDDN.有BEDCND. 于是,BENC.显然,MD为EN的中垂线.有 EMMN.由BM2BE2BM2NC2MD2DN2MN2EM2,可知BEM为直角三角形,MBE90.有ABCACB ABCEBC90.于是,BAC90.所以,AD2(AB2AC2).221BC41这里,添加AC的平行线,将BC的以D为中点的性质传递给EN,使解题找到出路.例例7 7、如图7,AB为半圆直径,D为AB上一点,分别在半圆上取点E、F,使EADA,FBDB.过D作AB的垂线,交半圆于C.求证：CD平分EF. 证明：证明：如图7,分别过点E、F作AB的垂线,G、H
9、为垂足,连FA、EB.易知DB2FB2ABHB,AD2AE2AGAB.二式相减,得DB2AD2AB(HBAG),或 (DBAD)ABAB(HBAG).于是,DBADHBAG,或 DBHBADAG.就是DHGD.显然,EGCDFH.故CD平分EF.这里,为证明CD平分EF,想到可先证CD平分GH.为此添加CD的两条平行线EG、FH,从而得到G、H两点.证明很精彩.经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线 的平行直线上截得的线段也相等.如图8,三直线AB、AN、AC构成一组直线束,DE是与BC平行的直线.于是,有 图6ANCDEBMAGD O HBFC E图
10、74,即 或.BNDM ANAM NCME BNDM NCME MEDM NCBN此式表明,DMME的充要条件是 BNNC. 利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮. 例例8 8 如图9,ABCD为四边形,两组对边延长后得交点E、F,对角线BDEF,AC的延长线交EF于G.求证：EGGF.证明：证明：如图9,过C作EF的平行线分别交AE、AF于M、N.由BDEF,可知MNBD.易知 SBEFSDEF.有SBECSKG *5DFC.可得MCCN. 所以,EGGF.例例9 9 如图10,O是ABC的边BC外的旁切圆,D、E、F分别为O与BC、CA、AB的切点.若OD与EF相交于K,求
11、证：AK平分BC.证明：证明：如图10,过点K作BC的行平线分别交直线AB、AC于Q、P两点,连OP、OQ、OE、OF.由ODBC,可知OKPQ. 由OFAB,可知O、K、F、Q四点共圆,有FOQFKQ.由OEAC,可知O、K、P、E四点共圆.有EOPEKP.显然,FKQEKP,可知FOQEOP.由OFOE,可知RtOFQRtOEP.则OQOP.于是,OK为PQ的中垂线,故 QKKP.所以,AK平分BC.综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线 ,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用. 练练 习习 题题1. 四边形ABCD中,ABCD,M、N分别为AD
12、、BC的中点,延长BA交直线NM于E,延长CD交直线NM于F.求证：BENCFN.(提示：设P为AC的中点,易证PMPN.)2. 设P为ABC边BC上一点,且PC2PB.已知ABC45,APC60.求ACB.(提示：过点C作PA的平行线交BA延长线于点D.易证ACDPBA.答：75)3. 六边形ABCDEF的各角相等,FAABBC,EBD60,SEBD60cm2.求六边形ABCDEF 的面积.(提示：设EF、DC分别交直线AB于P、Q,过点E作DC的平行线交AB于点M.所求面积与EMQD面积相等.答：120cm2)图8ADBNCE M图9AB MEFNDCGAOEPCBFQK图1054. AD
13、为RtABC的斜边BC上的高,P是AD的中点,连BP并延长交AC于E.已知AC:ABk.求AE:EC.(提示：过点A作BC的平行线交BE延长线于点F.设BC1,有ADk,DCk2.答：)211 k 5. AB为半圆直径,C为半圆上一点,CDAB于D,E为DB上一点,过D作CE的垂线交CB于F.求证：.(提示：过点F作AB的平行线交CE于点H.H为CDF的垂心.)DEAD FBCF6. 在ABC中,A:B:C4:2:1,A、B、C的对边分别为a、b、c.求证：a1 b1.(提示：在BC上取一点D,使ADAB.分别过点B、C作AD的平行线交直线CA、BA于c1点E、F.)7. ABC的内切圆分别切
14、BC、CA、AB于点D、E、F,过点F作BC的平行线分别交直线DA、DE于点H、G.求证：FHHG.(提示：过点A作BC的平行线分别交直线DE、DF于点M、N.)8. AD为O的直径,PD为O的切线,PCB为O的割线,PO分别交AB、AC于点M、N.求证：OMON.(提示：过点C作PM的平行线分别交AB、AD于点E、F.过O作BP的垂线,G为垂足.ABGF.)第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关 性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路. 1 1、挖掘隐含的辅助圆解题、挖掘隐含的辅助圆解题有些问题
15、的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅 助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆 例例1 1 如图1,在ABC中,ABAC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点且BED2CEDA.求证：BD2CD.ABGCD FE图16分析：关键是寻求BED2CED与结论的联系.容易想到作BED的平分线,但因BEED,故不能直接证出BD2CD.若延长AD交ABC的外接圆于F,则可得EBEF,从而获取.证明：证明：如图1,延长AD与ABC的外接圆相交于点F,连结CF与BF,则BFABCAABCAFC,即BFDCFD.故BF:CFBD:DC.又BEFBAC,BFEBCA,从而FBEABCACBBFE.故EBEF. 作BEF的平分线交BF于G,则BGGF.
