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1、本章检测本章检测(时间 90 分钟,满分 100 分)一、选择题一、选择题(每小题 3 分,共 36 分)1有一个奇数列 1,3,5,7,9,现在进行如下分组:第一组含一个数1;第二组含两个数3,5;第三组含三个数7,9,11;第四组含四个数13,15,17,19;试观察每组内各数之和与其组的编号数 n 有什么关系（ ）A. 等于 n2B. 等于 n3C. 等于 n4D. 等于 n(n1)2设十人各拿水桶一只同到水龙头前打水，设水龙头注满第 i(i=1,2,10)个人的水桶需时 Ti分钟,假设这些 Ti各不相同,当水龙头只有一个可用时,应如何安排他(她)们的接水次序,使他(她)们的总的花费时间
2、(包括等待时间和自己接水所花的时间)为最少（ ）A. 从 Ti中最大的开始,按由大到小的顺序排队B. 从 Ti中最小的开始,按由小到大的顺序排队C. 从靠近诸 Ti平均数的一个开始,按依次小取一个大取一个的摆动顺序排队D. 任意顺序排队接水的总时间都不变3对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面各正三角形的什么位置（ ）A. 各正三角形内的点B. 各正三角形的某高线上的点C. 各正三角形的中心D. 各正三角形外的某点4如下图为某旅游区各景点的分布图,图中一支箭头表示一段有方向的路,试计算顺着箭头方向,从 A 到 H 有几条不同的旅游路线可走（ ）A. 1
3、5B. 16C. 17D. 185凡自然数是整数,4 是自然数,所以 4 是整数,以上三段论推理（ ）A. 正确B. 推理形不正确C. 两个“自然数”概念不一致D. 两个“整数”概念不一致6设数列an满足 an1=an2nan1,n=1,2,3,a1=2,通过求 a1、a2、a3猜想 an的一个通项公为（ ）A. n1B. nC. n2D. n17已知 aR,不等 x2,x3,可推广为 xn1,则 a 的值为（ x12x2nxa）A. 2nB. n2C. 22(n1)D. n8设 a0,b0,则以下不等中不恒成立的是（ ）A. (ab)()4B. a3b32ab2b1 a1C. a2b222a
4、2bD. bab)-(a9已知 ab0,且 ab=1,若 0c1,p=logc,q=logc()2,则 p、q 的大小 2ba22 ba1关系是（ ）A. pqB. pqC. p=qD. pq10从 1=1,14=(12),149=123,14916=(1234),归纳出（ ）A. 14916(n)2=(1)n121)n(n B. 14916(1)n1n2=(1)n121)n(n C. 14916(1)nn2=(1)n1v21)-n(nD. 14916(1)n1n2=(1)n21)-n(n11设 n 为正整数,f(n)=1,计算得 f(2)=,f(4)2,f(8),f(16)21 31 n1
5、23 253,f(32),观察上述结果,可推测出一般结论（ ）27A. f(2n)B. f(n2)21x2 22n C. f(2n)D. 以上都不对22n 12.已知函数 f1(x)=,fn1(x)=f1fn(x)(n=1,2,3,),f2 002(x)是（ ）1x1x2 A. xB.C.D. xx1 x11 x1二、填空题二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)13用反证法证明“形如 4k3 的数（kN*）不能化为两整数的平方和”时，开始假设结论的反面成立应写成_.14若记号“*”表示求两个实数 a 与 b 的算术平均数的运算，即 a*b=,则两边均含2ba 有运算符号“*”和“”，且对于
6、任意 3 个实数，a、b、c 都能成立的一个等可以是_.(写出一个即可).15已知两个圆:x2y2=1与 x2(y3)2=1,则由减去可得上述两圆的对称轴方程,将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为:_.三、解答题三、解答题(共 49 分)16(9 分)证明是无理数.617(10 分)通过计算可得下列等:2212=211,3222=221,4232=231,(n1)2n2=2n1.将以上各等两边分别相加得(n1)212=2(12n)n,即 123n=.21)n(n (1)类比上述求法,请你求出 122232n2的值
7、.(2)根据上述结论试求 123252992的值.18(10 分)设an是集合an|an=2t2s,0st,且 s、tZ中的所有的数从小到大排列成的数列,即 a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12,.将数列an各项按照上小下大,左小右大的原则写成如下三角形数表:35 69 10 12_ _ _ _ _ _ _ _(1)写出这个三角形数表的第四行、第五行各数;(2)求 a100.19(10 分)是否存在常数 C,使得不等C对任意正y2xy yx2x yx2y y2xx 数 x、y 恒成立?试证明你的结论.20(10 分)在ABC 中,余弦定理可叙述为a2=b2c22bcc
8、osA. 其中a、b、c依次为角 A、B、C 的对边,类比以上定理,给出空间四面体性质的猜想.参考答案1 解析：解析：1=13；35=8=23，7911=27=33，13151719=64=43，猜想第 n组各数之和等于 n3.答案：答案：B2 解析：解析：若直接想象 10 人的排队情况太复杂了，可尝试从研究简单特例入手，然后归纳、类比一般规律排序问题的规律.考虑 2 个人排队情形，记 2 个人为 A、B，装水所用时间为 1、2 分钟，则有两种排队顺序.(1)按先 A 后 B：总费时为 1（12）=4（分钟）.(2)按先 B 后 A：总费时为 2（21）=5（分钟）.再考察 A、B、C 3 人
9、排队，装水时间分别为 1、2、3 分钟的情形，六种情况逐一考察于是猜想，从 Ti最小的开始，由小到大顺序接水最省时.答案：答案：B3 解析：解析：应为各正三角形的中心.答案：答案：C4 解析：解析：这是图论中的一个问题，如果一条一条的去数，由于道路错综复杂，哪些已算过，哪些没有算过就搞不清了，所以我们换一条思路，用分析法来试试.要到 H 点，需从 F、E、G 走过来，F、E、G 各点又可由哪些点走过来这样一步步倒推，最后归结到 A，然后再反推过去得到如下的计算法；A 至 B、C、D 的路数记在B、C、D 圆圈内，B、C、D 分别到 F、E、G 的路数亦记在 F、E、G 圆圈内，最后F、E、G
10、各个路数之和，即得至 H 的总路数如下图所示.答案：答案：C5 解析：解析：三段论中的大前提、小前提及推理形式都正确.答案：答案：A6 解析：解析：由 a1=2 可求得 a2=3,a3=4，从而可猜想 an=n1.答案：答案：A7 解析：解析：观察前面两个式子的特点，知 a=n.答案：答案：D8 解析：解析：a0,b0,(ab)()=4,ba11ab2ab12故 A 正确；a2b22=(a21)(b21)2a2b.C 正确;若 ab，则恒成立，若 ab，则baba()2=(ab)(ab)= 2b0.2)(ba ba ab2ab2故 D 也正确.从而选 B.答案：答案：B9 解析：解析：ab=1
11、,222ba p=logc0.222ba 又 q=logc()2ba 1=logc abba21logc=logc0, ab41 41qp.答案：答案：B10 解析：解析：14=（12）=（1）21，149=123=（1）312) 12(2，14916=（1234）=（1）41，由此类比可推知.2) 13(3 2) 11 (4答案：答案：B11 解析：解析：f(2)=,f(4)=f(22),f(8)=f(23),f(16)=f(24),依此类推可知23 222 223 224f(2n).22n答案：答案：C12 解析：解析：由题意有：f2(x)=,xxxxxxxfxf1111211221)(1
12、)(211 同理，f3(x)=,f4(x)=,f5(x)=,f6(x)=x,f7(x)=,故 f6nr(x)=fr(x).122 xx 11 xxx 21 112 xx又 2 002=63334,f2 002(x)=f4(x)=.x11答案：答案：C13 解析：解析：“不能”的反面是“能”.答案：答案：假设 4k3=m2n2（m、n 是整数）14 解析：解析：因为 a(b*c)=a,22 2cbacb又因为(ab)*（ac）=,22 2)(cbacaba由知 a(b*c)=(ab)*(ac),即为符合题意的一个等式.答案：答案：a(b*c)=(ab)*(ac)或（a*b）c= (a*c)(b*
13、c)或 a*(bc)=(ab)*c=(bc)*a=(ac)*b 等.15 解析：解析：采用类比的思想方法，使两个圆的圆心不同的字母来表示，半径相同则设为r，对比已知命题可叙述出结果.答案：答案：已知两个圆：（xa）2(yb)2=r2（xc）2(yd)2=r2（ac 或 bd）则由得两圆的对称轴方程为 2(ca)x2(db)ya2b2c2d2=016 证明：证明：假设是有理数，于是存在互质的正整数 m,n，使得，从而有 m=6nm6n,6两边平方，得 m2=6n2.m2必为 6 的倍数，即 m 为 6 的倍数，可设 m=6k,代入上式得 36k2=6n2,即 6k2=n2.n2必为 6 的倍数，
14、即 n 为 6 的倍数.由于 m、n 都是 6 的倍数，它们有公约数 6，这与 m、n 是互质数矛盾.故是无理数.617 解：解：(1)2313=312311,3323=32231,4333=332331,(n1)3n3=3n23n1.将以上各式两边分别相加得(n1)313=3(1222n2)3(12n)n,1222n2=（n1）31n3n31 2)1 (n=n(n1)(2n1).61(2)123252992=1222321002(2242621002)=12223210024(122232502)=1001012014505110161 61=166 650.18 解：解：（1）第四行：17 18 20 24第五行：33 34 36 40 48（2）方法一：设 n 为 an的下标，观察每行第一个元素下标，三角形数表第一行第一个元素下标为 1.第二行第一个元素下标为 2=1.21
