《吉林省高中数学选修2-2学案 2.3数学 归纳法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《吉林省高中数学选修2-2学案 2.3数学 归纳法（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.32.3 数学归纳法数学归纳法课前预习学案课前预习学案 一、预习目标：一、预习目标： 理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法能较好地理解理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法能较好地理解“归纳奠基归纳奠基” 和和“归纳递推归纳递推”两者缺一不可。两者缺一不可。 二、预习内容：二、预习内容：提出问题：提出问题：问题问题 1 1：前面学习归纳推理时，我们有一个问题没有彻底解决即对于数列：前面学习归纳推理时，我们有一个问题没有彻底解决即对于数列，已知，已知 ，( ( n n=1,2,3)=1,2,3)，通过对，通过对n n=1,2,3,4=1,2,3,4 前前 4 4 项
2、的归纳，猜想出其通项公式项的归纳，猜想出其通项公式，但却没有进一步的检验和证明，但却没有进一步的检验和证明 问题问题 2 2：大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？：大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？( (多媒体演示多米诺骨牌多媒体演示多米诺骨牌游戏游戏) )这是一个码放骨牌游戏，码放时保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导这是一个码放骨牌游戏，码放时保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，致后一块骨牌倒下只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒
3、下，就必然导致第三块骨牌倒下就必然导致第三块骨牌倒下最后，不论有多少块骨牌都能全部倒下最后，不论有多少块骨牌都能全部倒下讨论问题：讨论问题：问题问题 1、问题、问题 2 有什么共同的特征？其结论成立的条件的共同特征是什么有什么共同的特征？其结论成立的条件的共同特征是什么结论成立的条件：结论对第一个值成立；结论对前一个值成立，则对紧接着的下一个值也成结论成立的条件：结论对第一个值成立；结论对前一个值成立，则对紧接着的下一个值也成立立上面两个条件分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一个？上面两个条件分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一个？你能举反例说明
4、吗？你能举反例说明吗？在上述两个条件中，第一个条件是归纳递推的前提和基础，没有它，后面的递推将无从在上述两个条件中，第一个条件是归纳递推的前提和基础，没有它，后面的递推将无从谈起；第二个步骤是核心和关键，是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带谈起；第二个步骤是核心和关键，是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带如在前面的问题如在前面的问题 1 1 中，如果中，如果不是不是 1 1，而是，而是 2 2，那么就不可能得出，那么就不可能得出，因此第一，因此第一步看似简单，但却是不可缺少的而第二步显然更加不可缺少这一点在多米诺骨牌游戏中步看似简单，但却是不可缺少的而第二步显然更加不可缺少这一点在多米
5、诺骨牌游戏中也可清楚地看出也可清楚地看出解决问题：解决问题：由上，证明一个与自然数由上，证明一个与自然数n n有关的命题，可按下列步骤进行：有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(1)证明当证明当n n取第一个值取第一个值( () )时命题成立；时命题成立；(2)(2)假设假设 n=k(kn=k(k, ,) )时命题成立，证明当时命题成立，证明当 n=k+1n=k+1 时命题也成立时命题也成立由以上两个步骤，可以断定命题由以上两个步骤，可以断定命题对从对从开始的所有正整数开始的所有正整数n n都成立都成立这种证明方法叫做数学归纳法，它是证明与正整数这种证明方法叫做数学归纳法，它是证明与正整数 n
6、(nn(n 取无限多个值取无限多个值) )有关、具有内在递推有关、具有内在递推关系的数学命题的重要工具关系的数学命题的重要工具三、提出疑惑三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑点疑惑内容疑惑内容例例 2、 用数学归纳法证明用数学归纳法证明( () )解析：（解析：（1 1）进一步让学生理解数学归纳法的严密性和合理性，从而从感性认识）进一步让学生理解数学归纳法的严密性和合理性，从而从感性认识上升为理性认识；上升为理性认识；（2 2）掌握从）掌握从到到时等式左边的变化情况，合理的进行添
7、项、拆项时等式左边的变化情况，合理的进行添项、拆项合并项等。合并项等。证明：（证明：（1 1）时：左边时：左边，右边，右边，左边，左边= =右边，等式成立。右边，等式成立。右边6 1) 1(21) 1)(1(kkk当当时等式也成立。时等式也成立。由由 （1 1）、（）、（2 2）可知，对一切）可知，对一切 ，原等式均成立，原等式均成立点评：点评：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意以下三句话：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意以下三句话：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。变式训练变式训练 2 2：用数学归纳法证
8、明：用数学归纳法证明：1 13 35 5（2 2n n1 1）2n反思总结：反思总结：1 1归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明；完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明；2 2数学归纳法作为一种证明方法，用于证明一些与正整数数学归纳法作为一种证明方法，用于证明一些与正整数有关数学命题，它的基本有关数学命题，它的基本思想是递推思想，它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；思想是递推思想，它的证明过
9、程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；3 3递推归纳时从递推归纳时从到到，必须用到归纳假设，并进行适当的恒等变换。注意，必须用到归纳假设，并进行适当的恒等变换。注意明等式时第一步中明等式时第一步中时左右两边的形式，第二步中时左右两边的形式，第二步中时应增加的式子；第二步中时应增加的式子；第二步中证明证明命题成立是全局的主体，主要注意两个命题成立是全局的主体，主要注意两个“凑凑”：一是：一是“凑凑”时的形式时的形式（这样才好利用归纳假设），二是（这样才好利用归纳假设），二是“凑凑”目标式。目标式。当堂检测：当堂检测：1观察式子：观察式子：213122，221151233，222111712344
10、，则可归纳出式子，则可归纳出式子为（为（ ）22211111(2)2321nnn22211111(2)2321nnn222111211(2)23nnnn22211121(2)2321nnnn答案：答案：2 2用数学归纳法证明：首项是用数学归纳法证明：首项是，公比是，公比是q q的等比数列的通项公式是的等比数列的通项公式是1a，前，前 n n 项和公式是项和公式是1 1n nqaa).1(1)1 (1qqqasnn课后练习与提高课后练习与提高一、选择题一、选择题1 1用数学归纳法证明用数学归纳法证明过程中，由过程中，由n=kn=k递推递推) 14(31) 12(53122222nnn到到n=k+
11、1n=k+1时，不等式左边增加的项为时，不等式左边增加的项为 （ ） A.A. B.B. C.C. D.D. 2)2( k2)32(k2) 12(k2)22(k2凸凸 n 边形有边形有 f(n)条对角线，凸条对角线，凸 n+1 边形对角线边形对角线 的条数的条数 f(n+1)为为 （ ）A.A. f(n)+n+1 B.B. f(n)+n C.C. f(n)+n-1-1 D.D. f(n)+n-23用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式 的过程中，由的过程中，由)2(2413 21 31 21 11nnnnnn=kn=k递推到递推到n=k+1n=k+1时，不等式左边时，不等式左边 （ ） A.A.增加了一项增加了一项 ) 1(21 kB.B.增加了一项增加了一项) 1(21 121 kkC.C.增加了增加了“” ，又减少了，又减少了“”) 1(21 121 kk11 kD.D.增加了增加了“ ” ，又减少了，又减少了“”) 1(21 k11 k二、填空题二、填空题4 4已知数列已知数列，计算得，计算得，由此，由此) 1(1 , 431,321,211 nn,43,32,21321sss可猜测可猜测_ns5若若 f(k)=则则= = + + _41 31 211,21 121 kk) 1( kf)(kf
