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1、名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.1空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为 0 的向量0单位向量长度(模)为 1 的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a 的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合ab共面向量平行于同一个平面的向量2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a
2、，b(b0)，ab 的充要条件是存在实数 ，使得 ab(2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使 pxayb(3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组x，y，z，使得 pxaybzc，把a，b，c叫做空间的一个基底3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作a，b，则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，OAOB记作a，b ，其范围是 0a，b，若a，b ，则称 a 与 b 互相垂直，记作 ab.2两向量的
3、数量积名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！已知空间两个非零向量 a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量 a，b 的数量积，记作 ab，即ab|a|b|cosa，b (2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac4空间向量的坐标表示及其应用设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，b来源:Zxxk.Com高频考点一高频考点一 空间向量的线
4、性运算空间向量的线性运算例 1、(1)已知在空间四边形 OABC 中，a，b，c，点 M 在 OA 上，且 OM2MA，NOAOBOC为 BC 中点，则等于( )MNA. a b cB a b c122312231212C. a b cD. a b c121212232312(2)如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为 AC 的中点名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！化简；A1O12AB12AD用，表示，则.ABADAA1OC1OC1【感悟提升】用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数
5、乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立【变式探究】三棱锥 OABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是ABC 的重心，用基向量，OA，表示，.OBOCMGOG高频考点二高频考点二 共线定理、共面定理的应用共线定理、共面定理的应用例 2、已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点，(1)求证：E、F、G、H 四点共面；(2)求证：BD平面 EFGH；(3)设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任一点 O，有 ()OM14OAOBOCOD【感
6、悟提升】(1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明 A，B，C 三点共线，即证明，共线，ABAC亦即证明(0)ABAC(2)证明点共面的方法来源:学科网 ZXXK证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明 P，A，B，C 四点共面，只要能证明xy或对空间任一点 O，有xy或xyz(xyz1)即可共PAPBPCOAOPPBPCOPOAOBOC面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件【变式探究】如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是 A1B 上的点，F 是 AC 上的点，且A1E2EB，CF2AF，则 EF 与平面 A1B1CD 的位置关
7、系为名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！高频考点三高频考点三 空间向量数量积的应用空间向量数量积的应用例 3、如图所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M、N 分别是 AB、CD 的中点(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求 MN 的长；来源:Zxxk.Com(3)求异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值【方法技巧】数量积的应用(1)求夹角，设向量 a，b 所成的角为 ，则 cos，进而可求两异面直线所成的角ab|a|b|(2)求长度(距离)，运用公式|a|2aa，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题(3)解决垂直问题，利用 abab0(
8、a0，b0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题【变式探究】如图所示，四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1，且两两夹角为 60.(1)求 AC1的长；(2)求证：AC1BD；(3)求 BD1与 AC 夹角的余弦值1.【2016 高考新课标 2 理数】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，5,6ABAC，名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！点,E F分别在,AD CD上，5 4AECF，EF交BD于点H将DEF沿EF折到D EF位置，10OD （）证明：D H平面ABCD；（）求二面角BD AC的正弦值2.【2016
9、高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆 O 的直径，EF 是上底面圆 O的直径，FB 是圆台的一条母线.（I）已知 G,H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH平面 ABC；（II）已知 EF=FB=1 2AC=2 3，AB=BC.求二面角FBCA的余弦值.名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！3.【2016 高考天津理数】 （本小题满分 13 分）如图，正方形 ABCD 的中心为 O，四边形 OBEF 为矩形，平面 OBEF平面 ABCD，点 G 为 AB 的中点，AB=BE=2.（I）求证：EG平面 ADF；（II）求二面角 O-EF-C 的正弦值；来源:学科网（I
10、II）设 H 为线段 AF 上的点，且 AH=2 3HF，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值.3 37 214.【2016 年高考北京理数】 （本小题 14 分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，1AB ，2AD ，5ACCD.名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！（1）求证：PD 平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M，使得/ /BM平面PCD？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由.5.【2016 高考浙江理数】(本题满分 15 分)如图,在三棱台ABCDEF中,平面B
11、CFE 平面ABC,=90ACB,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(I)求证：EF平面 ACFD；(II)求二面角 B-AD-F 的平面角的余弦值.名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！6.【2016 年高考四川理数】 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=1 2AD，E 为边 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90. （）在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由；（）若二面角 P-CD-A 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值.EDCBPA
12、1 3.来源:学。科。网【2015 高考湖南，理 19】如图，已知四棱台1111ABCDABC D上、下底面分别是边长为 3 和6 的正方形，16AA ，且1AA 底面ABCD，点P，Q分别在棱1DD，BC 上.（1）若 P 是1DD的中点，证明：1ABPQ；（2）若/ /PQ平面11ABB A，二面角PQDA的余弦值为3 7，求四面体ADPQ的体积.名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！【2015 高考上海，理 19】 （本题满分 12 分）如图，在长方体1111CDC DAA 中，11AA ，D2A A，、F分别是A、C的中点证明1A、1C、F、四点共面，并求直线1CD与平面11
13、C FA所成的角的大小.名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！1 （2014广东卷）已知向量 a(1，0，1)，则下列向量中与 a 成 60夹角的是( )A(1，1，0) B(1，1，0) C(0，1，1) D(1，0，1)2 （2014重庆卷如图 1-3 所示，四棱锥 P-ABCD 中，底面 是以 O 为中心的菱形，PO底面ABCD，AB2，BAD ，M 为 BC 上一点，且 BM ，MPAP.312(1)求 PO 的长；来源:Zxxk.Com(2)求二面角 A-PM-C 的正弦值图 1-31在下列命题中：若向量 a，b 共线，则向量 a，b 所在的直线平行；若向量 a，b 所在的
14、直线为异面直线，则向量 a，b 一定不共面；若三个向量 a，b，c 两两共面，则向量 a，b，c 共面；已知空间的三个向量 a，b，c，则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x，y，z 使得pxaybzc.其中正确命题的个数是( )A0B1C2D32已知 a(2,1,3)，b(1,2,1)，若 a(ab)，则实数 的值为( )A2B143名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！C.D21453已知a，b，c是空间的一个基底，ab，ab，c是空间的另一个基底，一向量 p 在基底a，b，c下的坐标为(4,2,3)，则向量 p 在基底ab，ab，c下的坐标是( )A(4,0,3) B(3
15、,1,3)C(1,2,3) D(2,1,3)4空间四边形 ABCD 的各边和对角线均相等，E 是 BC 的中点，那么( )A.AEBCAECDD.与的大小不能比较AEBCAECD5已知 a，b 是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb 且 AB2，CD1，则异面直线a，b 所成的角等于( )A30B45C60D906在空间四边形 ABCD 中，则的值为ABCDACDBADBC7A，B，C，D 是空间不共面四点，且0，0，0，则BCD 的形状是三角ABACACADABAD形(填锐角、直角、钝角中的一个)8设 OABC 是四面体，G1是ABC 的重心，G 是 OG1上的一点，且 OG3GG1，若xyOGOAz，则(x，y，z)为OBOC9 已知空间中三点 A(2,0,2)，B(1
