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1、9.2 两直线的位置关系两直线的位置关系1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线 l1、l2，其斜率分别为 k1、k2，则有 l1l2k1k2.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与 l2平行.(2)两条直线垂直如果两条直线 l1，l2斜率存在，设为 k1，k2，则 l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.2.两直线相交交点：直线 l1：A1xB1yC10 和 l2：A2xB2yC20 的公共点的坐标与方程组Error!Error!的解一一对应.相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数
2、个解.3.三种距离公式(1)点 A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离：AB .x2x12y2y12(2)点 P(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离：d .|Ax0By0C|A2B2(3)两平行直线 l1：AxByC10 与 l2：AxByC20 (C1C2)间的距离为 d.|C2C1|A2B21.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线 l1和 l2斜率都存在时，一定有 k1k2l1l2.( )(2)如果两条直线 l1与 l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.( )(3)已知直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1、B1、C1、A2、B2
3、、C2为常数)，若直线 l1l2，则 A1A2B1B20.( )(4)点 P(x0，y0)到直线 ykxb 的距离为.( |kx0b|1k2 )(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )(6)若点 A，B 关于直线 l：ykxb(k0)对称，则直线 AB 的斜率等于 ，且线段 AB 的1k中点在直线 l 上.( )2.若经过点(3，a)、(2,0)的直线与经过点(3，4)且斜率为 的直线垂直，则 a 的值为12_.答案 10解析 2，a10.a0323.直线 Ax3yC0 与直线 2x3y40 的交点在 y 轴上，则 C 的值为_.答案 4解析 因为两直线的交点在 y
4、 轴上，所以点在第一条直线上，所以 C4.(0，43)4.已知直线 l1与 l2：xy10 平行，且 l1与 l2的距离是，则直线 l1的方程为2_.答案 xy10 或 xy30解析 设 l1的方程为 xyc0，则.|c1|22|c1|2，即 c1 或 c3.5.直线 2x2y10，xy20 之间的距离是_.答案 34 2解析 先将 2x2y10 化为 xy 0，12则两平行线间的距离为 d|212|234 2题型一 两条直线的平行与垂直例 1 已知两条直线l1：axby40 和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b 的值.(1)l1l2，且 l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标
5、原点到这两条直线的距离相等.思维启迪 本题考查两直线平行或垂直成立的充分必要条件，解题易错点在于忽略斜率不存在的情况.解 (1)由已知可得 l2的斜率存在，k21a.若 k20，则 1a0，a1.l1l2，直线 l1的斜率 k1必不存在，即 b0.又l1过点(3，1)，3a40，即 a (矛盾).43此种情况不存在，k20.即 k1，k2都存在，k21a，k1 ，l1l2，abk1k21，即 (1a)1.ab又l1过点(3，1)，3ab40.由联立，解得 a2，b2.(2)l2的斜率存在，l1l2，直线 l1的斜率存在，k1k2，即 1a.ab又坐标原点到这两条直线的距离相等，且 l1l2，l
6、1，l2在 y 轴上的截距互为相反数，即 b，4b联立，解得Error!Error!或Error!Error!a2，b2 或 a ，b2.23思维升华 当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意 x、y 的系数不能同时为零这一隐含条件.已知两直线 l1：xysin 10 和 l2：2xsin y10，求 的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.解 (1)方法一 当 sin 0 时，直线 l1的斜率不存在，l2的斜率为 0，显然 l1不平行于 l2.当 sin 0 时，k1，k22sin .1sin 要使 l1l2，需2sin
7、，1sin 即 sin .22所以 k ，kZ，此时两直线的斜率相等.4故当 k ，kZ 时，l1l2.4方法二 由 A1B2A2B10，得 2sin210，所以 sin .22又 B1C2B2C10，所以 1sin 0，即 sin 1.所以 k ，kZ.4故当 k ，kZ 时，l1l2.4(2)因为 A1A2B1B20 是 l1l2的充要条件，所以 2sin sin 0，即 sin 0，所以 k，kZ.故当 k，kZ 时，l1l2.题型二 两直线的交点例 2 过点 P(3,0)作一直线 l，使它被两直线 l1：2xy20 和 l2：xy30 所截的线段AB 以 P 为中点，求直线 l 的方程
8、.思维启迪 求直线的方程一般需要两个已知条件，本例已知直线 l 过一定点 P(3,0)，还需要寻求另一个条件.这一条件可以是斜率 k 或另一个定点，因此，有两种解法.解 方法一 设直线 l 的方程为 yk(x3)，将此方程分别与 l1，l2的方程联立，得Error!Error!和Error!Error!解之，得 xA和 xB，3k2k23k3k1P(3,0)是线段 AB 的中点，由 xAxB6 得6，解得 k8.3k2k23k3k1故直线 l 的方程为 y8(x3)，即 8xy240.方法二 设 l1上的点 A 的坐标为(x1，y1)，P(3,0)是线段 AB 的中点，则 l2上的点 B 的坐
9、标为(6x1，y1)，Error!Error!解这个方程组，得Error!Error!点 A 的坐标为(，)，由两点式可得 l 的方程为 8xy240.113163思维升华 (1)两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点.(2)常见的三大直线系方程与直线 AxByC0 平行的直线系方程是AxBym0(mR 且 mC).与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是BxAym0(mR).过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括 l2.如图，设一直线
10、过点(1,1)，它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30 所截的线段的中点在直线 l3：xy10 上，求其方程.解 与 l1、l2平行且距离相等的直线方程为 x2y20.设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0，即(1)x(2)y20.又直线过(1,1)，(1)(1)(2)120.解得 .所求直线方程为 2x7y50.13题型三 距离公式的应用例 3 正方形的中心在 C(1,0)，一条边所在的直线方程是 x3y50，求其他三边所在直线的方程.思维启迪 借助平行直线系和垂直直线系设出其他三边所在直线的方程，利用正方形的中心到各边距离相等列出方程求直线系中的参数.解 点 C 到直线 x3y
11、50 的距离 d.|15|193 105设与 x3y50 平行的一边所在直线的方程是 x3ym0(m5)，则点 C 到直线 x3ym0 的距离 d，|1m|193 105解得 m5(舍去)或 m7，所以与 x3y50 平行的边所在直线的方程是 x3y70.设与 x3y50 垂直的边所在直线的方程是 3xyn0，则点 C 到直线 3xyn0 的距离 d，|3n|193 105解得 n3 或 n9，所以与 x3y50 垂直的两边所在直线的方程分别是 3xy30 和 3xy90.思维升华 正方形的四条边两两平行和垂直，设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解决，解题时要结合图形进行有效取舍.本题的解法
12、可以推广到求平行四边形和矩形各边所在直线的方程.运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中 x，y 的系数化为相同的形式.已知点 P(2，1).(1)求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程；(2)求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方程，并求出最大距离.(3)是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.解 (1)过 P 点的直线 l 与原点距离为 2，而 P 点坐标为(2，1)，可见，过 P(2，1)垂直于 x 轴的直线满足条件.此时 l 的斜率不存在，其方程为 x2.若斜率存在，
13、设 l 的方程为 y1k(x2)，即 kxy2k10.由已知，得2，解之得 k .|2k1|k2134此时 l 的方程为 3x4y100.综上，可得直线 l 的方程为 x2 或 3x4y100.(2)作图可证过 P 点与原点 O 距离最大的直线是过 P 点且与 PO 垂直的直线，由 lOP，得 klkOP1.所以 kl2.1kOP由直线方程的点斜式得 y12(x2)，即 2xy50，即直线 2xy50 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线，最大距离为.|5|55(3)由(2)可知，过 P 点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过 P 点且与原点距离5为 6 的直线.题型四 对称问题例 4
14、 已知直线 l：2x3y10，点 A(1，2).求：(1)点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标；(2)直线 m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程；(3)直线 l 关于点 A(1，2)对称的直线 l的方程.思维启迪 解决对称问题，不管是轴对称还是中心对称，一般都要转化为点之间的对称问题.解 (1)设 A(x，y)，再由已知Error!Error!.解得Error!Error!A(，).3313413(2)在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点必在 m上.设对称点为 M(a，b)，则Error!Error!解得 M(，).6133013设 m 与 l 的交点为 N，则由Error!Error!得 N(4,3).又m经过点 N(4,3)，由两点式得直线方程为 9x46y1020.(3)设 P(x，y)为 l上任意一点，则 P(x，y)关于点 A(1，2)的对称点为 P(2x，4y)，P在直线 l 上，2(2x)3(4y)10，即 2x3y90.思维升华 解决成中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决
