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1、9.2 两直线的位置关系两直线的位置关系1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线 l1、l2,其斜率分别为 k1、k2,则有 l1l2k1k2.特别地,当直线l1、l2的斜率都不存在时,l1与 l2平行.(2)两条直线垂直如果两条直线 l1,l2斜率存在,设为 k1,k2,则 l1l2k1k21,当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两条直线垂直.2.两直线相交交点:直线 l1:A1xB1yC10 和 l2:A2xB2yC20 的公共点的坐标与方程组Error!Error!的解一一对应.相交方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解;平行方程组无解;重合方程组有无数
2、个解.3.三种距离公式(1)点 A(x1,y1)、B(x2,y2)间的距离:AB .x2x12y2y12(2)点 P(x0,y0)到直线 l:AxByC0 的距离:d .|Ax0By0C|A2B2(3)两平行直线 l1:AxByC10 与 l2:AxByC20 (C1C2)间的距离为 d.|C2C1|A2B21.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线 l1和 l2斜率都存在时,一定有 k1k2l1l2.( )(2)如果两条直线 l1与 l2垂直,则它们的斜率之积一定等于1.( )(3)已知直线 l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20(A1、B1、C1、A2、B2
3、、C2为常数),若直线 l1l2,则 A1A2B1B20.( )(4)点 P(x0,y0)到直线 ykxb 的距离为.( |kx0b|1k2 )(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )(6)若点 A,B 关于直线 l:ykxb(k0)对称,则直线 AB 的斜率等于 ,且线段 AB 的1k中点在直线 l 上.( )2.若经过点(3,a)、(2,0)的直线与经过点(3,4)且斜率为 的直线垂直,则 a 的值为12_.答案 10解析 2,a10.a0323.直线 Ax3yC0 与直线 2x3y40 的交点在 y 轴上,则 C 的值为_.答案 4解析 因为两直线的交点在 y
4、 轴上,所以点在第一条直线上,所以 C4.(0,43)4.已知直线 l1与 l2:xy10 平行,且 l1与 l2的距离是,则直线 l1的方程为2_.答案 xy10 或 xy30解析 设 l1的方程为 xyc0,则.|c1|22|c1|2,即 c1 或 c3.5.直线 2x2y10,xy20 之间的距离是_.答案 34 2解析 先将 2x2y10 化为 xy 0,12则两平行线间的距离为 d|212|234 2题型一 两条直线的平行与垂直例 1 已知两条直线l1:axby40 和l2:(a1)xyb0,求满足下列条件的a,b 的值.(1)l1l2,且 l1过点(3,1);(2)l1l2,且坐标
5、原点到这两条直线的距离相等.思维启迪 本题考查两直线平行或垂直成立的充分必要条件,解题易错点在于忽略斜率不存在的情况.解 (1)由已知可得 l2的斜率存在,k21a.若 k20,则 1a0,a1.l1l2,直线 l1的斜率 k1必不存在,即 b0.又l1过点(3,1),3a40,即 a (矛盾).43此种情况不存在,k20.即 k1,k2都存在,k21a,k1 ,l1l2,abk1k21,即 (1a)1.ab又l1过点(3,1),3ab40.由联立,解得 a2,b2.(2)l2的斜率存在,l1l2,直线 l1的斜率存在,k1k2,即 1a.ab又坐标原点到这两条直线的距离相等,且 l1l2,l
6、1,l2在 y 轴上的截距互为相反数,即 b,4b联立,解得Error!Error!或Error!Error!a2,b2 或 a ,b2.23思维升华 当直线的方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意 x、y 的系数不能同时为零这一隐含条件.已知两直线 l1:xysin 10 和 l2:2xsin y10,求 的值,使得:(1)l1l2;(2)l1l2.解 (1)方法一 当 sin 0 时,直线 l1的斜率不存在,l2的斜率为 0,显然 l1不平行于 l2.当 sin 0 时,k1,k22sin .1sin 要使 l1l2,需2sin
7、,1sin 即 sin .22所以 k ,kZ,此时两直线的斜率相等.4故当 k ,kZ 时,l1l2.4方法二 由 A1B2A2B10,得 2sin210,所以 sin .22又 B1C2B2C10,所以 1sin 0,即 sin 1.所以 k ,kZ.4故当 k ,kZ 时,l1l2.4(2)因为 A1A2B1B20 是 l1l2的充要条件,所以 2sin sin 0,即 sin 0,所以 k,kZ.故当 k,kZ 时,l1l2.题型二 两直线的交点例 2 过点 P(3,0)作一直线 l,使它被两直线 l1:2xy20 和 l2:xy30 所截的线段AB 以 P 为中点,求直线 l 的方程
8、.思维启迪 求直线的方程一般需要两个已知条件,本例已知直线 l 过一定点 P(3,0),还需要寻求另一个条件.这一条件可以是斜率 k 或另一个定点,因此,有两种解法.解 方法一 设直线 l 的方程为 yk(x3),将此方程分别与 l1,l2的方程联立,得Error!Error!和Error!Error!解之,得 xA和 xB,3k2k23k3k1P(3,0)是线段 AB 的中点,由 xAxB6 得6,解得 k8.3k2k23k3k1故直线 l 的方程为 y8(x3),即 8xy240.方法二 设 l1上的点 A 的坐标为(x1,y1),P(3,0)是线段 AB 的中点,则 l2上的点 B 的坐
9、标为(6x1,y1),Error!Error!解这个方程组,得Error!Error!点 A 的坐标为(,),由两点式可得 l 的方程为 8xy240.113163思维升华 (1)两直线交点的求法求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点.(2)常见的三大直线系方程与直线 AxByC0 平行的直线系方程是AxBym0(mR 且 mC).与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是BxAym0(mR).过直线 l1:A1xB1yC10 与 l2:A2xB2yC20 的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R),但不包括 l2.如图,设一直线
10、过点(1,1),它被两平行直线l1:x2y10,l2:x2y30 所截的线段的中点在直线 l3:xy10 上,求其方程.解 与 l1、l2平行且距离相等的直线方程为 x2y20.设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0,即(1)x(2)y20.又直线过(1,1),(1)(1)(2)120.解得 .所求直线方程为 2x7y50.13题型三 距离公式的应用例 3 正方形的中心在 C(1,0),一条边所在的直线方程是 x3y50,求其他三边所在直线的方程.思维启迪 借助平行直线系和垂直直线系设出其他三边所在直线的方程,利用正方形的中心到各边距离相等列出方程求直线系中的参数.解 点 C 到直线 x3y
11、50 的距离 d.|15|193 105设与 x3y50 平行的一边所在直线的方程是 x3ym0(m5),则点 C 到直线 x3ym0 的距离 d,|1m|193 105解得 m5(舍去)或 m7,所以与 x3y50 平行的边所在直线的方程是 x3y70.设与 x3y50 垂直的边所在直线的方程是 3xyn0,则点 C 到直线 3xyn0 的距离 d,|3n|193 105解得 n3 或 n9,所以与 x3y50 垂直的两边所在直线的方程分别是 3xy30 和 3xy90.思维升华 正方形的四条边两两平行和垂直,设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解决,解题时要结合图形进行有效取舍.本题的解法
12、可以推广到求平行四边形和矩形各边所在直线的方程.运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式;运用两平行线的距离公式时,需先把两平行线方程中 x,y 的系数化为相同的形式.已知点 P(2,1).(1)求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程;(2)求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方程,并求出最大距离.(3)是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.解 (1)过 P 点的直线 l 与原点距离为 2,而 P 点坐标为(2,1),可见,过 P(2,1)垂直于 x 轴的直线满足条件.此时 l 的斜率不存在,其方程为 x2.若斜率存在,
13、设 l 的方程为 y1k(x2),即 kxy2k10.由已知,得2,解之得 k .|2k1|k2134此时 l 的方程为 3x4y100.综上,可得直线 l 的方程为 x2 或 3x4y100.(2)作图可证过 P 点与原点 O 距离最大的直线是过 P 点且与 PO 垂直的直线,由 lOP,得 klkOP1.所以 kl2.1kOP由直线方程的点斜式得 y12(x2),即 2xy50,即直线 2xy50 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线,最大距离为.|5|55(3)由(2)可知,过 P 点不存在到原点距离超过的直线,因此不存在过 P 点且与原点距离5为 6 的直线.题型四 对称问题例 4
14、 已知直线 l:2x3y10,点 A(1,2).求:(1)点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标;(2)直线 m:3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程;(3)直线 l 关于点 A(1,2)对称的直线 l的方程.思维启迪 解决对称问题,不管是轴对称还是中心对称,一般都要转化为点之间的对称问题.解 (1)设 A(x,y),再由已知Error!Error!.解得Error!Error!A(,).3313413(2)在直线 m 上取一点,如 M(2,0),则 M(2,0)关于直线 l 的对称点必在 m上.设对称点为 M(a,b),则Error!Error!解得 M(,).6133013设 m 与 l 的交点为 N,则由Error!Error!得 N(4,3).又m经过点 N(4,3),由两点式得直线方程为 9x46y1020.(3)设 P(x,y)为 l上任意一点,则 P(x,y)关于点 A(1,2)的对称点为 P(2x,4y),P在直线 l 上,2(2x)3(4y)10,即 2x3y90.思维升华 解决成中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式,而解决