《【新步步高】2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案：1.4.3 单位圆与you导公式（一） word版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【新步步高】2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案：1.4.3 单位圆与you导公式（一） word版含答案（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、43 单位圆与诱导公式单位圆与诱导公式(一一)明目标、知重点 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题1设 为任意角， 的终边与 的终边之间的对称关系相关角终边之间的对称关系 与 关于原点对称 与 关于 x 轴对称 与 关于 y 轴对称2.诱导公式 1.81.12公式 1.8：sin(2k)sin ，cos(2k)cos ；公式 1.9：sin()sin ，cos()cos ；公式 1.10：sin(2)sin ，cos(2)cos ；公式 1.11：sin()sin ，cos()cos ；公式 1.12：
2、sin()sin ，cos()cos .情境导学 在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数相等，即公式 1.8，并且利用公式 1.8 可以把绝对值较大的角的三角函数值转化为 0360内的角的三角函数，对于90360内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解？探究点一 角 与 的正弦、余弦函数关系思考 1 设角 的终边与单位圆的交点为 P1(x，y)，如图，角 的终边与角 的终边有什么关系？ 的终边与单位圆的交点 P2坐标如何？答 角 的终边与角 的终边关于 x 轴对称角 与单位圆的交点为 P2(x，y)思考 2 根据三角函数定义， 的三角函数与 的三角函数有什么关系？答
3、sin y，cos x；sin()ysin ；cos()xcos .即诱导公式 1.9sinsin ，coscos .思考 3 诱导公式 1.9 有何作用？答 将负角的三角函数转化为正角的三角函数探究点二 角 与 的正弦、余弦函数关系思考 1 根据角 与 与单位圆的交点坐标的关系，你能推出角 与 的正弦、余弦函数的关系吗？答 如图，设角 的终边与单位圆相交于 P1(x，y)，由于角 与 的终边关于 y 轴对称，因此角 的终边与单位圆相交于 P2(x，y)，则 sin y，cos x；sin()ysin ，cos()xcos .即诱导公式 1.11sinsin coscos 思考 2 诱导公式
4、1.11 有何作用？答 将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数探究点三 角 与 的正弦、余弦函数关系思考 1 阅读教材 17 页，说出角 与 的正弦、余弦函数关系答 sinsin coscos 思考 2 如何推导思考 1 中得出的关系式？答 如图，设角 的终边与单位圆交于点 P1(x，y)，则角 的终边与单位圆的交点为 P2(x，y)，下面是根据三角函数定义推导公式的过程由三角函数的定义得sin y，cos x，又 sin()y，cos()x，sin()sin ，cos()cos .即诱导公式 1.12sinsin coscos 思考 3 诱导公式 1.12 有何作用？答 将第三象限
5、角的三角函数转化为第一象限角的三角函数例 1 求下列三角函数的值(1)sin；(2)cos 960.(194)解 (1)sinsin sin(4 )(194)19434sin sinsin .34(4)422(2)cos 960cos(2402360)cos 240cos(18060)cos 60 .12反思与感悟 利用诱导公式求三角函数值时，先将不是0,2)内的角的三角函数，转化为0,2)内的角的三角函数，或先将负角转化为正角后，再用诱导公式化到范围内的角，再求三角0，2函数值跟踪训练 1 求下列三角函数值(1)sin；(2)cos .(436)296解 (1)sinsin sin(6 )(
6、436)43676sin sinsin .76(6)612(2)cos cos(4 )cos cos2965656(6)cos .632例 2 化简：.sin2(3)cos2()sin()cos3()解 原式sin2cos2(sin )cos3().sin2cos2sin cos3sin cos 反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值跟踪训练 2 化简：.sin(2)sin(2)cos(6)cos(2)cos()sin(5)解 原式sin()sin()cos()cos()cos()sin().(sin )(sin )cos cos (cos )
7、(sin )sin sin cos cos cos sin sin cos 例 3 已知 cos，(6)33求 cossin2的值(56)(6)解 cossin2(56)(6)cossin2(6)(6)cos(6) 1cos2(6)cos2cos1(6)(6)21.(33)332 33反思与感悟 对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值跟踪训练 3 已知 cos() ，0，则 在( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 B解析 sin()sin 0.cos()cos()cos 0，cos 0， 为第二
8、象限角4已知 sin()，则 sin的值为( )5432(34)A. B1212C. D3232答案 D解析 sinsinsin(34)(34)(4)sin.(54)325已知 sin(490) ，则 sin(230) .45答案 45解析 sin(230)sin720(490)sin(490) .456已知 f(x)asin(x)bcos(x)2，其中 a、b、 为非零常数若 f(2 014)1，则f(2 015) .答案 3解析 f(2 014)asin(2 014)bcos(2 014)2asin bcos 21，asin bcos 1.f(2 015)asin(2 015)bcos(2
9、 015)2(asin bcos )2(1)23.7化简：sin(n )cos(n )，nZ.2343解 当 n 为偶数时，n2k，kZ.原式sin(2k )cos(2k )2343sincos (23)43(sin )cos23(3)sin cos sin cos 23333 .321234当 n 为奇数时，n2k1，kZ.原式sin(2k )cos(2k )2343sincossin cos(23)(43)3(23)sin cos .33321234所以 sin(n )cos(n )，nZ.234334二、能力提升8若 cos() ， 2，则 sin(2)等于( )1232A. B1232
10、C. D3232答案 D解析 由 cos() ，得 cos ， .121253故 sin(2)sin sin sin ( 为第四象限角)533329在ABC 中，给出下列四个式子：sin(AB)sin C；cos(AB)cos C；sin(2A2B)sin 2C；cos(2A2B)cos 2C.其中为常数的是( )A B C D答案 B解析 sin(AB)sin C2sin C；cos(AB)cos Ccos Ccos C0；sin(2A2B)sin 2Csin2(AB)sin 2Csin2(C)sin 2Csin(22C)sin 2Csin 2Csin 2C0；cos(2A2B)cos 2C
11、cos2(AB)cos 2Ccos2(C)cos 2Ccos(22C)cos 2Ccos 2Ccos 2C2cos 2C.故选 B.10下列三角函数，其中 nZ，则函数值与 sin 的值相同的是 (只填序号)3sin；sin；(n43)(2n3)sin.(2n1)3答案 解析 对于，当 n2m 时，sinsin sin ，错；(n43)433是正确的；对于，sinsinsin ，(2n1)3(3)3是正确的11已知 f(x)Error!Error!则 f()f() .116116答案 2解析 f()sin()sin ，116116612f()f( )1f( )2sin( )2 ，1165616
12、652f()f() 2.116116125212化简：，其中 kZ.sin(k)cos(k1)sin(k1)cos(k)解 方法一 k 为偶数时，设 k2m(mZ)，则原式sin(2m)cos(2m1)sin(2m1)cos(2m)1，sin()cos()sin()cos (sin )(cos )sin cos k 为奇数时，可设 k2m1(mZ)仿上可得原式1.方法二 由(k)(k)2k，(k1)(k1)2k，得 sin(k)sin(k)cos(k1)cos(k1)cos(k)sin(k1)sin(k)故原式1.sin(k)cos(k)sin(k)cos(k)三、探究与拓展13在ABC 中，若 sin(2A)sin(B)，cos Acos(B)，求ABC 的三个内232角解 由条件得 sin Asin B，cos Acos B，232平方相加得 2cos2A1，cos A，22又A(0，)，A 或 .434当 A 时，cos B0，B，3432(2，)A，B 均为钝角，不合题意，舍去A ，cos B，B
