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1、9.8 曲线与方程曲线与方程1.曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)0 的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解.(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系建立适当的坐标系.(2)设点设轨迹上的任一点 P(x，y).(3)列式列出动点 P 所满足的关系式.(4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为 x，y 的方程式，并化简.(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
2、3.两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0，y0)0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)0 上的充要条件.( )(2)方程 x2xyx 的曲线是一个点和一条直线.( )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2y2.
3、( )(4)方程 y与 xy2表示同一曲线.( )x2.方程(x2y24)0 的曲线形状是_.(填序号)xy1答案 解析 由题意可得 xy10 或Error!Error!它表示直线 xy10 和圆 x2y240 在直线 xy10 右上方的部分.3.已知点 P 是直线 2xy30 上的一个动点，定点 M(1,2)，Q 是线段 PM 延长线上的一点，且 PMMQ，则 Q 点的轨迹方程是_.答案 2xy50解析 由题意知，M 为 PQ 中点，设 Q(x，y)，则 P 为(2x,4y)，代入 2xy30得 2xy50.4.已知点 A(2,0)、B(3,0)，动点 P(x，y)满足x26，则点 P 的轨
4、迹方程是PAPB_.答案 y2x解析 (3x，y)，(2x，y)，PBPA(3x)(2x)y2x2x6y2x26，y2x.PAPB5.已知两定点 A(2,0)、B(1,0)，如果动点 P 满足 PA2PB，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积为_.答案 4解析 设 P(x，y)，由 PA2PB，得2，x22y2x12y23x23y212x0，即 x2y24x0.P 的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为 2 的圆.即轨迹所包围的面积等于 4.题型一 定义法求轨迹方程例 1 已知两个定圆 O1和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且 O1O24.动圆 M 与圆 O1内切，又与圆 O2外切，建立适当的
5、坐标系，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线.思维启迪 利用两圆内、外切的充要条件找出点 M 满足的几何条件，结合双曲线的定义求解 .解 如图所示，以 O1O2的中点 O 为原点，O1O2所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系.由 O1O24，得 O1(2,0)、O2(2,0).设动圆 M 的半径为 r，则由动圆 M 与圆 O1内切，有 MO1r1；由动圆 M 与圆 O2外切，有 MO2r2.MO2MO13.点 M 的轨迹是以 O1、O2为焦点，实轴长为 3 的双曲线的左支.a ，c2，b2c2a2 .3274点 M 的轨迹方程为1 (x ).4x294y2732思维升华 求曲线的轨
6、迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量.已知点 F，直线 l：x ，点 B 是 l 上的动点.若过 B 垂直于 y 轴的直(14，0)14线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是_.答案 抛物线解析 由已知得，MFMB.由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线 .题型二 相关点法求轨迹方程例 2 设直线 xy4a 与抛物线 y24ax 交于两点 A，B(a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求ABC 的重心的轨迹方程.思维启迪 设ABC 的重心坐标为 G(x，y)，利用重
7、心坐标公式建立 x，y 与ABC 的顶点 C 的关系，再将点 C 的坐标(用 x，y 表示)代入抛物线方程即得所求.解 设ABC 的重心为 G(x，y)，点 C 的坐标为 C(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).由方程组：Error!Error!消去 y 并整理得：x212ax16a20.x1x212a，y1y2(x14a)(x24a)(x1x2)8a4a.由于 G(x，y)为ABC 的重心，Error!Error!Error!Error!又点 C(x0，y0)在抛物线上，将点 C 的坐标代入抛物线的方程得，(3y4a)24a(3x12a)，即(y)2(x4a).4a34a3又点
8、 C 与 A，B 不重合，x(62)a，5ABC 的重心的轨迹方程为(y)2(x4a)(x(62)a).4a34a35思维升华 “相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式Error!Error!(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.设 F(1,0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且2，当点 PMNMPPMPF在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹方程.解 设 M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，PMPFPMPF(x0，y0)
9、(1，y0)0，x0y 0.2 0由2得(xx0，y)2(x0，y0)，MNMPError!Error!，即Error!Error!.x0，即 y24x.y24故所求的点 N 的轨迹方程是 y24x.题型三 直接法求轨迹方程例 3 (2013陕西)已知动圆过定点 A(4,0)，且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程；(2)已知点 B(1,0)，设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P，Q，若 x 轴是PBQ 的角平分线，证明：直线 l 过定点.思维启迪 (1)利用曲线的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系；(2)设出直线方程，结
10、合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系.(1)解 如图，设动圆圆心为 O1(x，y)，由题意，得 O1AO1M，当 O1不在 y 轴上时，过 O1作 O1HMN 交 MN 于 H，则 H 是 MN 的中点，O1M，x242又 O1A，x42y2，x42y2x242化简得 y28x(x0).又当 O1在 y 轴上时，O1与 O 重合，点 O1的坐标为(0,0)也满足方程 y28x，动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y28x.(2)证明 由题意，设直线 l 的方程为ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将 ykxb 代入 y28x 中
11、，得 k2x2(2bk8)xb20.其中 32kb640.由根与系数的关系得，x1x2，82bkk2x1x2，b2k2因为 x 轴是PBQ 的角平分线，所以，y1x11y2x21即 y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0将，代入得 2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时 0，直线 l 的方程为 yk(x1)，即直线 l 过定点(1,0).思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明
12、可以省略.如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步.求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.如图所示，过点 P(2,4)作互相垂直的直线 l1，l2，若 l1交 x轴于 A，l2交 y 轴于 B，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程.解 设点 M 的坐标为(x，y)，M 是线段 AB 的中点，A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y).(2x2，4)，(2,2y4).PAPB由已知0，2(2x2)4(2y4)0，PAPB即 x2y50.线段 AB 中点 M 的轨迹方程为 x2y50.分类讨论思想在曲线与方程中的应用典例：(16 分)已知抛物线 y22px 经过点 M(2，2)
13、，椭圆1 的右焦点恰为抛物2x2a2y2b2线的焦点，且椭圆的离心率为 .12(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若 P 为椭圆上一个动点，Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点，(0)，试OPOQ求 Q 的轨迹.思维启迪 由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，分类标准的确立有两点：一是二次项系数分别为 0 时的参数值，二是二次项系数相等时的参数值，然后确定分类标准进行讨论，讨论时注意表述准确.规范解答解 (1)因为抛物线 y22px 经过点 M(2，2)，2所以(2)24p，解得 p2.3 分2所以抛物线的方程为 y24x，其焦点为 F(1,0)，即椭圆的右焦点
14、为 F(1,0)，得 c1.又椭圆的离心率为 ，所以 a2，可得 b2413，12故椭圆的方程为1.8 分x24y23(2)设 Q(x，y)，其中 x2,2，设 P(x，y0)，因为 P 为椭圆上一点，所以1，x24y2 03解得 y 3 x2.由 可得2，2 034OPOQOP2OQ2故2.x2334x2x2y2得(2 )x22y23，x2,2.12 分14当 2 ，即 时，1412得 y212，点 Q 的轨迹方程为 y2，x2,2，3此轨迹是两条平行于 x 轴的线段；当 2 ，即 时，得到1，1412x23214y232此轨迹表示长轴在 x 轴上的椭圆满足 x2,2的部分.16 分温馨提醒
15、 此题求轨迹既有直接法，又有相关点法.求出轨迹方程后，容易忽略 x 的范围，导致轨迹图形出错.备考建议：(1)区分求轨迹方程与求轨迹的问题.(2)对常见的曲线特征要熟悉掌握.(3)除此之外，正确进行化简与计算是必须具备的基本能力.方法与技巧求轨迹的常用方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为 x、y 的等式就得到曲线的轨迹方程.(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数.(3)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程.(4)代入法(相关点
