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1、第二章第二章 圆锥曲线圆锥曲线一、椭圆一、椭圆1平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭1F2F12F F圆即：这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称|)|2( ,2|2121FFaaMFMF为椭圆的焦距 2椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在轴上x焦点在轴上y图形标准方程222210xyabab222210yxabab范围且axa byb 且bxb aya 顶点、1,0aA2,0aA、10, b20,b、10, aA20,aA、1,0b2,0b轴长短轴的长 长轴的长2b2a焦点、1,0Fc2,0Fc、10,Fc20,Fc焦距222 122FFc cab对称性关于轴、轴、原点
2、对称xy离心率22101cbeeaa例 1 椭圆 2x23y212 的两焦点之间的距离是( ) A2 B1010C D222答案：答案：D解析：解析：椭圆方程 2x23y212 可化为：1，a26，b24，c2642，2c2x26y242例 2 已知椭圆1(m0)的左焦点为 F1(4,0)，则 m( )x225y2m2 A2 B3C4 D9 答案：答案：B解析：解析：椭圆1(m0)的左焦点为 F1(4，0)，c4，m29，x225y2m225m2m3，选 B例 3 已知 F1，F2是椭圆1 的两个焦点，过点 F2的直线交椭圆于点 A，B，x216y29 若|AB|5，则|AF1|BF1|( )
3、 A11 B10 C9 D16 答案：答案：A 解析：解析：由方程知 a216，2a8，由椭圆定义知，|AF1|AF2|8，|BF1|BF2|8， |AF1|AF2|BF1|BF2|AF1|BF1|AB|16，|AF1|BF1|11，故选 A 例 4 椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率 e 为( )A B1213C D1422 答案：答案：A解析：解析：由题意，得 a2c，e ca12 例 5 与椭圆 9x24y236 有相同焦点，且短轴长为 4的椭圆方程是( )5A1 B1x225y220x220y225C1 D1x220y245x280y285 答案：答案：B 解析：解析：
4、椭圆 9x24y236 的焦点为(0，)，(0，)，b2，a225，故选 B555例 6 根据下列条件，求椭圆的标准方程（1）经过两点 A(0，2)，B( ，)；123 （2）经过点(2，3)且与椭圆 9x24y236 有共同的焦点解：解：（1）设所求椭圆的方程为1(m0，n0，且 mn)，x2my2n椭圆过 A(0，2)，B( ，)，123Error!解得Error!即所求椭圆方程为 x21y24（2）椭圆 9x24y236 的焦点为(0，)，则可设所求椭圆方程为1(m0)，5x2my2m5又椭圆经过点(2，3)，则有 1，4m9m5 解得 m10 或 m2(舍去)，即所求椭圆的方程为1x2
5、10y215例 7 如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的 ，求椭圆的离心率23 解法一：解法一：设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为 a、b、c，则焦点为 F1(c，0)，F2(c，0)，M 点的坐标为(c， b)，23 则MF1F2为直角三角形 在 RtMF1F2中，|F1F2|2|MF2|2|MF1|2，即 4c2 b2|MF1|249而|MF1|MF2| b2a，4c249b223 整理得 3c23a22ab又 c2a2b2，所以 3b2a所以 b2a249e21 ，ec2a2a2b2a2b2a25953解法二：
6、解法二：设椭圆方程为1(ab0)，x2a2y2b2则 M(c， b)23代入椭圆方程，得1，所以 ，c2a24b29b2c2a259所以 ，即 eca5353二、双曲线二、双曲线1平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹1F2F12F F称为双曲线这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距 2双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在轴上x焦点在轴上y图形标准方程222210,0xyabab222210,0yxabab范围或，xaxayR或，yayaxR顶点、1,0aA2,0aA、10, aA20,aA轴长虚轴的长 实轴的长2b2a焦点、1,0Fc2,0Fc、10,
7、Fc20,Fc焦距222 122FFc cab对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称xy离心率2211cbeeaa渐近线方程byxa ayxb 3实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线例 1 双曲线 3x24y212 的焦点坐标为( ) A(5，0) B(0，)5C(，0) D(0，)77答案：答案：D解析：解析：双曲线 3x24y212 化为标准方程为1，a23，b24，c2a2b27y23x24c，又焦点在 y 轴上，故选 D7例 2 已知方程1 表示双曲线，则 k 的取值范围是( )x21ky21k A1k1 Bk0 Ck0 Dk1 或 k1 答案：答案：A 解析：解析：由题意得(1k)(
8、1k)0，(k1)(k1)0，1k1例 3 椭圆1 与双曲线1 有相同的焦点，则 m 的值是( )x24y2m2x2m2y22 A1 B1 C1 D不存在 答案：答案：A 解析：解析：验证法：当 m1 时，m21，对椭圆来说，a24，b21，c23对双曲线来说，a21，b22，c23，故当 m1 时，它们有相同的焦点 直接法：显然双曲线焦点在 x 轴上，故 4m2m22m21，即 m1 例 4 下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y2x 的是( )Ax21 By21y24x24Cx21 Dy21y24x24 答案：答案：C解析：解析：由双曲线的焦点在 y 轴上，排除 A、B；对于 D
9、，渐近线方程为 y x，而对于12 C，渐近线方程为 y2x故选 C 例 5 已知 F1、F2为双曲线 C：x2y21 的左、右焦点，点 P 在 C 上，F1PF260，则 |PF1|PF2|等于( )A2 B4 C6 D8 答案：答案：B 解析：解析：在PF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60(|PF1|PF2|) 2|PF1|PF2|，即(2)222|PF1|PF2|，解得|PF1|PF2|42例 6 焦点在 x 轴上的双曲线过点 P(4，3)，且点 Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，求2此双曲线的标准方程解：解：因为双曲线焦点在 x 轴上，所以
10、设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，x2a2y2b2 F1(c，0)，F2(c，0) 因为双曲线过点 P(4，3)，2所以132a29b2 又因为点 Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，所以0，即c2250QF1QF2所以 c225 又 c2a2b2， 所以由可解得 a216 或 a250(舍去)所以 b29，所以所求的双曲线的标准方程是1x216y29三、抛物线三、抛物线 1平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线抛物线定点称为抛抛FlF 物线的焦点物线的焦点，定直线称为抛物线的准线l 2过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 A、B 两点的线段 AB，称为抛物线的“通
11、 径” ，即|AB|=2p 3焦半径公式：若点在抛物线上，焦点为，则；00, xy220ypx pF02pFx若点在抛物线上，焦点为，则；00,xy220ypx p F02pFx 若点在抛物线上，焦点为，则；00,xy220xpy pF02pFy若点在抛物线上，焦点为，则00,xy220xpy p F02pFy 4抛物线的几何性质：标准方程22ypx0p 22ypx 0p 22xpy0p 22xpy 0p 图形顶点0,0对称轴轴x轴y焦点,02pF,02pF0,2pF0,2pF准线方程2px 2px 2py 2py 离心率1e 范围0x0x0y0y例 1 如果抛物线 y22px 的准线是直线
12、x2，那么它的焦点坐标为( ) A(1，0) B(2，0) C(3，0) D(1，0) 答案：答案：B解析：解析：因为准线方程为 x2 ，所以焦点为( ，0)，即(2，0)p2p2 例 2 顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(2，3)的抛物线方程是( )Ay2 xBx2 y9443Cy2 x 或 x2 yDy2 x 或 x2 y94439243 答案：答案：D 解析：解析：点(2，3)在第二象限，设抛物线方程为 y22px(p0)或 x22py(p0)，又点(2，3)在抛物线上，p ，p ，抛物线方程为 y2 x 或 x2 y94239243 例 3 抛物线 y24x 上一点 M 到焦点的距
13、离为 1，则点 M 的纵坐标是( )A0 B1516C D781716 答案：答案：A 解析：解析：设 M(x0，y0)，则 x011，x00，y00 例 4O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y24x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|4，则22POF 的面积为( )A2 B22C2 D43答案：答案：C 解析：解析：设 P(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|x04，x03，代入抛物线222的方程，得|y0|2，SPOF |y0|OF|2，选 A涉及到抛物线的焦点三角形问题，要6123 考虑焦半径公式 例 5 已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A、B 是该抛物线上的两点，|A
14、F|BF|3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( )A B134C D5474 答案：答案：C解析：解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|BF|3 得，x1x2 3，x1x2 ，线段1252AB 的中点到 y 轴的距离为 x1x2254 例 6 已知直线 l 经过抛物线 y24x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A、B 两点（1）若|AF|4，求点 A 的坐标； （2）求线段 AB 长度的最小值 解：解：由 y24x，得 p2，其准线方程为 x1，焦点 F(1，0)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)（1）由抛物线的定义可知，|AF|x1 ，从而 x1413代入 y24x，解得p2 y1
