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1、第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理【考纲下载考纲下载】1理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类方案在第 1类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法完成一件事需要两个步骤做第1 步有 m 种不同的方法，做第 2步有 n 种不同的方法结论完成这件事共有 Nmn 种不同的方法完成这件事共有 Nmn 种不同的方法1选用分类加法计数原理的条件是什么？提示：当完成一件事情有几类办法，且每一类办法中的每一种办法都能独立完成这件事情，这时就用分
2、类加法计数原理2选用分步乘法计数原理的条件是什么？提示：当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完成这件事的一部分，且只有当所有步都完成后，这件事才完成，这时就采用分步乘法计数原理1某班班干部有 5 名男生、4 名女生，从 9 人中选 1 人参加某项活动，则不同选法的种数为( )A9 B5 C4 D72解析：选 A 分两类：一类从男生中选 1 人，有 5 种方法；另一类是从女生中选 1 人，共有 4 种方法因此，共有 549 种不同的选法2一个袋子里放有 6 个球，另一个袋子里放有 8 个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为( )A182 B14 C48 D91解析：选 C
3、 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为 6848.3某电话局的电话号码为 139，若前六位固定，最后五位数字是由6 或 8 组成的，则这样的电话号码的个数为( )A20 B25 C32 D60解析：选 C 依据题意知，后五位数字由 6 或 8 组成，可分 5 步完成，每一步有 2 种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为 2532.4. 如图所示，从甲地到乙地有 3 条公路可走，从乙地到丙地有 2 条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有 2 条水路可走则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为( )A6,8 B6,6 C5,2 D6,2解析：选 A 从甲地经乙地到丙地，分
4、两步：第 1 步，从甲地到乙地，有 3 条公路；第 2 步，从乙地到丙地，有 2 条公路根据分步乘法计数原理，共有 326 种走法从甲地到丙地，分两类：第 1 类，从甲地经乙地到丙地，有 6 种走法；第 2 类，从甲地不经过乙地到丙地，有 2 条水路，即有 2 种走法根据分类加法计数原理，共有 628 种走法5计划在四个体育馆举办排球、篮球、足球三个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆进行比赛的项目不超过两项的安排方案共有_种解析：每个项目的比赛安排在任意一个体育馆进行，根据分步乘法计数原理，共有4364 种安排方案，其中三个项目的比赛都安排在同一个体育馆进行的
5、 4 种安排方案不符合题意，所以在同一个体育馆进行比赛的项目不超过两项的安排方案共有 64460 种答案：60考点一分类加法计数原理例 1 (1)若 x，yN*，且 xy6，则有序自然数对(x，y)共有_个(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_自主解答 (1)因为 x，yN*，且 xy6.所以当 x1 时，y 有 5 个不同的值；当 x2 时，y 有 4 个不同的值；当 x3 时，y 有 3 个不同的值；当 x4 时，y 有 2 个不同的值；当 x5 时，y 有 1 个不同的值由分类加法计数原理知，共有 5432115 个符合条件的有序自然数对(2)当个位数为 2 时，
6、十位数只能取 1；当个位数为 3 时，十位数有 2 种取法；当个位数取 4 时，十位数有 3 种取法；当个位数为 9 时，十位数有 8 种取法依分类加法计数原理知：共有 12836 个符合条件的两位数答案 (1)15 (2)36【互动探究】本例(2)中的条件不变，求个位数字小于十位数字的两位数且为偶数的个数解：当个位数字是 8 时，十位数字取 9，只有 1 个；当个位数字是 6 时，十位数字可取 7,8,9，共 3 个；当个位数字是 4 时，十位数字可取 5,6,7,8,9，共 5 个同理可知；当个位数字是 2 时，共 7 个；当个位数字是 0 时，共 9 个由分类加法计数原理知，共有 135
7、7925 个符合条件的两位数 【方法规律】1分类加法计数原理的特点(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类2使用分类加法计数原理遵循的原则有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则1从集合1,2,3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A3 B4 C6 D8解析：选 D 法一：公比为 2 时，等比数列可为 1,2,4；2,4,8；公比为 3 时，等比数列可为 1,3,9；公比为 时，等比数列可为 4,6,9，又 4,2,1 和 8,4,2；9,3,1；9,
8、6,4 也是等32比数列，所以共 8 个法二：当 q1 时，分别以 1,2,4 为首项的有 1,2,4；1,3,9；2,4,8；4,6,9.当 0m，n 有 6 种选择；第 2 类：m2 时，使 nm，n 有 5 种选择；第 3 类：m3 时，使 nm，n 有 4 种选择；第 4 类：m4 时，使 nm，n 有 3 种选择；第 5 类：m5 时，使 nm，n 有 2 种选择由分类加法计数原理，符合条件的椭圆共有 20 个答案：20考点二分步乘法计数原理 例 2 已知集合 M3，2，1,0,1,2，P(a，b)(a，bM)表示平面上的点，则(1)P 可表示平面上_个不同的点(2)P 可表示平面上
9、_个第二象限的点自主解答 (1)确定平面上的点 P(a，b)可分两步完成：第 1 步，确定 a 的值，共有 6 种确定方法；第 2 步，确定 b 的值，也有 6 种确定方法根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是 6636.(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第 1 步，确定 a，由于 a0，所以有 2 种确定方法由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是 326.答案 (1)36 (2)6【方法规律】利用分步乘法计数原理解决问题时要注意(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件(3)对完成各步的方法数要
10、准确确定1从1,0,1,2 这四个数中选三个不同的数作为函数 f(x)ax2bxc 的系数，则可组成_个不同的二次函数，其中偶函数有_个(用数字作答)解析：一个二次函数对应着 a，b，c(a0)的一组取值，a 的取法有 3 种，b 的取法有3 种，c 的取法有 2 种，由分步乘法计数原理知共有 33218 个二次函数若二次函数为偶函数，则 b0，同上可知共有 326 个偶函数答案：18 62. 如图所示，某电子器件由 3 个电阻串联而成，形成回路，其中有 6 个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通现发现电路不通了，那么焊接点脱落的可能情况共有_种解析：电路不通可能是一
11、个或多个焊接点脱落，问题比较复杂但电路通的情况却只有一种，即各焊接点全未脱落因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有 26163 种可能情况答案：63高频考点考点三 两个计数原理的综合应用1两个计数原理的应用，是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题2高考对两个计数原理的考查主要有以下几个命题角度：(1)与数字有关的问题；(2)涂色问题例 3 (1)(2013福建高考)满足 a，b1,0,1,2，且关于 x 的方程 ax22xb0 有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A14 B13 C12 D10(2
12、)(2014烟台模拟)如图所示，一个地区分为 5 个行政区域，现给该地区的地图涂色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有 4 种颜色可供选择，则涂色方法共有_种自主解答 (1)当 a0 时，关于 x 的方程为 2xb0，此时有序数对(0，1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求；当 a0 时，44ab0，ab1，此时满足要求的有序数对为(1，1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)综上，共有 13 个满足要求的有序数对(2)因为区域 1 与其他 4 个区域都相邻，首先考虑区域 1，有 4 种涂法，然后再按区域2,4 同色和不
13、同色，分为两类：第 1 类，区域 2,4 同色，有 3 种涂法，此时区域 3,5 均有 2 种涂法，共有432248 种涂法；第 2 类，区域 2,4 不同色，先涂区域 2，有 3 种方法，再涂区域 4，有 2 种方法，此时区域 3,5 都只有 1 种涂法，共有 4321124 种涂法根据分类加法计数原理，共有 482472 种满足条件的涂色方法答案 (1)B (2)72与两个计数原理有关问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的问题可分类解决，每类中又可分步完成；也可以直接分步解决；(2)涂色问题可按颜色的种数分类完成；也可以按不同的区域分步完成1(2014遵义模拟)某公司新招聘进 8 名员
14、工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门则不同的分配方案有( )A36 种 B38 种 C108 种 D114 种解析：选 A 分两步完成，第一步分组有 C C C 种方法；第二步分配到两个部门有1 2 2 31 3A 种方法由分步乘法原理得：共有 C C C A 36 种分配方案2 21 2 2 3 1 3 2 22如图所示，将四棱锥 S ABCD 的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有 5 种颜色可供使用，那么不同的染色方法共有_种(以数字作答)解析：由题设，四棱锥 S ABCD 的顶点 S，A，
15、B 所染的颜色互不相同，它们共有54360 种染色方法当 S，A，B 染好时，不妨设其颜色分别为 1,2,3，若 C 染 2，则 D 可染 3 或 4 或 5，有3 种染法；若 C 染 4，则 D 可染 3 或 5，有 2 种染法；若 C 染 5，则 D 可染 3 或 4，有 2 种染法可见，当 S，A，B 已染好时，C，D 还有 7 种染法，故有 607420 种不同的染色方法答案：420课堂归纳通法领悟2 个区别两个计数原理的区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一每类办法都能独立完成这件事它是独立的、一次的且每次得到的是最后的结果，只需一种方法就完成每一步得到的只是其中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步都不可，只
