《【创新设计】2015高考数学（苏教文）一轮配套文档：第3篇第3讲 导数的应用(二)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【创新设计】2015高考数学（苏教文）一轮配套文档：第3篇第3讲 导数的应用(二)（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第 3 讲 导数的应用(二)知 识 梳 理1生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点2利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤3导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究辨 析 感 悟1函数最值与不等式(方程)的关系(1)(教材习题改编)对任意 x0，ax2(3a1)xa0 恒成立的充要条件是 a.()15，)(2)(2011辽宁卷改
2、编)已知函数 f(x)ex2xa 有零点，则 a 的取值范围是(，2ln 22()2关于实际应用问题(3)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式共同确定()(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解()(5)(2014郑州调研改编)已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为 y x381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的13年产量为 9 万件()感悟提升1两个转化一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，如(2)2
3、两点注意一是注意实际问题中函数定义域，由实际问题的意义和解析式共同确定，如(3)二是在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么可直接根据实际意义判定是最大值还是最小值，如(4)；若在开区间内有极值，则一定有最优解.考点一 导数与生活中的优化问题【例 1】 (2013重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000 元( 为圆周率)(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该
4、函数的定义域；(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为 1002rh200rh 元，底面的总成本为160r2元所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意得 200rh160r212 000，所以 h(3004r2)，15r从而 V(r)r2h (300r4r3)5因 r0，又由 h0 可得 r0，故 V(r)在(0,5)上为增函数；当 r(5,5)时，V(r)0，h(x)sin xax(x(0，x0)单调递增，h(x)h(0)0，不合题意当 a0，结合 f(x)与 g(x)的图象可知显然不合题意综上可知，a
5、1.(2)当 a 取(1)中的最小值为 1 时，g(x)f(x)xsin x.设 H(x)xsin x x3(x0)，16则 H(x)1cos x x2.12令 G(x)1cos x x2，12则 G(x)sin xx0(x0)，所以 G(x)1cos x x2在0，)上单调递减，此时 G(x)1cos 12x x2G(0)0，12即 H(x)1cos x x20，12所以 H(x)xsin x x3在 x0，)上单调递减16所以 H(x)xsin x x3H(0)0，16则 xsin x x3(x0)16所以，当 a 取(1)中的最小值时，g(x)f(x) x3.16基础巩固题组(建议用时：
6、40 分钟)一、填空题1已知函数 f(x)x3ax2(a6)x1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是_解析 f(x)3x22ax(a6)，由已知可得 f(x)0 有两个不相等的实根，4a243(a6)0，即 a23a180.a6 或 a3.答案 (，3)(6，)2已知函数 f(x)x2mxln x 是单调递增函数，则 m 的取值范围是_解析 依题意知 x0 时，f(x)，2x2mx1x令 g(x)2x2mx1，x(0，)，当 0 时，g(0)10 恒成立，m0 成立，m4当 0 时，则 m280，2m0，m42综上，m 的取值范围是2，)2答案 2，)23某公司生产某种产品，固定成本为
7、 20 000 元，每生产一单位产品，成本增加 100 元，已知总营业收入 R 与年产量 x 的年关系是 RR(x)Error!Error!则总利润最大时，每年的产量是_解析 由题意得，总成本函数为 CC(x)20 000100x，总利润 P(x)Error!Error!又 P(x)Error!Error!令 P(x)0，得 x300，易知 x300 时，总利润 P(x)最大答案 3004要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为 72 cm3，其底面两邻边长之比为 12，则它的长为_，宽为_，高为_时，可使表面积最小解析 设底面宽为 x cm，则长为 2x cm，高为 cm，722x2S4x
8、24x2.72x144x216xS8x0，解得 x3 (cm)216x2长为 6 cm，宽为 3 cm，高为 4 cm.答案 6 cm 3 cm 4 cm5若关于 x 的不等式 x33x29x2m 对任意 x2,2恒成立，则 m 的取值范围是_解析 令 f(x)x33x29x2，则 f(x)3x26x9，令 f(x)0，得x1 或 3(舍去)f(1)7，f(2)0，f(2)20.f(x)的最小值为 f(2)20，故 m20.答案 (，206(2013潍坊模拟)已知函数 yf(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，g(x)为增函数1g(30.3)g(log3)，即 cab.答案 cab二
9、、填空题7(2013湖南十二校测试)已知函数 f(x)的定义域为1,5，部分对应值如下表：x10245y12021f(x)的导函数 yf(x)的图象如图所示(1)f(x)的极小值为_；(2)若函数 yf(x)a 有 4 个零点，则实数 a 的取值范围是_解析 (1)由 yf(x)的图象可知：x(1,0)0(0,2)2(2,4)4(4,5)f(x)000f(x)极大值极小值极大值f(2)为 f(x)的极小值且 f(2)0.(2)yf(x)的大致图象如图所示：若函数 yf(x)a 有 4 个零点，则 a 的取值范围是1,2)答案 (1)0 (2)1,2)8(2014开封一模)已知函数 f(x)ax
10、33x1 对 x(0,1总有 f(x)0 成立，则实数 a 的取值范围是_ .解析 当 x(0,1时不等式 ax33x10 可化为 a，设 g(x)3x1x3，x(0,1，3x1x3g(x).3x33x13x2x66(x12)x4g(x)与 g(x)随 x 的变化情况如下表：x(0，12)12(12，1)g(x)0g(x)极大值 4因此 g(x)的最大值为 4，则实数 a 的取值范围是4，)答案 4，)二、解答题9设函数 f(x) x2exxex.12(1)求 f(x)的单调区间；(2)若当 x2,2时，不等式 f(x)m 恒成立，求实数 m 的取值范围解 (1)函数 f(x)的定义域为(，)
11、，f(x)xex(exxex)x(1ex)，若 x0，则 1ex0，所以 f(x)0；若 x0，则 1ex0，所以 f(x)0；当 x0 时，f(x)0，当 x(，)时，f(x)0.f(x)在(，)上为减函数，即 f(x)的单调减区间为(，)(2)由(1)知，f(x)在2,2上单调递减f(x)minf(2)2e2，m2e2时，不等式 f(x)m 恒成立故实数 m 的取值范围是(，2e2)10(2014青岛一模)设函数 f(x)ln x，g(x)ax ，函数 f(x)的图象与 x 轴的bx交点也在函数 g(x)的图象上，且在此点有公切线(1)求 a，b 的值；(2)试比较 f(x)与 g(x)的
12、大小解 (1)f(x)ln x 的图象与 x 轴的交点坐标是(1,0)，依题意，得 g(1)ab0，又 f(x) ，g(x)a，1xbx2又 f(x)与 g(x)在点(1,0)处有公切线，g(1)f(1)1，即 ab1，由得 a ，b .1212(2)令 F(x)f(x)g(x)，则F(x)ln xln x x(x0)，(12x12x)1212xF(x) 20.1x1212x212(1x1)F(x)在(0，)上为减函数，且 F(1)0，当 0x1 时，F(x)F(1)0，即 f(x)g(x)；当 x1 时，F(x)F(1)0，即 f(x)g(x)；当 x1 时，F(x)F(1)0，即 f(x)
13、g(x)综上可知，当 0x1 时，即 f(x)g(x)；当 x1 时，即 f(x)g(x)能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、填空题1(2014洛阳统考)若函数 f(x)2x39x212xa 恰好有两个不同的零点，则a 可能的值为_4；6；7；8.解析 由题意得 f(x)6x218x126(x1)(x2)，由 f(x)0 得 x1 或x2，由 f(x)0 得 1x2，所以函数 f(x)在(，1)，(2，)上单调递增，在(1,2)上单调递减，从而可知 f(x)的极大值和极小值分别为 f(1)，f(2)，若欲使函数 f(x)恰好有两个不同的零点，则需使 f(1)0 或 f(2)0，解得 a5
14、或a4.答案 2(2014深圳中学检测)已知对任意实数 x，都有 f(x)f(x)，g(x)g(x)，且 x0 时，f(x)0，g(x)0，则 x0 时，f(x)_0，g(x)_0.解析 由题意知 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数当 x0 时，f(x)，g(x)都单调递增，则当 x0 时，f(x)单调递增，g(x)单调递减，即 f(x)0，g(x)0.答案 3(2014佛山模拟)设 0a1，函数 f(x)x，g(x)xln x，若对任意的a2xx1，x21，e，都有 f(x1)g(x2)成立，则实数 a 的取值范围是_解析 f(x)1，当 0a1，且 x1，e时，f(x)0，f(x)a2x2x2a2x2在1，e上是增函数，f(x1)minf(1)1a2，又 g(x)1 (x0)，易求 g(x)1x0，g(x)在1，e上是增函数，g(x2)maxg(e)
