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1、第七章第七章 不等式不等式知识网络知识网络第第 1 讲讲 不等关系与不等式不等关系与不等式 知知 识识 梳理梳理 1.比较原理： 两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：ab;a至多 小于至少 大于等于不少于 小于等于不多于题型 2 用:比较法两个数的大小例 2. 比较与（其中，）的大小am bm a b0ba0m 【解题思路】作差整理,定符号解析：，()()() ()()amab ama bmm ba bmbb bmb bm，所以0ba0m ()0()m ba b bmama bmb【名师指引】作差比较法的步骤是： 1、作差；2、变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等； 3、判断符
2、号；4、作出结论 【新题导练】.1.设 a=2，b=2，c=52，则 a、b、c 之间的大小关系为_.555解析：a=2=0，b0.c=52=0.54552520bc=37=0.cba.答案：cba545492. 如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多 19 km，那么在 8 天内它的行程就超过 2 200 km， 如果它每天行驶的路程比原来少 12 km，那么它行驶同样的路程得花 9 天多的时间，这辆汽 车原来每天行驶的路程(km)范围是_. 解析：解析：这辆汽车原来每天行驶的路程为 x km，则解之,得 256x260.答案：答案：256x260 19),8(x12)-9(x200, 219)
3、8(x考点 2 不等式的性质题型：验证或推导简单不等式的有关结论 例 1. 已知：mn，ab，求证：manb. 【解题思路】以不等式的性质为基础，进行推导 证法一：由mn知mn0，由ab知ba0. （ma）（nb）（mn）（ba）0manb； 证法二：ab ab 又mn m（a）n（b） manb. 【名师指引】不等式的性质中,有“单向性”和“双向性”的区别,切记随心所欲、自创性质例 2.已知下列三个不等式0ab ;cd ab;bcad,以其中两个作为条件,余下一个作结论,则可组成几个正确命题. 【解题思路】以比较法为基础进行变形解析(1)对变形0cdbcad abab,由0,abbcad得成
4、立,.(2)若0,0bcadabab,则bcad,.(3)若,0bcadacbdab,则0ab ,. 综上所述可组成 3 个正确命题. 【名师指引】注意运用性质时须满足的条件,如ab时,判断ac与bc的大小关系应注 意从0,0,0ccc三个方面讨论. 【新题导练】. 3若 ab0，则下列不等式不能成立的是A.B.2a2ba1 b1C.|a|b|D.（）a（）b21 21解析：由 ab0 知 ab0，因此 ab，即成立；ab1 ab1 a1 b1由 ab0 得ab0，因此|a|b|0 成立.又（）x是减函数，所以（）a（）b成立.21 21 21故不成立的是 B. 答案：B4. 已知四个条件，b
5、0a 0ab a0b ab0 能推出成立的有( )ba11A.1 个 B.2 个C.3 个 D.4 个解析：运用倒数法则，ab，ab0，、正确.又正数大于负数，故选.ba11考点 3 不等式性质综合应用 题型 1.用比较法证函数的单调性 例 1. （广东省揭阳二中 2011 届高三上学期期中考试）已知函数的定义域为对定义域内的任意、，都有( )f x,0x xRx且1x2x1212()()(),1( )0,(2)1.f xxf xf xxf xf且当时（1）求证：是偶函数；( )f x（2）求证：在上是增函数；( )f x(0,)（3）解不等式2(21)2.fx 【解题思路】证明抽象函数的单调
6、性通常是用单调性的定义结合比较法.解析；（1）证明 因对定义域内的任意、都有1x2x，则有121212()()(),1f xxf xf xxx x 令2 分()( )( 1)fxf xf又令 121,2 ( 1)(1)xxff 得再令 121,(1)0,( 1)0,xxff得从而于是有 ()( ),( )fxf xf x所以是偶函数（2）设 2 121211 10()()()( .)xxxf xf xf xf xx，则22 11 11( )( )()(),xxf xf xffxx 由于从而， 2 12 10,1,xxxx所以21()0xfx故上是增函数 （3）由于1212()()0()(),(
7、 )(0,)f xf xf xf xf x，即所以在(2)1,21 1(2)(2)(4),ffff 所以于是待解不等式可化为， 结合（1） （2）已证结论，可得上式等价2(21)(4)fxf于 2214x 解得 1010,022xxx且【名师指引】 作差法、作商法以及函数的单调性是比较大小的常用方法.运用不等式性 质时应从结论出发, 寻找解题的切入点.题型 2.用比较法处理数列中的不等关系.例 2. （广东省揭阳市（广东省揭阳市 20102010 年高中毕业班高考调研测试改编）年高中毕业班高考调研测试改编）已知数列满足，且。na12n nana0na （1）求数列的通项公式；na（2）数列是否
8、存在最大项？若存在最大项，求出该项和相应的项数；若不存在，说na明理由。【解题思路】先由递推关系求通项公式，再用比较法判断数列的单调性解：（1）由得-12n nana2210nnana 由一元二次方程求根公式得24412nnnann 0na 1nann (2) 解： 1nann 121 1nnann ann (21)(21)(1) (21)(1)(1)nnnnnn nnnnnn 1 21nn nn ,，nN121nnnn 11nna a0na 即1,nnaa nN 1231nnaaaaaUfrFTL数列有最大项，最大项为第一项。na121a 【名师指引】借助于比较法验证数列的单调性进而数列的不
9、等关系是近年高考的热点之一.【新题导练】5. 已知是定义在上的奇函数，且，若、，有)(xf 1 , 11) 1 (fab 1 , 10ba；0)()( babfaf（1） 、判断函数在上的单调性，并证明你的结论；)(xf 1 , 1（2） 、若对所有的、恒成立，求实数的取值范)(xf122 ammx 1 , 1a 1 , 1m围。解：（1） 、依题意，令，且、，则21xx 1x 1 , 12x，则函数在上的单调增。)()(0)()()(21 2121xfxfxxxfxf)(xf 1 , 1（2） 、依题意，在上的最大值为 1，则对恒成)(xf 1 , 11122 amma 1 , 1立，对恒成
10、立，02)(2mmaaga 1 , 1或或。202) 1 (02) 1(22 mmmgmmg2m0m6. 已知等差数列an的公差大于 0，且 a3，a5是方程 x214x450 的两根，数列bn的前 n项和为 Sn，且 Sn1 bn.12(1)求数列an、bn的通项公式； (2)记 cnanbn，求证：cn1cn. 解：(1)因为 a3，a5是方程 x214x450 的两根，且数列an的公差 d0，a35，a59，从而 d29553ana5(n5)d2n1 又当 n1 时，有 b1S11 b1，b11223当 n2 时，有 bnSnSn1 (bn1bn)12(n2)bnbn113数列bn是等比数列，且 b1 ，q2313bnb1qn1； 23n(2)由(1)知：cnanbn，cn1 2(2n1)3n2(2n1)3n1cn1cn0 cn1cn. 2(2n1)3n12(2n1)3n8(1n)3n1
