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1、第第 4 4 讲讲 基本不等式基本不等式 知知 识识 梳理梳理 1.基本形式:, a bR,则222abab;0,0ab,则2abab,当且仅当ab时等号 成立.2 求最值:当ab为定值时,22,a b ab有最小值;当a b或22ab为定值时,ab有最大值(0,0ab).3.拓展：若0,0ab时,222 1122abababab ,当且仅当ab时等号成立. 重重 难难 点点 突突 破破 1.1.重点重点：理解基本不等式等号成立条件，掌握用基本不等式证明不等式2abab会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.2.难点：难点：利用基本不等式求最大值、最小值2abab3.重难点：重难点：正确运用
2、基本不等式证明不等式，会用基本不等式求某些函数的最值(1) 灵活运用基本不等式处理不等关系问题 1. 已知正数 x、y 满足 x+2y=1，求+的最小值.x1 y1点拨：x、y 为正数，且 x+2y=1，+=（x+2y） （+）x1 y1 x1 y1=3+3+2，xy2 yx2当且仅当=，即当 x=1，y=1时等号成立.xy2 yx222+的最小值为 3+2.x1 y12（2）注意取等号的条件问题 2. 已知两正数 x,y 满足 x+y=1,则 z=的最小值为 。11()()xyxy点拨：点拨：错解 1、因为对 a0,恒有,从而 z=4,所以 z 的最小值是 4。12aa11()()xyxy错
3、解 2、，所以 z 的最小222222()22x yxyzxyxyxyxyxy22( 21) 值是。2( 21)错因分析：解一等号成立的条件是相矛盾。解11,11,1xyxyxyxy且即且与二等号成立的条件是，与相矛盾。2,2xyxyxy即104xy解析：z=，令11()()xyxy1yxxyxyxy21()222xyxyxyxyxyxyxyt=xy, 则，由在上单调递减,故当 t=时 210()24xytxy 2( )f ttt 10,41 4有最小值,所以当时 z 有最小值。2( )f ttt 33 41 2xy25 4 热热 点点 考考 点点 题题 型型 探探 析析 考点 1 利用基本不
4、等式求最值(或取值范围) 题型 1. 当积为定值时,求和最小值abab例 1 . 已知0,0xy且满足281xy,求xy的最小值.【解题思路】利用，构造均值不等式281xy解析：2828() 1() ()28yxxyxyxyxyxy ,0,0xy,280,0yx xy102 1618xy,当且仅当28yx xy时等号成立,即224yx,2yx,又281xy, 6,12xy 当6,12xy时,xy有最小值 18.【名师指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件题型 2. 当和为定值时, 求积最大值
5、abab例 2. 已知 x0，y0，且 3x+4y=12，求 lgx+lgy 的最大值及此时 x、y 的值 【解题思路】这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现. 应将lgx+lgy 转化成 lgxy 考虑解析x0，y0，3x+4y=12， ，yxxy431213243 1212 yxlgx+lgy=lgxylg3 由 解得 yxyxyx4312430, 0232yx当 x=2，y=时，lgx+lgy 取得最大值 lg3 23【名师指引】利用基本不等式求最值是高考中最常考的方法之一题型 3.灵活运用基本不等式求取值范围例 3. 若正数 a，b 满足 ab=a+b+3，则 ab
6、 的取值范围是_ 【解题思路】可通过多种途经将等式化为可利用重要不等式的不等关系求解解法一 由 a、bR+，由重要不等式得 a+b2，ab则 ab=a+b+32+3，ab即3，32abab) 1)(3(0ababab0 ab9 解法二 a、b 为正数， ab=a+b+30，333ab两边立方得 a3b334aba2b234，ab0，ab9 解法三 原条件式变为 ab-3=a+b， a、b 均为正数，故式两边都为正数，两边平方得a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab， a2+b22ab， a2b2-6ab+94ab，即 a2b2-10ab+90，(ab-1)(ab-9)0，由式可知 ab3，
7、ab9 解法四 把 a、bR+看作一元二次方程的两个根，此方程为x2+(3-ab)x+ab=0，则=(3-ab)2-4ab0，即 (ab)2-10ab+90， (ab-9)(ab-1)0，ab-1=a+b+20 成立， ab9 解法五 由已知得 a(b-1)=b+3，显然 a1， ，13 bba，514114) 1(5) 1( 132 bbbbb bbbab9542即 ab9 【名师指引】本题用了转化思想（等式转化为不等式） 、方程思想、函数思想，这是解决数学问题经常用的思想方法【新题导练】1.若1x，则x=_时,11 xx有最小值，最小值为_.解析:1x, 01x, 011x,11xx=11
8、11xx 12 (1)11xx2 11 ，当且仅当111xx即0x时1)11(minxx.2. .(2011华附期末)已知,*41x yRxy, 且,则11 xy的最小值为 解析:9454411*,yx xy yyx xyx yxRyx，当且仅当61,31yx时取等号.3. 已知一动直线 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积的数值比直线 的纵、横截距之ll和大 1，求这三角形面积的最小值解析： 设直线 的方程（a0，b0） ，则，a+b2，l1by ax121baabab，即0，解得，ab2112ab24)(2ababab62UO，当 a=b=2+时，三角形面积的最小值为 5+2ab212)6
9、2(2166考点 2 利用基本不等式证明 题型：用综合法证明简单的不等式例 1.已知, ,a b cR,求证:222abcabbcca. 【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体.解析 2222222,2,2abab bcbc acac,相加整理得222abcabbcca.当且仅当abc时等号成立. 【名师指引】综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一结 论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形.例 2. 已知 a，b 为正数，求证：abbaba 【解题思路】观察结构用基本不等式加以证明.解析 1： a0，b0， ，bbaabba22，aabbaab22两
10、式相加，得，aabbbaba22 abbaba 解析 2. abbbaababaabba )(abba22)(ba abbaba 解析 3. a0，b0，0ba 欲证 ，abbaba 即证 ，babbaaba 只要证 ，bbaaabba只要证 ，2)(bbaa2)(abba即证 ，ababba233222abababba只要证 a3+b3ab(a+b)，只要证 a2+b2-abab，即证 (a-b)20 (a-b)20 成立， 原不等式成立 【名师指引】当要证明的不等式形式上比较复杂时，常通过分析法寻求证题思路“分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法，特别是这两种方法的综合运用能力，对
11、解决实际问题有重要的作用 这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法【新题导练】4.已知, a bR,求证:221ababab 解析：222()20ababab 222abab 又212aa 212bb 由得22222222ababab 221ababab ,又不等式 、中等号成立的条件分别为ab ,1,1ab,故不能同时成立,从而221ababab .5.设 x0,y0 且 xy,求证21 2231 33yxyx证明：由 x0,y0 且 xy,要证明21 2231 33yxyx只需 即 322233yxyx22223332yxyxyx只需222yxxy由条件,显然成立.原不等式成立 考点 3
12、 基本不等式在实际中的应用 题型 1.处理恒成立的有关问题例 1. (2011中山一模)若, x yR,且xya xy恒成立,则a的最小值是_【解题思路】分离系数得令求最大值即可xyaxy( , )xyf x yxy解析: 事实上求函数( , )xyf x yxy的最大值,即2()2( , )1xyxyf x yxyxy的最大值,运用基本不等式不难得到2a . 【名师指引】分离系数法是处理参数取值范围的常用方法.题型 2.处理函数应用题 例 2.(2010梅县质检一）某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产x千件,需另投入成本为( )C x.当年产量不足 80 千件时,21( )1
13、03C xxx(万元);当年产量不小于 80 千件时,10000( )511450C xxx(万元).每件商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. (1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?【解题思路】凑出基本不等式的形式.解析: (1)当080x时,2211( )0.05 1000102504025033L xxxxxx 当80x 时,1000010000( )0.05 10005114502501200()L xxxxxxFhirZM2140250,0803( )100001200
14、(),80xxx L x xxx (2)当080x时,21( )(60)9503L xx ,此时,当60x 时,( )L x取得最大值(60)950L(万元);当80x 时,1000010000( )1200()1200212002001000L xxxxx此时,当10000xx时,即100x 时,( )L x取得最大值 1000 万元.所以,当产量为 100 千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为 1000 万元.【名师指引】形如函数(0)pyxpx的形式求最值时可考虑用基本不等式，但要注意条件的限制,可借助函数的图像解题，必要时借助于导数. 题型 3.处理数列应用题 例 3. 某乡为提高当地群众的生活水平,由政府投资兴建了甲、乙两个企业,2007 年该乡从甲 企业获得利润 320 万元,从乙企业获得利润 720
