《2016届《步步高》高考数学大一轮总复习（人教新课标文科）配套学案5 函数的单调性与最值 word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016届《步步高》高考数学大一轮总复习（人教新课标文科）配套学案5 函数的单调性与最值 word版含解析（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学案学案 5 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 导学目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调 性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值自主梳理 1单调性 (1)定义：一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任 意两个自变量 x1，x2，当 x1f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是 _ (2)单调性的定义的等价形式：设 x1，x2a，b，那么(x1x2)(f(x1)f(x2)00f(x)在a，b上是_；(x1x2)(f(x1)f(x2)fx1fx2x1x20)在 (，)，(，)上是单调_；在
2、(，0)，axaaa(0，)上是单调_；函数 yx (af(a) 3下列函数在(0,1)上是增函数的是 ( ) Ay12xByx1Cyx22xDy5 4(2011合肥月考)设(a，b)，(c，d)都是函数 f(x)的单调增区间，且 x1(a，b)， x2(c，d)，x1f(x2) Cf(x1)f(x2)D不能确定 5当 x0,5时，函数 f(x)3x24xc 的值域为 ( )Ac,55cB c，c43C c,55cDc,20c43探究点一 函数单调性的判定及证明例 1 设函数 f(x)(ab0)，求 f(x)的单调区间，并说明 f(x)在其单调区间上的单调xaxb 性变式迁移 1 已知 f(x
3、)是定义在 R 上的增函数，对 xR 有 f(x)0，且 f(5)1，设 F(x)f(x)，讨论 F(x)的单调性，并证明你的结论1fx探究点二 函数的单调性与最值例 2 (2011烟台模拟)已知函数 f(x)，x1，)x22xax(1)当 a 时，求函数 f(x)的最小值；12 (2)若对任意 x1，)，f(x)0 恒成立，试求实数 a 的取值范围变式迁移 2 已知函数 f(x)x 在(1，)上是增函数，求实数 a 的取值范围axa2探究点三 抽象函数的单调性 例 3 (2011厦门模拟)已知函数 f(x)对于任意 x，yR，总有 f(x)f(y)f(xy)，且当 x0时，f(x)1 时，x
4、1x2 f(x)2 时，由图可知，f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1.综上，(1)当 a2 时，f(x)min34a，f(x)max1.12 分【突破思维障碍】 (1)二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的故只需确定对称轴与区间的关系由 于对称轴是 xa，而 a 的取值不定，从而导致了分类讨论 (2)不是应该分 a2 三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？这是由于抛 物线的对称轴在区间0,2所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是 f(0)，也有可能是 f(2)1函数的单调性的判定与单调区间的确定常用方法有：(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)单
5、调性的运算性质2若函数 f(x)，g(x)在区间 D 上具有单调性，则在区间 D 上具有以下性质：(1)f(x)与 f(x)C 具有相同的单调性(2)f(x)与 af(x)，当 a0 时，具有相同的单调性，当 af(a)，则实数 a 的取值范围是 ( ) A(，1)(2，) B(1,2) C(2,1) D(，2)(1，) 3(2009宁夏，海南)用 mina，b，c表示 a，b，c 三个数中的最小值设 f(x) min2x，x2,10x(x0)，则 f(x)的最大值为 ( ) A4B5C6D74(2011丹东月考)若 f(x)x22ax 与 g(x)在区间1,2上都是减函数，则 a 的ax1
6、取值范围是 ( ) A(1,0)(0,1)B(1,0)(0,1 C(0,1)D(0,1 5(2011葫芦岛模拟)已知定义在 R 上的增函数 f(x)，满足 f(x)f(x) 0，x1，x2，x3R，且 x1x20，x2x30，x3x10，则 f(x1)f(x2)f(x3)的值 ( ) A一定大于 0B一定小于 0 C等于 0D正负都有可能 题号12345 答案 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6函数 y(x3)|x|的递增区间是_ 7设 f(x)是增函数，则下列结论一定正确的是_(填序号) yf(x)2是增函数；y是减函数；1fxyf(x)是减函数； y|f(x)|是增函数8设 0
7、0 成立fafbab (1)判断 f(x)在1,1上的单调性，并证明它；(2)解不等式：f(x )a，f(x)在 R 上单调递增，f(a21)f(a)3C 常数函数不具有单调性4D 在本题中，x1，x2不在同一单调区间内，故无法比较 f(x1)与 f(x2)的大小5C f(x)3(x )2 c，x0,5，当 x 时，f(x)min c；当 x5 时，f(x)23432343max55c. 课堂活动区 例 1 解题导引 对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为：取点，作差或作商，变形，判断)来求解可导函数则可以利用导数求解有些函数可以转化为两个或多个
8、基本初等函数，利用其单调性可以方便求解解 在定义域内任取 x1，x2，且使 x10，yf(x2)f(x1)x2ax2bx1ax1bx2ax1bx2bx1ax1bx2b.bax2x1x1bx2bab0，baf(x1)，F(x2)F(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)1，1fx21fx11fx1fx2f(x)是 R 上的增函数，且 f(5)1， 当 x5 时 f(x)1； 若 x1x15，则 f(x2)f(x1)1，f(x1)f(x2)1，10，1fx1fx2F(x2)F(x1) 综上，F(x)在(，5)为减函数，在(5，)为增函数例 2 解 (1)当 a 时，f(x)x2，1212x
9、设 x1，x21，)且 x10，12x1x2f(x1)f(x2)0 恒成立，等价于 x22xa0 恒成x22xax立设 yx22xa，x1，)，yx22xa(x1)2a1 递增，当 x1 时，ymin3a，于是当且仅当 ymin3a0 时，函数 f(x)恒成立，故 a3.方法二 f(x)x 2，x1，)，ax当 a0 时，函数 f(x)的值恒为正，满足题意，当 a0 时，函数 f(x)0 恒成立，故 a3.方法三 在区间1，)上 f(x)0 恒成立等价于 x22xa0 恒成立x22xax即 ax22x 恒成立又x1，)，ax22x 恒成立，a 应大于函数 ux22x，x1，)的最大值ax22x
10、(x1)21.当 x1 时，u 取得最大值3，a3.变式迁移 2 解 设 10，即 ax1x2恒成立ax1x211，x1x2x2，则 f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0 时，f(x)0，f(x1x2)0，代入得 f(1)f(x1)f(x1)0，故 f(1)0.(2)任取 x1，x2(0，)，且 x1x2，则1，x1x2由于当 x1 时，f(x)0 时，由 f(|x|)9；当 x9，故 x9 或 xa，解得20 时，它有两个减区间为(，1)和(1，)，故只需区间1,2是 f(x)和 g(x)的减区间的子集即可，则 a 的取值范围
11、是 00，x2x30，x3x10，x1x2，x2x3，x3x1.又f(x1)f(x2)f(x2)，f(x2)f(x3)f(x3)，f(x3)f(x1)f(x1)，f(x1)f(x2)f(x3)f(x2)f(x3)f(x1)f(x1)f(x2)f(x3)0.60， 32解析 yError!.画图象如图所示：可知递增区间为0， 327 解析 举例：设 f(x)x，易知均不正确84解析 y ，当 00，x2x10.f(x1)f(x2)(a)(a)1x11x20，1x21x2h(x)在(1，)上单调递增(10 分)故 ah(1)，即 a3.a 的取值范围为(，3(12 分)10解 设 f(x)的最小值
12、为 g(a)，则只需 g(a)0，由题意知，f(x)的对称轴为 .a2(1)当 4 时，a2g(a)f(2)73a0，得 a .73又 a4，故此时的 a 不存在(4 分)(2)当 2,2，即4a4 时，a2g(a)f( )3a0 得6a2.a2a24又4a4，故4a2.(8 分)(3)当 2，即 a0，x1x20，fx1fx2x1x2f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)f(x)在1,1上单调递增(4 分)(2)f(x)在1,1上单调递增，Error! x1.(9 分)32(3)f(1)1，f(x)在1,1上单调递增在1,1上，f(x)1.(10 分)问题转化为 m22am11，即 m22am0，对 a1,1成立下面来求 m 的取值范围设 g(a)2mam20.若 m0，则 g(a)00，自然对 a1,1恒成立若 m0，则 g(a)为 a 的一次函数，若 g(a)0，对 a1,1恒成立，必须 g(1)0，且 g(1)0，m2，或 m2.m 的取值范围是 m0 或|m|2.(14 分)
