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1、8.7 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法(二二)求空求空间角和距离间角和距离1.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线 l1，l2的方向向量分别为 m1，m2，则 l1与 l2所成的角 满足 cos |cosm1，m2|.(2)设直线 l 的方向向量和平面 的法向量分别为 m，n，则直线 l 与平面 所成角 满足sin |cosm，n|.(3)求二面角的大小1如图，AB、CD 是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小，.ABCD2如图，n1，n2分别是二面角 l 的两个半平面 ， 的法向量，则二面角的大小 满足 cos cosn1，n2或cosn1，n2.2.点面距
2、的求法如图，设 AB 为平面 的一条斜线段，n 为平面 的法向量，则 B 到平面 的距离 d.|ABn|n|1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( )(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( )(4)两异面直线夹角的范围是(0， ，直线与平面所成角的范围是0， ，二面角的范围是220，.( )(5)直线 l 的方向向量与平面 的法向量夹角为 120，则 l 和 所成角为 30.( )(6)若二面角 a 的两个半平面 、 的法向量 n1，n2所成
3、角为 ，则二面角 a的大小是 .( )2.已知二面角 l 的大小是 ，m，n 是异面直线，且 m，n，则 m，n 所成的角为3( )A.B.C.D.23326答案 B解析 m，n，异面直线 m，n 所成的角的补角与二面角 l 互补.又异面直线所成角的范围为(0， ，2m，n 所成的角为 .33.在空间直角坐标系 Oxyz 中，平面 OAB 的一个法向量为 n(2，2,1)，已知点 P(1,3,2)，则点 P 到平面 OAB 的距离 d 等于( )A.4B.2C.3D.1答案 B解析 P 点到平面 OAB 的距离为d2，故选 B.|OPn|n|262|94.若平面 的一个法向量为 n(4,1,1
4、)，直线 l 的一个方向向量为 a(2，3,3)，则 l 与 所成角的正弦值为_.答案 4 1133解析 na8338，|n|3，16112|a|，49922cosn，a.na|n|a|83 2 224 1133又 l 与 所成角记为 ，即 sin |cosn，a|.4 11335. P 是二面角 AB 棱上的一点，分别在平面 、 上引射线 PM、PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角 AB 的大小为_.答案 90解析 不妨设 PMa，PNb，如图，作 MEAB 于 E，NFAB 于 F，EPMFPN45，PEa，PFb，2222()()EMFNPMPEPNPFPMPNPMPFPE
5、PNPEPFabcos 60abcos 45abcos 45ab222222220，ab2ab2ab2ab2，EMFN二面角 AB 的大小为 90.题型一 求异面直线所成的角例 1 长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E 为 CC1的中点，则异面直线BC1与 AE 所成角的余弦值为( )A.B.C.D.101030102 15103 1010思维启迪 本题可以通过建立空间直角坐标系，利用向量、所成的角来求.BC1AE答案 B解析 建立坐标系如图，则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2).(1,0,2)，(1,2,1)，BC1AEcos，
6、 .BC1AEBC1AE|BC1|AE|3010所以异面直线 BC1与 AE 所成角的余弦值为.3010思维升华 用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是 ，两向量的夹角 的范围是0，所以要注(0，2意二者的区别与联系，应有 cos |cos |.已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 为正方形，AA12AB，E为 AA1的中点，则异面直线 BE 与 CD1所成角的余弦值为( )A.B.C.D.1010153 101035答案 C解析 如图，以 D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.设 AA12AB2，则 B(1,
7、1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)，(0，1,1)， BE(0，1,2)，CD1cos，.BECD1122 53 1010题型二 求直线与平面所成的角例 2 如图，已知四棱锥 PABCD 的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 的中点.(1)证明：PEBC；(2)若APBADB60，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值.思维启迪 平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面 PEH 的法向量.(1)证明 以 H 为原点，HA，HB，HP 所在直线分别为 x，y，
8、z 轴，线段 HA 的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图)，则 A(1,0,0)，B(0,1,0).设 C(m,0,0)，P(0,0，n) (m0)，则 D(0，m,0)，E.(12，m2，0)可得，(m，1,0).PE(12，m2，n)BC因为 00，所以 PEBC.PEBCm2m2(2)解 由已知条件可得 m，n1，33故 C，D，E，(33，0，0)(0，33，0)(12，36，0)P(0,0,1).设 n(x，y，z)为平面 PEH 的法向量，则Error!Error!即Error!Error!因此可以取 n(1， ，0).又(1,0，1)，3PA所以|cos，n|.PA24所以直
9、线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为.24思维升华 利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.(2013湖南)如图，在直棱柱 ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值.方法一 (1)证明 如图，因为 BB1平面 ABCD，AC平面ABCD，所以 ACBB1.又 ACBD，所以 AC平面 BB1
10、D，而 B1D平面 BB1D，所以 ACB1D.(2)解 因为 B1C1AD，所以直线 B1C1与平面 ACD1所成的角等于直线 AD 与平面 ACD1所成的角(记为 ).如图，连接 A1D，因为棱柱 ABCDA1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90，所以 A1B1平面 ADD1A1，从而 A1B1AD1.又 ADAA13，所以四边形 ADD1A1是正方形.于是 A1DAD1，故 AD1平面 A1B1D，于是 AD1B1D.由(1)知，ACB1D，所以 B1D平面 ACD1.故ADB190，在直角梯形 ABCD 中，因为 ACBD，所以BACADB.从而 RtABCRtDAB，故，A
11、BDABCAB即 AB.DABC3连接 AB1，易知AB1D 是直角三角形，且 B1D2BB BD2BB AB2AD221，即2 12 1B1D.21在 RtAB1D 中，cosADB1，ADB1D321217即 cos(90).从而 sin .217217即直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值为.217方法二 (1)证明 易知，AB，AD，AA1两两垂直.如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空 间直角坐标系.设 ABt，则相关各点的坐标为 A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)，
12、D(0,3,0)，D1(0,3,3).从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0).B1DACBD因为 ACBD，所以t2300，ACBD解得 t或 t(舍去).33于是(，3，3)，(，1,0)，B1D3AC3因为3300，ACB1D所以，即 ACB1D.ACB1D(2)解 由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)， AD1AC3(0,1,0).B1C1设 n(x，y，z)是平面 ACD1的一个法向量，则Error!Error!，即Error!Error!令 x1，则 n(1，).33设直线 B1C1与平面 ACD1所成角为 ，则sin |cosn，|.B1C1|nB1C1|n|B1C
13、1|37217即直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值为.217题型三 求二面角例 3 (2013课标全国)如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别是 AB，BB1的中点，AA1ACCBAB.22(1)证明：BC1平面 A1CD；(2)求二面角 DA1CE 的正弦值.思维启迪 根据题意知ACB90，故 CA、CB、CC1两两垂直，可以 C 为原点建立空间直角坐标系，利用向量求二面角.(1)证明 连接 AC1交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1的中点.又 D 是 AB 的中点，连接 DF，则 BC1DF.因为 DF平面 A1CD，BC1平面 A1CD，所以 BC1平面 A1C
14、D.(2)解 由 ACCBAB 得，ACBC.22以 C 为坐标原点，的方向为 x 轴正方向，的方向为 y 轴正方CACB向，的方向为 z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系CC1Cxyz.设 CA2，则 D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)， (1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2).CDCECA1设 n(x1，y1，z1)是平面 A1CD 的法向量，则Error!Error!即Error!Error!可取 n(1，1，1).同理，设 m 是平面 A1CE 的法向量，则Error!Error!可取 m(2,1，2).从而 cosn，m，故 sinn，m.nm|n|m|3363即二面角 DA1CE 的正弦值为.63思维升华 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.如图，在圆锥 PO 中，已知 PO，O 的直径 AB2，2C 是的中点，D 为 AC 的中点.AB(1)证明：平面 POD平面 PAC；(2)求二面角 BPAC 的
