《2015届高三数学北师大版（通用，理）总复习讲义 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高三数学北师大版（通用，理）总复习讲义 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件命题及其关系、充分条件与必要条件1命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题2 四种命题及相互关系3 四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系4 充分条件与必要条件(1)如果 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；(2)如果 pq，qp，则 p 是 q 的充要条件1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“x22x31”是真命题B逆命题“若 m1，则函数 f(x)exmx 在
2、(0，)上是增函数”是假命题C逆否命题“若 m1，则函数 f(x)exmx 在(0，)上是减函数”是真命题D逆否命题“若 m1，则函数 f(x)exmx 在(0，)上不是增函数”是真命题思维启迪 (1)可化简复数 z，再利用复数的知识判断命题真假；(2)利用四种命题的定义判断四种命题形式是否正确，可利用四种命题的关系判断命题是否为真答案 (1)C (2)D解析 (1)z1i，21i21i1i1i所以|z|，p1为假命题；z2(1i)2(1i)22i，p2为真命题， 1i，p3为2z假命题；p4为真命题故选 C.(2)命题“若函数 f(x)exmx 在(0，)上是增函数，则 m1”是真命题，所以
3、其逆否命题“若 m1，则函数 f(x)exmx 在(0，)上不是增函数”是真命题思维升华 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)判断一个命题为假命题可举反例(1)命题“若 ，则 cos ”的逆命题是( )312A若 ，则 cos 312B若 ，则 cos 312C若 cos ，则 123D若 cos ，则 123(2)命题“若 x，y 都是偶数，则 xy 也是偶数”的逆否命题是( )A若 xy 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数B若 x
4、y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数C若 xy 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数D若 xy 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数答案 (1)C (2)C解析 (1)命题“若 ，则 cos ”的逆命题是312“若 cos ，则 ” 123(2)由于“x，y 都是偶数”的否定表达是“x，y 不都是偶数” ， “xy 是偶数”的否定表达是“xy 不是偶数” ，故原命题的逆否命题为“若 xy 不是偶数，则 x，y 不都是偶数” ，故选 C.题型二 充要条件的判定例 2 已知下列各组命题，其中 p 是 q 的充分必要条件的是( )Ap：m2 或 m6；q：yx2mxm3 有两个不同的零点Bp：1；
5、q：yf(x)是偶函数fxfxCp：cos cos ；q：tan tan Dp：ABA；q：AU，BU，UBUA思维启迪 首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断答案 D解析 对于 A，由 yx2mxm3 有两个不同的零点，可得 m24(m3)0，从而可得 m6.所以 p 是 q 的必要不充分条件；对于 B，由1f(x)f(x)yf(x)是偶函数，但由 yf(x)是偶函数不能推出fxfx1，例如函数 f(x)0，所以 p 是 q 的充分不必要条件；fxfx对于 C，当 cos cos 0 时，不存在 tan tan ，反之也不成立，所以 p 是 q 的既
6、不充分也不必要条件；对于 D，由 ABA，知 AB，所以UBUA；反之，由UBUA，知 AB，即 ABA.所以 pq.综上所述，p 是 q 的充分必要条件的是 D.思维升华 充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据 pq，qp 进行判断；(2)集合法：根据 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy1”是“x1 或y1”的何种条件，即可转化为判断“x1 且 y1”是“xy1”的何种条件(1)(2012福建)已知向量 a(x1,2)，b(2,1)，则 ab
7、的充要条件是( )Ax Bx112Cx5 Dx0(2)设集合 AxR|x20，BxR|x0，则“xAB”是“xC”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案 (1)D (2)C解析 (1)a(x1,2)，b(2,1)，ab2(x1)212x.又 abab0，2x0，x0.(2)因为 Ax|x20x|x2(2，)，Bx|x0x|x2(，0)(2，)即 ABC.故“xAB”是“xC”的充要条件. 题型三 充分条件与必要条件的应用例 3 (1)函数 f(x)Error!Error!有且只有一个零点的充分不必要条件是( )Aa112(2)设 p：|4x3|
8、1，q：x2(2a1)xa(a1)0，若非 p 是非 q 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是( )A. B.0，12(0，12)C(，0 D(，0)12，)(12，)思维启迪 (1)根据图像交点先求得 f(x)有一个零点的充要条件，再利用“以小推大”(集合间关系)判定；(2)考虑条件所对应集合间的包含关系答案 (1)A (2)A解析 (1)因为函数 f(x)过点(1,0)，所以函数 f(x)有且只有一个零点函数y2xa(x0)没有零点函数 y2x(x0)与直线 ya 无公共点由数形结合，可得a0 或 a1.观察选项，根据集合间关系a|a1，答案选 A.(2)p：|4x3|114x31，
9、 x1；12q：x2(2a1)xa(a1)0(xa)x(a1)0，axa1.由题意知 p 是 q 的充分不必要条件，故有Error!Error!或Error!Error!，则 0a .12思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验(1)若“x21”是“x0)，命题 q：实数 m 满足方程x2m11 表示的焦点在 y 轴上的椭圆，且 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围为y22m_答案 (1)1 (2)13
10、，38解析 (1)由 x21，得 x1.又“x21”是“x1” ，反之不成立，所以 a1，即 a 的最大值为1.(2)由 a0，m27am12a20.由1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，x2m1y22m可得 2mm10，解得 1y，则 x|y|”的逆命题B命题“若 x1，则 x21”的否命题C命题“若 x1，则 x2x20”的否命题D命题“若 x20，则 x1”的逆否命题答案 A解析 对于 A，其逆命题：若 x|y|，则 xy，是真命题，这是因为 x|y|Error!Error!，必有xy；对于 B，否命题：若 x1，则 x21，是假命题如 x5，x2251；对于C，其否命题：若 x1，则 x2
11、x20，因为 x2 时，x2x20，所以是假命题；对于 D，若 x20，则 x0 或 x1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选 A.3 已知集合 Mx|00 不成立”是真命题，则实数 a 的取值范围是_答案 3,0解析 ax22ax30 恒成立，当 a0 时，30 成立；当 a0 时，得Error!Error!，解得3am1 是 x22x30 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是_答案 0,2解析 由已知易得x|x22x30x|xm1，又x|x22x30x|x3，Error!Error!或Error!Error!，0m2.B 组 专项能力提升(时间：15 分钟)1 若集合 Ax|20，即
12、 2n12 对任意的 nN+都成立，于是可得 32，即 3，即 m2.6 下列四个结论中：“0”是“a0”的充分不必要条件；在ABC 中， “AB2AC2BC2”是“ABC 为直角三角形”的充要条件；若 a，bR，则“a2b20”是“a，b 全不为零”的充要条件；若 a，bR，则“a2b20”是“a，b 不全为零”的充要条件正确的是_答案 解析 由 0 可以推出 a0，但是由 a0 不一定推出 0 成立，所以正确由 AB2AC2BC2可以推出ABC 是直角三角形，但是由ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以不正确由 a2b20 可以推出 a，b 不全为零；反之，由 a，b 不全为零可以推出 a2b20，所以不正确，正确
