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1、第第 2 2 讲讲 复数的运算复数的运算 知 识 梳理 1复数1z与2z的和的定义：12zz abicdi acbd i2复数1z与2z的差的定义：12zz abicdi acbd i3乘法运算规则：设1zabi，2zcdi(a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它们的积2()()()()abi cdiacbciadibdiacbdadbc i4复数除法定义：满足 cdixyiabi的复数xyi(x、yR)叫复数abi除以复数cdi的商，记为：()abicdi或者dicbia 则 2222()()()()()()abiabi cdiacbdbcadabicdiicdicdi cdicdcd5复
2、数加、减法的几何意义 (1)加法的几何意义复数21zz 是以1oz、2oz为两邻边的平行四边形对角线 oz所对应的复数.(2)复数减法的几何意义复数21zz 是连接向量1OZ、2OZ的终点，并指向被减数的向量21zz所对应的复数.6. 重要结论对复数 z 、1z、2z和自然数 m、n，有nmnmzzz，mnnmzz)(，nnnzzzz2121)(2) ii 1，12i，ii3，14i；114ni，124ni，iin34，14ni.(3) ii2)1 (2，iii 11，iii 11.(4)设231i ，2，2，012，nn33，021nnn 重 难 点 突 破 1.重点：掌握复数的运算法则，复
3、数加减法的几何意义及应用 2.难点：复数相关问题的综合应用 3.重难点：. (1) 不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来 问题 1: 判断下面的命题(1)()mnmnzz；(2)mnzzmn；(3)22 121200zzzz；(4)22zz；(5)zaaza 解析：当Cz时，不总是成立的.(1),()(为分数时不成立nmzzmnnm；(2)1(时不成立znmzznm ；(3),(0021212 22 1是虚数时不成立zzzzzz；(4)(22为虚数时不成立zzz；(5)( 为虚数时不成立zazaaz点拨：充分注意实数运算与复数运算的区别。 （2）没有掌握虚数单位i整数幂的运算结果的周期性
4、问题 2：求值：.)1 ()1 (6 nnii原式=n iii)11()1 (6 =138)2(nniii= ).4(8,348)(),24(8),14(8kniknkknikn）（为非负整数点拨：虚数单位i整数幂的值具有以 4 为周期的特点，根据时，求nin必须按被 4 整除余数为0、1、2、3 四种情况进行分类讨论. （3）注意运用共轭复数的性质问题 3: 已知121,1zzCz，求12121zz zz 的值点拨：对于22zzzz，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作 整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会. 热 点 考 点 题 型 探 析 考点一：复数的四则
5、运算 题型 1. 利用复数四则运算求值 例 1 （广东北江中学 2011 届数学专题） iii 1)21)(1 ( )Ai 2Bi2Ci2Di2解题思路：运用公式，按步求解解析：iiiii iii2)1)(1 ()21 ()1 ( 1)21)(1 (2， 故选 C例 2 (江苏省南通市 2011 届高三调研考试)设 =21+23i,A=x|x=k+k,kZ,则集合 A 中的元素有A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个RPxr解题思路：用 的性质。解析：设 =21+23i,则 3k=1,3k+1=,3k+2=(kZ),当 k=3n,nZ 时，x=1+1=2;当 k=3n+1,nZ 时，x=+1
6、=+2=+=1;当 k=3n+2,nZ 时，x=2+21 =2+=1 答案: B【名师指引】熟记一些常用结论有利于简化运算，快速解题。pBa【新题导练】1 （广东省佛山市 2011 年高三教学质量检测一）2(1)ii（ ） A1 iB1 i C2D2 答案：C2(黄家中学高 11 级月考)求复数2(1) 3i i（ ）（A）13i （B）13 22i（C）13 22i（D）13i【解】：2(1)2 ( 3)22 313 2223( 3)( 3)iiiiiiii 故选 C；考点二: 复数加减法几何意义的应用 题型 1: 复数及其运算的几何意义例 3 (广东省汕头市潮阳一中 2011 年高三模拟)
7、复数iiz1)2(2（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限解题思路：Zabi一一对应 复数复平面内的点(a, b)，Zabi 一一对应 复数平面向量O Z， 一一对应 复平面内的点(a, b)平面向量O Z解析：BRxXQ 例 4 满足条件512ziz的点的轨迹是（ ）A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆解题思路：如果把iz2看作动点 Z 到定点（0，2）的距离，由上式表示到两个定点（0，2）与（-1，0）的距离之和为常数5动点的轨迹符合椭圆的定义，但是，有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数.解析：点（0，2）与（-1，0）间的距离为5，
8、动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选 C【名师指引】理解复数、复数加减法及复数模的几何意义，熟记一些常用曲线的复数表示。 【新题导练】1(广东省深圳市 2011 年高三年级第一次调研考试)复数13iz ，21iz ，则复数12z z在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 答案：A2(广东省五校 2011 年高三上期末联考)满足条件|z-i|=|3+4i|复数 z 在复平面上对应点的 轨迹是( ) A 一条直线 B 两条直线 C 圆 D 椭圆 答案： |3+4i|=5 满足条件|z-i|=|3+4i|复数 z 在复平面上对应点的轨迹是 圆心为（0，1） ，半径为 5 的圆。故选 C
