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1、第五篇 数 列A第 1 讲 数列的概念与简单表示法最新考纲1了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2了解数列是自变量为正整数的一类函数.知 识 梳 理1数列的概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项排在第一位的数称为这个数列的第 1 项，通常也叫做首项(2)数列的通项公式如果数列an的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式(3)数列的前 n 项和在数列an中，Sna1a2an叫做数列的前 n 项和2数列的表示方法(1)表示方法列表法列表格表达 n 与 f(n)的对应关系图象法把点(
2、n，f(n)画在平面直角坐标系中通项公式把数列的通项使用通项公式表达的方法公式法递推公式使用初始值 a1和 an1f(an)或 a1，a2和 an1f(an，an1)等表达数列的方法(2)数列的函数特征：上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法，数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集1,2，n的函数 anf(n)当自变量由小到大依次取值时所对应的一列函数值*3数列的分类分类原则类型满足条件有穷数列项数有限 按项数分类 无穷数列项数无限递增数列an1an递减数列an1an单调性常数列an1an其中nN*摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列周期性nN*，存在
3、正整数常数 k，ankan4.an与 Sn的关系若数列an的前 n 项和为 Sn，则 anError!Error!辨 析 感 悟1对数列概念的认识(1)数列 1,2,3,4,5,6 与数列 6,5,4,3,2,1 表示同一数列()(2)1,1,1,1，不能构成一个数列()2对数列的性质及表示法的理解(3)(教材练习改编)数列 1,0,1,0,1,0，的通项公式，只能是an.()11n12(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列()(5)(2013开封模拟改编)已知 Sn3n1，则 an23n1.()感悟提升1一个区别 “数列”与“数集”数列与数集都是具有某种属性的数的全体，数列中的数是有序
4、的，而数集中的元素是无序的，同一个数在数列中可以重复出现，而数集中的元素是互异的，如(1)、(2)2三个防范 一是注意数列不仅有递增、递减数列，还有常数列、摆动数列，如(4)二是数列的通项公式不唯一，如(3)中还可以表示为 anError!Error!三是已知 Sn求 an时，一定要验证 n1 的特殊情形，如(5).学生用书第 79 页考点一 由数列的前几项求数列的通项【例 1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1,7，13,19，；(2) ， ， ， ， ，；234156358631099(3) ，2，8， ，；1292252(4)5,55,555,5 555，.解
5、(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大 6，故数列的一个通项公式为 an(1)n(6n5)(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为13,35,57,79,911，每一项都是两个相邻奇数的乘积知所求数列的一个通项公式为 an.2n2n12n1(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察即 ， ， ，从而可得数列的一个通项公式为 an.124292162252n22(4)将原数列改写为 9， 99， 999，易知数列 9,99,999，的通项为59595910n1，故所求的数
6、列的一个通项公式为 an (10n1)59规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想【训练 1】 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) ， ， ， ，；121458131629326164(2) ，1， ， ，.32710917解 (1)各项的分母分别为 21,22,23,24，易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为，原数列可化为232，因此可得数列的一个通项公式为213212232
7、22332324324an(1)n.2n32n(2)将数列统一为 ， ， ，对于分子 3,5,7,9，是序号的 2 倍加 1，可32557，10917得分子的通项公式为 bn2n1，对于分母 2,5,10,17，联想到数列1,4,9,16，即数列n2，可得分母的通项公式为 cnn21，因此可得数列的一个通项公式为 an.2n1n21考点二 由 an与 Sn的关系求通项 an【例 2】 (2013广东卷节选)设数列an的前 n 项和为 Sn.已知a11，an1 n2n ，nN*.2Snn1323(1)求 a2的值；(2)求数列an的通项公式解 (1)依题意，2S1a2 1 ，1323又 S1a1
8、1，所以 a24；(2)由题意 2Snnan1 n3n2 n，1323所以当 n2 时，2Sn1(n1)an (n1)3(n1)2 (n1)1323两式相减得 2annan1(n1)an (3n23n1)(2n1) ，1323整理得(n1)annan1n(n1)，即1，又1，an1n1anna22a11故数列是首项为1，公差为 1 的等差数列，anna11所以1(n1)1n，所以 ann2.ann规律方法 给出 Sn与 an的递推关系，求 an，常用思路是：一是利用SnSn1an(n2)转化为 an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出 Sn与 n 之间的关系，再求 a
9、n.【训练 2】 设数列an的前 n 项和为 Sn，数列Sn的前 n 项和为 Tn，满足Tn2Snn2，nN*.(1)求 a1的值；(2)求数列an的通项公式解 (1)令 n1 时，T12S11，T1S1a1，a12a11，a11.(2)n2 时，Tn12Sn1(n1)2，则 SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22(SnSn1)2n12an2n1.因为当 n1 时，a1S11 也满足上式，所以 Sn2an2n1(n1)，当 n2 时，Sn12an12(n1)1，两式相减得 an2an2an12，所以 an2an12(n2)，所以 an22(an12)，因为 a1230，所以数列an2是以
10、 3 为首项，公比为 2 的等比数列所以 an232n1，an32n12，当 n1 时也成立，所以 an32n12.学生用书第 80 页考点三 由递推公式求数列的通项公式【例 3】 在数列an中，(1)若 a12，an1ann1，则通项 an_；(2)若 a11，an13an2，则通项 an_.审题路线 (1)变形为 an1ann1用累加法，即 ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)得出 an.(2)变形为 an113(an1)再变形为 用累乘法或迭代法可求an11an113an.解析 (1)由题意得，当 n2 时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)21.n12
11、n2nn12又 a121，符合上式，1 112因此 an1.nn12(2)an13an2，即 an113(an1)，即3，an11an1法一 3，3，3，3.将这些等式两边分别相a21a11a31a21a41a31an11an1乘得3n.an11a11因为 a11，所以3n，即 an123n1(n1)，所以an1111an23n11(n2)，又 a11 也满足上式，故 an23n11.法二 由3，即 an113(an1)，an11an1当 n2 时，an13(an11)，an13(an11)32(an21)33(an31)3n1(a11)23n1，an23n11；当 n1 时，a1123111
12、 也满足an23n11.答案 (1)1 (2)23n11nn12规律方法 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项【训练 3】 设an是首项为 1 的正项数列，且(n1)ana an1an0(n1,2,3，)，则它的通项公式 an_.2n12 n解析 (n1)aan1anna 0，2n12 n(an1an)(n1)an1nan0，又 an1an0，(n1)an1nan0，即，
13、 ，an .an1annn1a2a1a3a2a4a3a5a4anan112233445n1n1n答案 1n1求数列通项或指定项，通常用观察法(对于交错数列一般用(1)n或(1)n1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法2由 Sn求 an时，anError!Error!注意验证 a1是否包含在后面 an的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含 an与 Sn的关系的数列题均可考虑上述公式3已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握一般有三种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“an1panq”这种
14、形式通常转化为 an1p(an)，由待定系数法求出 ，再化为等比数列；(3)利用累加、累乘法或迭代法可求数列的通项公式 思想方法 4用函数的思想解决数列问题【典例】 (2013新课标全国卷)等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知S100，S1525，则 nSn的最小值为_解析 由题意及等差数列的性质，知 a1a100，a1a15.103两式相减，得 a15a105d，所以 d ，a13.10323所以 nSnnna1d.nn12n310n23令 f(x)，x0，x310x23则 f(x) x(3x20)，由函数的单调性，可知函数 f(x)在 x时取得最小值，检13203验 n6 时，6S648，而 n7 时，7S749，故 nSn的最小值为49.答案 49反思感悟 (1)本题求出的 nSn的表达式可以看做是一个定义在正整数集 N*上的三次函数，因此可以采用导数法求解(2)易错分析：由于
