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1、- 1 -20132013 届高考数学压轴试题集锦（七）届高考数学压轴试题集锦（七）1 1设集合 W 是满足下列两个条件的无穷数列an的集合：;212 nnnaaa,.*NnMan其中M 是与 n 无关的常数.（1）若an是等差数列，Sn是其前 n 项的和，a3=4，S3=18，证明：SnW（2）设数列bn的通项为Wbnbnn n,25且，求 M 的取值范围；（3）设数列cn的各项均为正整数，且1.nnnccWc证明：2 2数列 na和数列 nb（n+N）由下列条件确定：（1）10a ，10b ；（2）当2k 时，ka与kb满足如下条件：当1102kkab时，1kkaa，11 2kk kabb
2、；当1102kkab时，11 2kk kaba，1kkbb.解答下列问题：（）证明数列kkab是等比数列；（）记数列()knn ba的前n项和为nS，若已知当1a 时，lim0nnn a，求limnnS .（）(2)n n 是满足12nbbb的最大整数时，用1a，1b表示n满足的条件.- 2 -3 3. 已知函数 1ln,0,f xxax xx (a 为实常数)(1) 当 a = 0 时，求 f x的最小值；(2)若 f x在2,)上是单调函数，求 a 的取值范围；(3)设各项为正的无穷数列nx满足*11ln1,n nxnNx 证明：nx1(nN*)4. 4.设函数32( )f xxaxbx(
3、0)x 的图象与直线4y 相切于(1,4)M（）求32( )f xxaxbx在区间(0,4上的最大值与最小值；（）是否存在两个不等正数, s t()st，当 , xs t时，函数32( )f xxaxbx的值域也是 , s t，若存在，求出所有这样的正数, s t；若不存在，请说明理由；（）设存在两个不等正数, s t()st，当 , xs t时，函数32( )f xxaxbx的值域是,ks kt，求正数k的取值范围5.5. 已知数列 na中，11a ，* 1122(.)nnnaaaanN （1）求234,a a a；- 3 -（2）求数列 na的通项na；（3）设数列 nb满足2 1111,
4、2nnn kbbbba，求证：1()nbnk6、设函数 xxxf1ln212.(1)求 xf的单调区间;(2)若当 1, 11eex时,(其中718. 2e)不等式 mxf恒成立,求实数m的取值范围;(3)试讨论关于x的方程: axxxf2在区间 2 , 0上的根的个数.7、已知2( )(2,)f xxaxa axR，( )xg xe，( )( )( )xf xg x.（1）当1a 时，求( )x的单调区间；（2）求( )g x在点(0,1)处的切线与直线1x 及曲线( )g x所围成的封闭图形的面积；（3）是否存在实数a，使( )x的极大值为 3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理 由.
5、- 4 -8、已知椭圆)0( 1:22221baby axC的离心率为33，直线 l：y=x+2 与以原点为圆心、椭圆 C1的短半轴长为半径的圆 O 相切。（1）求椭圆 C1的方程；（2）设椭圆 C1的左焦点为 F1，右焦点为 F2，直线 l1过点 F1，且垂直于椭圆的长轴，动直 线 l2垂直于 l1，垂足为点 P，线段 PF2的垂直平分线交 l2于点 M，求点 M 的轨迹 C2 的方程；（3）设 C2与 x 轴交于点 Q，不同的两点 R、S 在 C2上，且 满足0RSQR，求|QS的取值范围。9、已知F1,F2是椭圆 C: 22221xy ab （ab0）的左、右焦点，点 P(2,1)在椭圆
6、上，线段PF2与 y 轴的交点 M 满足20PMF M 。（1）求椭圆 C 的方程。（2）椭圆 C 上任一动点 M00(,)xy关于直线y=2x的对称点为M1（x1,y1）,求3x1-4y1的取值范围。- 5 -10、已知CBA,均在椭圆) 1( 1:2 22 ayaxM上，直线AB、AC分别过椭圆的左右焦点1F、2F，当120AC FF 时，有21219AFAFAF.()求椭圆M的方程;()设P是椭圆M上的任一点，EF为圆12:22 yxN的任一条直径，求PFPE 的最大值.参考答案：参考答案： 1 1.（本小题满分 16 分） （1）解：设等差数列an的公差是 d，则 a1+2d=4，3a
7、1+3d=18，解得 a1=8，d=2，所以nndnnnaSn92) 1(2 12 分由)1(18) 1(2)2(9)2()9(21 2222 12nnnnnnSSSnnn=10得,212 nnnSSS适合条件；又481)29(922nnnSn所以当 n=4 或 5 时，Sn取得最大值 20，即 Sn20，适合条件 综上，SnW4 分（2）解：因为nnn nnnnbb25252) 1(51 1 所以当 n3 时，01nnbb，此时数列bn单调递减；当n=1，2 时，01nnbb，即b1b2b3，因此数列bn中的最大项是b3=7- 6 -所以 M78 分（3）解：假设存在正整数 k，使得1kkc
8、c成立由数列cn的各项均为正整数，可得1111kkkkcccc即因为2) 1(22,21212 kkkkkkkkkccccccccc所以由1,2,2121122112kkkkkkkkkkkccccccccccc故得及因为32) 1(22,2111123231 kkkkkkkkkkcccccccccc所以依次类推，可得)(*Nmmcckmk设0),(*pccpmNppckpkk时，有则当这显然与数列cn的各项均为正整数矛盾！所以假设不成立，即对于任意 nN*,都有1nncc成立.( 16 分) 2 （本题满分 14 分）数列 na和数列 nb（n+N）由下列条件确定：（1）10a ，10b ；（
9、2）当2k 时，ka与kb满足如下条件：当1102kkab时，1kkaa，11 2kk kabb；当1102kkab时，11 2kk kaba，1kkbb.解答下列问题：（）证明数列kkab是等比数列；（）记数列()knn ba的前n项和为nS，若已知当1a 时，lim0nnn a，求limnnS .（）(2)n n 是满足12nbbb的最大整数时，用1a，1b表示n满足的条件.解：（）当1102kkab时，11 1111()22kk kkkkkabbaaba ，当1102kkab时，11 1111()22kk kkkkkabbabba ，所以不论哪种情况，都有111()2kkkkbaba，又
10、显然110ba，故数列kkab是等比数列.（4 分）（）由（）知，1 111()( )2n nnbaba，故111()()2nnnnn baba，11221231()(1)2222nnnnnSba，所以1123111231()()222222nnnnnSba- 7 -所以11311111()(1)22222nnnnSba，1112()4(1)22nnnnSba，（7 分）又当1a 时，lim0nnn a，故11lim4()nnSba .（8 分）（）当12(2)nbbb n时，1kkbb(2)kn，由（2）知1102kkab不成立，故1102kkab，从而对于2kn，有1kkaa，11 2kk
11、 kabb，于是11nnaaa，故1 1111()( )2n nbaba，（10 分）1 1111111111()( )()( ) .2222nnnnabaabaaba若02nnab，则12nn nabb，1 111111111111()( )()( )()( )0222nnn nnbbabaababa ，所以1nnbb，这与n是满足12(2)nbbb n的最大整数矛盾.因此n是满足02nnab的最小整数.（12 分）而1111 1112 1110()( )02log22nnnnabbaababanaa，因而，n是满足11 2 1logabna的最小整数.（14 分）3 3. (1)22211
12、1)(xxaxaxxxf当a0 时，12 xax在2，)上恒大于零，即0)( xf，符合要求；2 分当a0 时，令1)(2xaxxg，g (x)在2，)上只能恒小于零故14a0 或2210)2(041aga ，解得：a41a的取值范围是)041(，6 分(2)a = 0 时，21)(xxxf当 0x1 时0)( xf，当x1 时0)( xf，1) 1 ()(min fxf8 分(3)反证法：假设x1 = b1，由11ln1ln)2(nn nn xxxb bx，)(1ln*1Nnxbxbnn故)1(ln1lnln)1(ln1ln1ln142 321xbbbbbxbbbxbxb- 8 -bbbbb
13、bnln111ln)1111 (2，即1ln111 bb又由(2)当b1 时，11lnbb，1ln11111ln bbbb与矛盾，故b1，即x11，同理可证x21，x31，xn1(nN N*)14 分4解：（）2( )32fxxaxb。依题意则有：(1)4 (1)0f f ，所以14 320ab ab ，解得6 9a b ，所以32( )69f xxxx； 2( )31293(1)(3)fxxxxx，由( )0fx 可得1x 或3x 。( ),( )fxf x在区间(0,4上的变化情况为：x0(0,1)1(1,3)3(3,4)4( )fx+00+( )f x0增函 数4减函 数0增函 数4所以函数32( )69f xxxx在区间0,4上的最大值是 4，最小值是 0。（）由函数的定义域是正数知，0s ，故极值点(3,0)不在区间 , s t上；（1）若极值点(1,4)M在区间 , s t，此时013st，在此区间上( )f x的最大值是 4，不可能等于t；故在区间 , s t上没有极值点；（2）若32( )69f xxxx在 , s t上单调增，即01st
