《2019届高考高三数学一轮难点热点专题07函数的最值与值域的妙解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考高三数学一轮难点热点专题07函数的最值与值域的妙解（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破 1 专题专题 07 函数的最值与值域的妙解函数的最值与值域的妙解 考纲要求考纲要求: : 1 1、考查求函数单调性和最值的基本方法；求函数值域或最值常用方法有：单调性法、图象法、基、考查求函数单调性和最值的基本方法；求函数值域或最值常用方法有：单调性法、图象法、基 本不等式法、导数法、换元法本不等式法、导数法、换元法 2 2、会求一些简单函数的定义域和值域、会求一些简单函数的定义域和值域. . 基础知识回顾基础知识回顾: : 函数的最值函数的最值 前提前提 设函数设函数y yf f( (x x) )的定义域为的定义域为I I，如果存在实数，如果
2、存在实数M M满满 足足 对于任意对于任意x xI I， 都有都有f f( (x x)M M； 对于任意对于任意x xI I，都，都 有有f f( (x x)m m；条件条件 . . 存在存在x x0 0I I，使得，使得 f f( (x x0 0) )M M 存在存在x x0 0I I，使得，使得 f f( (x x0 0) )m m. . 结论结论M M为最大值为最大值m m为最小值为最小值 应用举例应用举例: : 招数一：换元法与配方法招数一：换元法与配方法 【例 1】求函数求函数= =) )的最值及取得最值时的的最值及取得最值时的值值. .y46 27(0,2 xx x x 【答案答案
3、】 2 2,log 32,0.xx最小值为此时，最大值为此时 其图象是对称轴为，开口向上的抛物线。 2 2 yt6t7t32则，t3 x0 2， t14 ， 2019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破 2 当，即时， ； x t23 2 xlog 3 min 2y 当，即时， 。 x t21x0 max 0y 点睛： （1）二次函数在闭区间上的最值有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动。不论哪种类型， 解决的关键是分清对称轴与区间的关系，并根据函数的图象求解；当条件中含有参数时，要依据对称轴与 区间的关系进行分类讨论。 （2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行
4、分析讨论求解 【例 2】 【山东省曲阜师范大学附属中学上学期期末考试】若实数若实数满足满足，则，则的的 ,2 5 = 02+ 2 最小值是（最小值是（ ） A A B B 1 1 C C D D 5 5 5 【答案答案】C 【例 3】 【广西钦州市 2018 届高三第三次质量检测】定义运算：定义运算：，则，则 的最大值为（的最大值为（ ） A A B B C C D D 1 【答案答案】D 【解析解析】分析：令，得，即可得到 (伪)- 3 2 ，即可求解其最大值 详解：令， 由于，所以， 所以，所以其最大值为 ，故选 D 点睛：本题主要考查了函数的新定义运算，二次函数与三角函数的性质，其中熟记
5、二次函数的图象与性质 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力 招数二：图像法招数二：图像法 2019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破 3 【例 4】 【2018 年高考数学（理科，通用版）练酷专题二轮复习课时跟踪检测】已知函数已知函数f f( (x x) ) 2 2x x1 1，g g( (x x) )1 1x x2 2，规定：当，规定：当| |f f( (x x)|)|g g( (x x) )时，时，h h( (x x) )| |f f( (x x)|)|；当；当| |f f( (x x)| 1 = 数取得最大值，即，因为，所以. () + 2 = 6 【例 11】 【山西省太原市实
6、验中学 2018 届高三上学期 9 月月考】已知函数已知函数f f( (x x) )2 2x x的定义域为的定义域为(0(0，11 a x ( (a a为实数为实数).). (1)(1)当当a a1 1 时，求函数时，求函数y yf f( (x x) )的值域；的值域； (2)(2)求函数求函数y yf f( (x x) )在区间在区间(0(0，11上的最大值及最小值，并求出当函数上的最大值及最小值，并求出当函数f f( (x x) )取得最值时取得最值时x x的值的值. . 【答案答案】(1) (，1. (2)见解析 【解析解析】试题分析：（1）将 a 的值代入函数解析式，利用定义证明函数的
7、单调性，从而求出函数的值域； （2）通过对 a 的讨论，判断出函数在（0，1上的单调性，求出函数的最值 试题解析： (1)当a1 时，f(x)2x ，任取 1x1x20， 则f(x1)f(x2)2(x1x2)(x1x2). 1x1x20，x1x20，x1x20. f(x1)f(x2)，f(x)在(0，1上单调递增，无最小值，当x1 时取得最大值 1，所以f(x)的值域为 (，1. (2)当a0 时，yf(x)在(0，1上单调递增，无最小值，当x1 时取得最大值 2a； 当a0 时，f(x)2x， 当1，即a(，2时，yf(x)在(0，1上单调递减，无最大值，当x1 时取得最小值 2019 届高
8、三数学一轮复习热点难点精讲专题突破 7 2a； 当1，即a(2，0)时，yf(x)在上单调递减，在 上单调递增，无最大值，当x时取得最小值 2. 招数五：导数法招数五：导数法 【例 12】 【2018 年高考数学（理科，通用版）练酷专题二轮复习课时跟踪检测】已知已知f f( (x x) ) 2 2x x3 36 6x x2 2m m( (m m为常数为常数) )在在 2,22,2上有最大值为上有最大值为 3 3，那么此函数在，那么此函数在 2,22,2上的最小值为上的最小值为( ( ) ) A A 0 0 B B 5 5 C C 1010 D D 3737 【答案答案】D 【例 13】 【浙江
9、省宁波市 2018 届高三上学期期末考试】若函数若函数在在 1 f xx x 上的最大值为上的最大值为，最小值为，最小值为，则，则（ ） |14,xxxRMmMm A A B B 2 2 C C D D 7 4 9 4 11 4 【答案答案】C 【解析解析】 ，又，且时，等号成立，故只需求 0,10,0f xfm 1 14f xxx x 0x 的最大值，由于，故，故选 C. 1 14g xxx x 3 2 2 2 2 x gx x 9 max1 ,4 4 Mgg 方法、规律归纳方法、规律归纳: : 1 1、函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问、函
10、数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问 题必须树立题必须树立“定义域优先定义域优先”的观念求给定函数的定义域往往转化为解不等式的观念求给定函数的定义域往往转化为解不等式( (组组) )的问题，在解不等式的问题，在解不等式 ( (组组) )取交集时可借助于数轴取交集时可借助于数轴 2 2、函数的值域是由其对应关系和定义域共同决定的常用的求解方法有：、函数的值域是由其对应关系和定义域共同决定的常用的求解方法有： 2019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破 8 (1)(1)基本不等式法，此时要注意其应用的条件；基本不等式法，此时要注意其应用的条件；
11、(2)(2)配方法，主要适用于可化为二次函数的函数，此时要特别注意自变量的范围；配方法，主要适用于可化为二次函数的函数，此时要特别注意自变量的范围； (3)(3)图象法，对于容易画出图形的函数最值问题可借助图象直观求出；图象法，对于容易画出图形的函数最值问题可借助图象直观求出； (4)(4)换元法，用换元法时一定要注意新变元的范围；换元法，用换元法时一定要注意新变元的范围； (5)(5)单调性法，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上的函数的最值问题；单调性法，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上的函数的最值问题； (6)(6)导数法导数法求函数求函数f f( (x
12、x) )在在 a a，b b 上的最大值和最小值上的最大值和最小值 3 3 步骤步骤 求函数在求函数在( (a a，b b) )内的极值；内的极值；求函数在区间端点的函数值求函数在区间端点的函数值f f( (a a) )，f f( (b b) )； 将函数将函数f f( (x x) )的极值与的极值与f f( (a a) )，f f( (b b) )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值 实战演练实战演练: : 1 【山西省太原市 2018 届高三上学期期末考试】已知函数已知函数， ，则，则的最大值的最大值 1 1 x f x x 2,
13、5x f x 是是_ 【答案答案】3 【解析解析】函数在上为减函数，故最大值为. 2 1 1 f x x 2,5 2123f 2 【陕西省 2018 届高三教学质量检测试题】若函数若函数， 的图像关于原点对称，的图像关于原点对称， f xaxb4,xaa 则函数则函数， 的值域为的值域为_ a g xbx x 4, 1x 【答案答案】 1 2, 2 3 【浙江省杭州市 2018 届高三上学期期末】设函数设函数，记，记为函数为函数 2 ,f xxaxb a bRM 2019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破 9 在在上的最大值，上的最大值， 为为的最大值的最大值. .（ ） yf x1,1
14、Nab A A 若若，则，则 B B 若若，则，则 1 3 M 3N 1 2 M 3N C C 若若，则，则 D D 若若，则，则2M 3N 3M 3N 【答案答案】C 4 【四川省德阳市 2018 届高三二诊】已知已知 、 是函数是函数（其中常数（其中常数）图象上的）图象上的 两个动点，点两个动点，点，若，若的最小值为的最小值为 0 0，则函数，则函数的最大值为（的最大值为（ ） A A B B C C D D 1 2 2 【答案答案】B 【解析解析】由题，当点 、 分别位于分段函数的两支上，且直线分别与函数 图像相切时，最小，设 当时， 直线 (1,1),(2,2),()= 2,(1)= 1 2, 因为点在直线直线上， 解得 同理可得 1= + 1,2= 1, 则 ，且函数在上单调递增， 在上单调递见，故函数的最 () = 2,(鈮?) - ,( 1) ( 鈭?1) 大
