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1、4.1 引言4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域4.3 拉氏变换的基本性质4.4 拉普拉斯逆变换4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s 域元件模型4.6 系统函数（网络函数）H( s )4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性4.8 由系统函数零、极点分布决定频响特性4.9 二阶谐振系统的 s 平面分析4.10 全统函数与最小相移函数的零、极点分布4.11 线性系统的稳定性4.12 双边拉氏变换4.13 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系,第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析,4.1 引言,拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具，优点如下：,（1）求解步骤得到简化；可以把初始条件包含到变
2、换式里，直接求得全响应；,（2）拉氏变换分别将时域的“微分”与“积分”运算转换为 域的“乘法”和“除法”运算，也即把微积分方程转化为代数方程；,（3）将指数函数、超越函数等复杂函数转化为简单的初等函数；,（4）将时域中的卷积运算转化为 s 域中的乘法运算，由此建立起系统函数 H(s) 的概念；,（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统性能的许多规律。,4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域,（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换,当 满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换,1. 拉氏变换是傅里叶变换的推广,（1）系统求解中的激励 、响应 的非零取值往往是从 时刻开始的。,下限取 是为了把 、
3、等也包含到积分区间中。,（2）由于绝对可积条件限制了某些增长信号傅里叶变换的存在。,若 绝对可积，则存在傅里叶变换,单边拉氏变换,双边拉氏变换,考虑在 上乘以收敛因子 。,在 上， 只有在时才起收敛作用，且越大，收敛效果越明显。,2. 拉氏逆变换,（二）从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义,在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使求解过程简化。,（三）单边拉氏变换的收敛域,若存在 ，使得 时， 成立。,要使 的拉氏变换存在，必须有,
4、则 平面上 的区域称为 的收敛域。,（1） 对仅在有限时间范围内取非零值的能量有限信号,（2） 对幅度既不增长也不衰减而等于稳定值的信号,，收敛域为整个 平面,，收敛域为 右半平面,（3）随时间 成正比增长或随 成正比增长的信号,必须有,（4）按指数阶规律 增长的信号,（5）对于一些比指数函数增长更快的函数，如 ，不能进行拉氏变换。,，收敛域为 右半平面,，收敛域为,（四）常用函数的拉氏变换,整个 平面,4.3 拉氏变换的基本性质,（一）线性,若,则,（二）时域微分特性,若,则,例1：,（三）时域积分特性,若,则,例：,例1：求 的拉氏变换。,（四）延时特性（时域平移）,若,则,（五）s 域平
5、移,若,则,例：,（六）尺度变换,若,则,例3：书P266,4-19,例： 已知,（七）初值定理,（八）终值定理,应用条件：,的全部极点在 左半平面，允许在 处有一阶极点，以保证终值存在。,为真分式,应用条件：,否则,例2： ，求,（九）卷积定理,则,时域卷积定理,若,s 域卷积定理,（十）s 域微分与积分,若,则,例：,4.4 拉普拉斯逆变换, 部分分式展开法：,仅适用于 为有理分式情况, 围线积分法（留数法）：,严密的数学方法,部分分式展开法：,分子多项式也可以表示为 A(s)=(s-z1)(s-z2)(s-zm) 式中, z1, z2, , zm是A(s)=0方程式的根， 也称F(s)的
6、零点。,部分分式法的实质是利用拉氏变换的线性特性， 先将F(s)分解为若干简单函数之和， 再分别对这些简单象函数求原函数。 ,p1, p2, , pn既可以是各不相同的单极点， 也可能出现有相同的极点即有重极点； 分母多项式的阶次一般高于分子多项式(mn)， 但也有可能mn。 下面分几种具体情况讨论F(s)分解的不同形式。 ,例1：,当 时，,一、,二、,（1） 所有极点均为一阶实极点,系数,例2：,（2） 一阶共轭极点,例3：,系数平衡法,3. mn, F(s)有重极点 设,其中, s=p1是F(s)的k阶极点, 由F(s)可展开为,式中, 是展开式中与极点p1无关的部分。 , k11=(s
7、-p1)kF(s)| s=p1 ,可求得：,例4：,例5：,例6：,4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s 域元件模型,（一）解微分方程,步骤：,1、利用拉氏变换的微分性质对方程两边取（单边）拉氏变换。2、求解，得到所需的S域变换式。 3、拉氏反变换得到所需的时域结果。,拉氏变换时域微分特性：,若,则,二阶常系数线性微分方程的一般形式为,设f(t)是因果激励， 又已知初始条件y(0-), y(0-)， 可利用拉氏变换求解。 两边取拉氏变换， 利用单边拉氏变换的微分性质， 得到s2Y(s)-sy(0-)-y(0-)+a1sY(s)-y(0-)+a2Y(s)=b0s2F(s)+b1sF(s)+b2F
8、(s),整理上式为 (s2+a1s+a2)Y(s)=(b0s2+b1s+b2)F(s)+sy(0-)+y(0-)+a1y(0-),解：,微分方程两边同时取单边拉氏变换,例2：,激励信号及起始条件分别为：,求零输入、零状态响应及全响应，自由响应，强迫响应，暂态响应，稳态响应。,解：,微分方程两边同时取单边拉氏变换,方法一：根据电路用KCL、KVL、网孔法、节点法等列写电路方程，再得到电路系统的微分方程, 然后对方程取拉氏变换，得到所需的S域变换式，再经拉氏反变换得到所需的时域结果。此方法在分析电路响应时有许多优点, 但是对比较复杂的网络(多网孔、 节点), 以及对初始条件的处理（需要标准化或等效
9、）还有许多不便之处。,（二）实际电路系统的s域分析,方法二： s域的网络模型运算电路法。（先将元件和支路进行拉氏变换，）画出网络的s域模型， 再用KCL、KVL、网孔法、节点法等列S域方程,再在s域求得所需的S域变换式， 最后再经反变换得到所需的时域结果。,例 : 书P207，例4-13；求uc(t) (自学),s 域元件模型,例1: 电路如图所示， 激励为e(t)， 响应为i(t)， 求s域等效模型及响应的s域方程。, 解: s域等效模型（运算等效电路）如图所示:,列网孔方程:,解出,其中, Z(s)=Ls+R+1/Cs为s域等效阻抗。,例2 : 书P213，例4-15，求uc(t),例3
10、: 书P213，例4-16,例4 :如图电路已处于稳态, t=0时刻开关k由“1”打到“2”，求输出电压u(t)。,例5:电路如图, 已知e(t)=10 V； vC(0-)=5 V，iL(0-)=4 A， 求i1(t)。,例5电路的s域网络模型,4.6 系统函数（网络函数）,（一）系统函数的定义,（二）系统函数的分类,（三）系统函数的求法,（四）系统函数的应用,当 时，,系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比。,（一）系统函数的定义,4.6 系统函数（网络函数）,h(t)和H(S)分别从时域和S域表征了系统的特性。,系统函数,（二）系统函数的分类,策动点函数,策动点阻抗,策动点导纳,转移
11、函数,转移阻抗,转移导纳,转移电压比,转移电流比,（三）系统函数的求法,已知微分方程：,H(S),已知电路原理图：,已知信号流图：见下册书,11.6,已知微分方程,例1：,求系统函数,解：方程两边取零状态下的拉氏变换,例2：已知电路如图1，,，求 。,图1 例2图,图2 零状态下的s域模型,例3：书P218，例4-18（自学）,系统函数 的形式与传输算子 类似，但它们存在概念上的区别。 是一个算子，p不是变量。而 是变量s的函数。在 中，分子和分母的公共因子可以消去，而在 中则不准相消。 只描述系统的零状态特性，而 既描述零状态特性，又描述零输入特性。,注意： 与 的区别：,（四）系统函数的应
12、用,求 h(t), g(t),求零状态响应,其它应用： 4.7 , 4.8 ,4.11 。,例4：,求系统的冲激响应h(t)，阶跃响应g(t)及激励信号,时的零状态响应。,已知系统,解：,（1）方程两边取零状态下的拉氏变换,所以,（2）,（3）,所以,例5：,电路如图所示，已知R=1，C=0.5F，若以u1(t)为输入，u2(t)为输出，求 （1）系统函数H(s)=,（2）冲激响应和阶跃响应。,a,b,提示：,（1）画零状态下的S域模型,（2）,最终答案：,集总参数LTI系统的 为有理分式,零、极点图,4.7 , 4.8 , 4.9, 4.10,4.7,例：,零点,（二）H(s)零、极点分布与
13、自由响应、强迫响应特征的对应,系统函数,响应,激励,系统函数极点,激励信号极点,自由响应,强迫响应,什么是频率响应特性？,稳定系统在正弦信号激励下，稳态响应随信号频率的变化情况。,幅度随频率的变化情况 幅频响应特性,相位随频率的变化情况 相频响应特性,4.8,幅频响应特性,相频响应特性,例：,高通滤波器,低通滤波器,带通滤波器,带阻滤波器,通带,阻带,滤波特性的分类,4.9,极点位于左半平面，零点位于右半平面，且零、极点对于 轴互为镜像。,（一）全通网络,幅频特性 ，对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。,全通网络的零、极点分布？,全通网络用于相位校正。,4.10,例：图示格状网
14、络，且有 ，求网络函数 ，判断是否为全通网络。,解：,（二）最小相移网络,极点全部在左半平面，零点也全部在左半平面或 轴上的网络，称为最小相移网络；含有零点在右半平面的网络称为非最小相移网络。,非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的级联。,非最小相移网络,最小相移网络,全通网络,4.11 线性系统的稳定性,若系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称此系统为（BIBO）稳定系统。,（一） 稳定性定义,连续时间LTI系统BIBO稳定的充分必要条件是：,的收敛域包含虚轴,（二） 因果 LTI 系统的稳定性,的极点全部在左半平面,连续时间因果LTI系统BIBO稳定的充分必要条件是：,
15、系统稳定；, 由 的极点分布判断因果LTI 系统的稳定性：,（1）极点全部在左半平面,衰减，,系统临界稳定；,（2）虚轴上有一阶极点，其他极点全部在左半平面,等幅，,系统不稳定。,（3）有极点在右半平面，或虚轴上有二阶或二阶以上极点,增长，,(三) 稳定系统与系统函数分母多项式系数的关系系统函数,稳定系统与分母多项式 D(s)的系数关系：,(1) D(s)的系数ai全部为正实数; (2) D(s)多项式从最高次方项排列至最低次项无缺项。 注：以上是系统稳定的必要条件而非充分条件。 如果给定H(s)表示式， 由此可对系统稳定性作出初步判断。 若当系统为一阶、 二阶系统时， 则上述条件是系统稳定的充分必要条件(i=0, 1，2)。,
